Ква́нтовая тео́рия информа́ции, научная дисциплина на стыке математики, информатики, квантовой физики, в которой изучаются общие закономерности передачи, хранения и преобразования информации в системах, подчиняющихся законам квантовой механики. Квантовая теория информации использует математические модели для исследования потенциальных возможностей таких систем, а также разрабатывает принципы их рационального и помехоустойчивого построения. Квантовая теория информации приводит к новому пониманию фундаментальных закономерностей квантовой теории, её оснований и соотношений с реальностью, а также стимулирует развитие экспериментальной физики.

Квантовая теория информации сформировалась как самостоятельная дисциплина в 1990-х гг., однако её зарождение относится к 1950-м гг. и связано с появлением основ теории информации и помехоустойчивой связи в трудах В. А. Котельникова и К. Шеннона. На начальном этапе, который охватывает период 1950–1980-х гг., основным вопросом было выяснение фундаментальных ограничений на возможности передачи и обработки информации, обусловленных квантовомеханической природой её носителя. Эта проблема остаётся актуальной и в настоящее время. Развитие информационных технологий в направлении микроминиатюризации, использование достижений квантовой оптики и электроники, супрамолекулярной химии, исследующей кибернетические свойства молекулярных соединений, приводят к выводу о том, что в обозримой перспективе такие ограничения станут основным препятствием для дальнейшей экстраполяции существующих технологий и принципов обработки информации. С другой стороны, появление в 1980–1990-х гг. идей квантового компьютинга (см. Квантовый компьютер), квантовой криптографии и новых коммуникационных протоколов позволяет говорить не только об ограничениях, но и о новых возможностях, заключённых в использовании специфически квантовых ресурсов, таких как квантовый параллелизм, сцепленность квантовых состояний (англ. entanglement) и дополнительность между измерением и возмущением. Квантовая теория информации даёт ключ к пониманию фундаментальных закономерностей, до недавних пор остававшихся вне поля зрения исследователей, а также стимулирует развитие экспериментальной физики, значительно расширяющее возможности манипулирования состояниями микросистем и потенциально важное для новых эффективных приложений. В настоящее время работы в области квантовой информатики, включающей квантовую теорию информации, её экспериментальные основы и технологические разработки, ведутся во многих научно-исследовательских центрах развитых стран.

B квантовой теории информации носителем информации является состояние квантовой системы, которое представляет собой информационный ресурс постольку, поскольку имеет статистическую неопределённость. При математическом рассмотрении чистому состоянию соответствует проектор $P_{\psi}$ на вектор $\psi$ из гильбертова пространства системы $\mathcal{H}.$ В квантовой статистике рассматриваются также смешанные состояния, представляющие собой статистический ансамбль чистых состояний $P_{\psi_i}$ с вероятностями $p_i.$ Такое состояние описывается оператором плотности $\rho=\sum_i p_i P_{\psi_i},$ который характеризуется свойствами:
1) $\rho$ – положительный оператор; 2) $\rho$ имеет единичный след, $\operatorname{Tr} \rho=1.$ Т. о., собственные числа $\lambda_j$ оператора плотности образуют распределение вероятностей. Энтропия этого распределения

$$H(\rho)=-\sum_j\lambda_j\log_2 \lambda_j=-\operatorname{Tr} \rho \, \log_2 \rho,$$называемая энтропией фон Неймана, является мерой неопределённости, т. е. информационного содержания состояния $\rho,$ подобно энтропии Шеннона классического источника сообщений.

При передаче классической информации (т. е. произвольного сообщения) по квантовому каналу связи она записывается в квантовом состоянии посредством задания значений параметров прибора, приготавливающего состояние. Однако вся полнота информационного содержания квантового состояния не может быть сведена к классическому сообщению и поэтому заслуживает специального термина «квантовая информация». Это связано с тем, что квантовое состояние содержит в себе статистику всевозможных, в том числе и взаимоисключающих (дополнительных) измерений над системой. Наиболее ярким отличием квантовой информации является невозможность копирования (англ. no-cloning). Простое рассуждение, основанное на линейности уравнений квантовой эволюции, доказывает невозможность «квантового ксерокса», т. е. физического устройства, позволяющего копировать произвольную квантовую информацию (см. Квантовое клонирование).

