МА́ТРИЦА ПЛО́ТНОСТИ

МА́ТРИЦА ПЛО́ТНОСТИ (опе­ра­тор плот­но­сти, ста­ти­сти­че­ский опе­ра­тор), обоб­ща­ет по­ня­тие вол­но­вой функ­ции и по­зво­ля­ет вы­чис­лить сред­нее зна­че­ние лю­бой на­блю­дае­мой фи­зич. ве­ли­чи­ны для кван­то­во­ме­ха­нич. объ­ек­та. Вве­де­на од­но­вре­мен­но и не­за­ви­си­мо Л. Д. Лан­дау и Дж. фон Ней­ма­ном в 1927.

В кван­то­вой ме­ха­ни­ке раз­ли­ча­ют два ти­па кван­то­вых со­стоя­ний: чис­тые и сме­шан­ные. Чис­тые со­стоя­ния опи­сы­ва­ют­ся вол­но­вы­ми функ­ция­ми, или век­то­ра­ми со­стоя­ния $ψ_i$, где $i$ – но­мер со­стоя­ния (кван­то­вое чис­ло). Сме­шан­ные со­стоя­ния опи­сы­ва­ют­ся ли­ней­ной ком­би­на­ци­ей $\sum p_i\psi _i$, где чис­ла $p_i$ име­ют смысл ве­ро­ят­но­стей по­яв­ле­ния со­стоя­ний $ψ_i$ в дан­ной «сме­си» и удов­ле­тво­ря­ют со­от­но­ше­ни­ям $p_i ⩾ 0,\:\sum p_i=1 $. Имен­но для опи­са­ния сме­шан­ных со­стоя­ний и вво­дит­ся мат­ри­ца плот­но­сти.

В об­щем слу­чае сме­шан­но­го со­стоя­ния вы­чис­ле­ние сред­не­го зна­че­ния $〈\widehat{A}〉$ для лю­бо­го опе­ра­то­ра фи­зи­че­ской на­блю­дае­мой $\widehat{A}$ вклю­ча­ет в се­бя двой­ное ус­ред­не­ние – не толь­ко по од­но­му из чис­тых со­стоя­ний $ψ_i$, но по всей их со­во­куп­но­сти $\{ψ_i\}$ с со­от­вет­ст­вую­щи­ми ве­со­вы­ми мно­жи­те­ля­ми $p_i$. Фор­маль­но эта опе­ра­ция мо­жет быть за­пи­са­на в ви­де $〈\widehat{A}〉= Sp(\widehat{A}\widehat{\rho })= Sp(\widehat{\rho } \widehat{A})$, т. е. вы­чис­ля­ет­ся след $(Sp)$ (сум­ма диа­го­наль­ных мат­рич­ных эле­мен­тов) от про­из­ве­де­ния опе­ра­то­ра $\widehat{A}$ и М. п. $\widehat{\rho }=\sum_{i}p_i\widehat{P_i}$; здесь $\widehat{P_i}=|ψ_i〉〈ψ_i|$ – опе­ра­тор про­ек­ти­ро­ва­ния (про­ек­тор) на со­стоя­ние $ψ_i$, дей­ст­вую­щий в гиль­бер­то­вом про­стран­ст­ве со­стоя­ний $\{ψ_i\}$.

Ука­зан­ные со­стоя­ния $\{ψ_i\}$ мо­гут, во­об­ще го­во­ря, не яв­лять­ся соб­ст­вен­ны­ми со­стоя­ния­ми га­миль­то­ниа­на $\widehat{H}$ или к.-л. др. эр­ми­то­ва опе­ра­то­ра сис­те­мы, но, в со­от­вет­ст­вии с об­щи­ми прин­ци­па­ми кван­то­вой ме­ха­ни­ки, они все­гда мо­гут быть раз­ло­же­ны по пол­ным ор­то­нор­ми­ро­ван­ным на­бо­рам соб­ст­вен­ных функ­ций этих опе­ра­то­ров. При этом ре­зуль­тат при­ме­не­ния М. п. для вы­чис­ле­ния сред­них не из­ме­ня­ет­ся, по­сколь­ку М. п. оп­ре­де­ле­на с точ­но­стью до про­из­воль­но­го уни­тар­но­го пре­об­ра­зо­ва­ния. Для М. п. воз­мож­ны разл. пред­став­ле­ния – ко­ор­ди­нат­ное, им­пульс­ное, а так­же сме­шан­ное, пред­став­ляе­мое функ­ци­ей Виг­не­ра.

В слу­чае чис­то­го со­стоя­ния $ψ_i$ М. п. $ρ$ сво­дит­ся к един­ст­вен­но­му про­ек­то­ру : $\widehat{P_i}:\widehat{\rho} =\widehat{P_i}=|ψ_i〉〈ψ_i|$. М. п. для чис­то­го со­стоя­ния об­ла­да­ет свой­ст­вом $ρ^2=ρ$, ко­то­рое ис­поль­зу­ет­ся в прак­тич. вы­чис­ле­ни­ях для оп­ре­де­ле­ния «чис­то­ты» со­стоя­ния. В об­щем слу­чае М. п. яв­ля­ет­ся по­ло­житель­но оп­ре­де­лён­ным опе­ра­то­ром $\widehat{\rho}$ с еди­нич­ным сле­дом. В не­ста­цио­нар­ных за­да­чах М. п. мо­жет за­ви­сеть от вре­ме­ни $t: \widehat{\rho}=\widehat{\rho}(t)$; в си­лу Шрё­дин­ге­ра урав­не­ния для чис­тых со­стоя­ний для М. п. спра­вед­ли­во кван­то­вое Лиу­вил­ля урав­не­ние: $iℏ𝜕\widehat{\rho}(t)/𝜕t=[\widehat{H}, \widehat{\rho}]$, здесь $[\widehat{H}, \widehat{\rho}]≡ \widehat{H}\widehat{\rho}-\widehat{\rho}\widehat{H}$– ком­му­та­тор опе­ра­то­ров $\widehat{H}$ и $\widehat{\rho}$, $ℏ$ – по­сто­ян­ная План­ка, $i$ – мни­мая еди­ни­ца.