Подобно тому как количество классической информации может быть измерено минимальным числом двоичных символов (битов), необходимым для кодирования (сжатия) сообщения, количество квантовой информации может быть определено как минимальное число элементарных квантовых систем с двумя уровнями (кубитов, $q$-битов), необходимое для хранения или передачи данного ансамбля квантовых состояний при оптимальном кодировании. Показано, что для асимптотически безошибочного кодирования квантового сообщения длины $n\rightarrow\infty,$ в котором состояния $P_{\psi_i}$ появляются с вероятностями $p_i$, необходимо $\approx nH(\rho)$ $q$-битов, где $\rho=\sum_i p_i P_{\psi_i}.$ Это означает, что размерность квантовой системы, в которой осуществляется оптимальное сжатие квантовой информации, содержащейся в состоянии $\rho,$ равна $\approx 2^{nH(\rho)},$ что даёт информационную интерпретацию энтропии фон Неймана.

В основе феномена сцепленности (в русской физической литературе также «запутанность», «перепутанность») лежат необычные свойства составных квантовых систем, которые описываются тензорным (а не декартовым, как в классической механике) произведением подсистем. В силу принципа суперпозиции пространство составной системы $AB$ наряду с векторами вида $\psi_A\otimes\psi_B$ содержит и всевозможные их линейные комбинации $\sum_j\psi_A^j\otimes\psi_B^j.$ Состояния составной системы, задаваемые векторами-произведениями, называются несцепленными, а не сводящиеся к таковым – сцепленными. Сцепленность представляет собой чисто квантовое свойство, отчасти родственное классической коррелированности, однако к ней не сводящееся (в физике говорят о корреляциях Эйнштейна – Подольского – Розена). Именно наличие сцепленных состояний противоречит гипотезе о локальной теории со скрытыми параметрами, т. е. возможности классического статистического описания квантовых систем, удовлетворяющего физическому требованию локальности. Большой раздел квантовой теории информации посвящён количественной теории сцепленности, которая представляет собой своеобразную комбинаторную геометрию тензорных произведений гильбертовых пространств. В частности, показано, что мера сцепленности чистого состояния $\rho_{AB}$ составной системы $AB$ определяется однозначно как энтропия частичного следа $\operatorname{Tr}\rho_{AB}$ и связана с количеством максимально сцепленных пар $q$-битов (т. н. $e$-битов), которое необходимо для создания состояния $\rho_{AB}$ с использованием локальных операций (затрагивающих только $A$ либо только $B$) и обмена классической информацией между $A$ и $B.$

Двойственным образом в составных квантовых системах существуют сцепленные и несцепленные наблюдаемые (измерения). Если квантовые системы $A$ и $B$ находятся в несцепленном состоянии, то максимальные шенноновские количества информации о состоянии $I_A,$ $I_B,$ $I_{AB},$ получаемые из измерений над системами $A,$ $B$ и составной системой $AB$ соответственно, удовлетворяют в общем случае соотношению $I_{AB}>I_A+I_B.$ Этот неклассический феномен строгой супераддитивности информации обнаруживается и играет важную роль в теории пропускных способностей квантового канала связи.

Понятие канала связи и его пропускной способности, дающей предельную скорость безошибочной передачи, играет центральную роль в теории информации. Математический подход придаёт этим понятиям универсальную значимость: например, память компьютера (классического или квантового) может рассматриваться как канал из прошлого в будущее, тогда пропускная способность даёт количественное выражение для предельной ёмкости памяти при исправлении ошибок. Важность рассмотрения квантовых каналов связи обусловливается тем, что всякий физический канал в конечном счёте является квантовым, и такой подход позволяет учесть фундаментальные квантово-механические закономерности. Существенно, что в квантовом случае понятие пропускной способности разветвляется, порождая целый спектр информационных характеристик канала, зависящих от вида передаваемой информации (квантовой или классической), а также от дополнительных ресурсов, используемых при передаче.