При опи­са­нии со­стоя­ния те­п­ло­во­го рав­но­ве­сия кван­то­вой сис­те­мы М. п. име­ет од­но­ком­по­нент­ный (ска­ляр­ный) вид: $ρ=(1/Z)exp[–\widehat{H}/kT]$; здесь $T$ – аб­со­лют­ная темп-ра, $k$ – по­сто­ян­ная Больц­ма­на, $Z=\sum_{i}\textrm{exp}[-E_i/kT]$ – кван­то­вая ста­ти­стич. сум­ма, $E_i$ – энер­гии, со­от­вет­ст­вую­щие соб­ст­вен­ным со­стоя­ни­ям $ψ_i$ га­миль­то­ниа­на $\widehat{H}$ сис­те­мы. М. п. ши­ро­ко ис­поль­зу­ет­ся для опи­са­ния экс­пе­ри­мен­тов по рас­сея­нию по­ля­ри­зов. пуч­ков час­тиц (напр., элек­тро­нов), об­ла­даю­щих спи­ном $^1/_2$ и имею­щих два соб­ст­вен­ных со­стоя­ния $|+\:^1/_2〉$ (спин «вверх») и $|–\:^1/_2〉$ (спин «вниз»), а так­же фо­то­нов, об­ла­даю­щих спи­ном $1$ и дву­мя со­стоя­ния­ми ли­ней­ной или кру­го­вой по­ля­ри­за­ции. В этих слу­ча­ях об­щее вы­ра­же­ние для М. п. в сме­шан­ном со­стоя­нии име­ет вид: $\rho =^1/_2(I+\sum_{i}\prod_{i}\sigma _i)$, где $I$ – еди­нич­ная

мат­ри­ца, $\prod_{i}=〈σ_i〉=Spσ_ir$ – $i$-я ком­по­нен­та по­ля­ри­за­ции пуч­ка, $σ_i$ – мат­ри­цы Пау­ли раз­мер­но­сти $2×2$.

Наи­боль­шее зна­че­ние по­ня­тие М. п. при­об­ре­ло в кон. 20 в. в свя­зи с по­ня­тием кван­то­вых из­ме­ре­ний, осо­бен­но в кван­то­вой тео­рии ин­фор­ма­ции. В этих слу­ча­ях речь идёт о слож­ных (со­став­ных) кван­то­вых сис­те­мах, од­на из ко­то­рых $A$ (напр., ку­бит) до­пус­ка­ет толь­ко кван­то­вое опи­са­ние, то­гда как дру­гая $B$ (напр., из­ме­рит. при­бор) мо­жет быть опи­са­на в клас­сич. тер­ми­нах. При этом сис­те­ма $AB$ в це­лом опи­сы­ва­ет­ся М. п. $ρ^{AB}$. В ча­ст­ном слу­чае по­доб­ная сис­те­ма мо­жет быть изо­ли­ро­ван­ной и на­хо­дить­ся в не­ко­то­ром чис­том со­стоя­нии $ψ^{АВ}$, од­на­ко обыч­но это со­стоя­ние пол­но­стью не из­вест­но вви­ду мак­ро­ско­пи­че­ски боль­шо­го чис­ла сте­пе­ней сво­бо­ды под­сис­те­мы $B$ (при­бо­ра). Со­стоя­ние ка­ж­дой из под­сис­тем $A$ и $B$ все­гда яв­ля­ет­ся сме­шан­ным и в прин­ци­пе не до­пус­ка­ет опи­са­ния по­сред­ст­вом вол­но­вой функ­ции, по­это­му М. п. яв­ля­ет­ся не­об­хо­ди­мым сред­ст­вом для опи­са­ния ин­ди­ви­ду­аль­ных под­сис­тем, вхо­дя­щих в со­став­ную кван­то­вую сис­те­му. Ес­ли за­да­на пол­ная М. п. $ρ^{AB}$, то для опи­са­ния под­сис­те­мы $A$ обыч­но ис­поль­зу­ет­ся ре­ду­ци­ро­ван­ная М. п. $ρ^A= Sp_Bρ^{AB}$ , ко­то­рая пра­виль­но вос­про­из­во­дит ста­ти­сти­ку из­ме­ре­ний. На прак­ти­ке час­то ре­ша­ет­ся об­рат­ная за­да­ча вос­ста­нов­ле­ния ви­да М. п. $ρ^A$ по дан­ным кван­то­вых из­ме­ре­ний с при­ме­не­ни­ем кван­то­во­го обоб­ще­ния ме­то­дов ма­те­ма­тич. ста­ти­сти­ки.