В квантовой теории информации квантовый канал связи задаётся отображением $\Phi$, переводящим состояния на входе в состояния на выходе, $\rho\rightarrow\Phi [\rho ],$ которое даёт сжатое статистическое описание результата взаимодействия системы на входе с её окружением (шумом). Классическая пропускная способность $C(\Phi)$ определяется как максимальная скорость передачи классических сообщений через блочный канал $\Phi^{\otimes n}$ с асимптотически (при $n\to\infty$) исчезающей ошибкой и равна максимальному количеству информации Шеннона, которое может быть получено применением произвольных кодирований классических сообщений в состояния на входе и квантовых измерений-декодирований на выходе канала. Для $C(\Phi)$ получено явное выражение через энтропийные характеристики канала, составляющее содержание квантовой теоремы кодирования Холево – Шумахера – Вестморленда (1996).

Классическая пропускная способность канала $\Phi$ может быть увеличена путём использования сцепленности между входом и выходом канала, притом что одна только сцепленность вообще не позволяет передавать информацию. Здесь, как и в ряде других случаев, сцепленность играет роль «катализатора», выявляющего скрытые информационные ресурсы квантовой системы. Если $\Phi$ – идеальный канал, т. е. канал без шума, то выигрыш в пропускной способности, доставляемый т. н. сверхплотным кодированием, двукратен. Чем более канал отличается от идеального, тем выигрыш больше, и в пределе каналов с очень большим шумом может быть сколь угодно большим. Соответствующая максимальная скорость передачи $C_{ea}(\Phi)$ носит название классической пропускной способности с использованием сцепленного состояния; для неё также имеется явная формула, полученная в 1999 г. американскими учёными Ч. Беннеттом, П. Шором, Дж. Смолиным и А. Таплиялом.

Само преобразование квантового состояния $\rho\rightarrow \Phi [\rho]$ можно рассматривать как передачу квантовой информации. Теория предсказывает возможность нетривиального способа передачи, при котором носитель состояния физически не пересылается, а передаётся лишь некоторая классическая информация (т. н. телепортация квантового состояния, предложенная Ч. Беннеттом и др.). При этом необходимым дополнительным ресурсом вновь является сцепленность между входом и выходом канала связи. Свести передачу произвольного квантового состояния только к передаче классической информации, не используя дополнительного квантового ресурса, невозможно: поскольку классическая информация копируема, это означало бы возможность копирования и квантовой информации.

Открытие П. Шором в 1995 г. квантовых кодов, исправляющих ошибки, ставит вопрос об асимптотически (при $n\rightarrow \infty$) безошибочной передаче квантовой информации каналом $\Phi^{\otimes n}.$ При этом квантовая пропускная способность $Q(\Phi)$ определяется как максимальная скорость передачи квантовой информации и связана с размерностью подпространства векторов входного пространства $(\approx 2^{nQ(\Phi )}),$ отвечающие которым состояния передаются асимптотически безошибочно. Изучение квантовой пропускной способности основано на глубокой аналогии между квантовым каналом и классическим каналом с перехватом, причём в квантовом случае роль перехватчика информации играет окружение рассматриваемой системы (И. Деветак, 2003). Величина $Q(\Phi)$ оказывается тесно связанной с криптографическими характеристиками канала, такими как пропускная способность для секретной передачи классической информации $C_p(\Phi)$ и скорость распределения случайного ключа.

Пропускные способности канала $\Phi$ связаны соотношением

$$Q(\Phi)\leq C_p(\Phi )\leq C(\Phi )\leq C_{ea}(\Phi )$$и образуют основу для определения и изучения всего многообразия характеристик квантового канала связи, которое возникает при применении дополнительных ресурсов, таких как обратная или прямая связь, коррелированность или сцепленность. Некоторые из этих ресурсов могут быть преобразованы в другие, как правило необратимым образом, при этом пропускные способности характеризуют оптимальную эффективность подобных преобразований. Дальнейшее развитие теории приводит к изучению квантовых каналов с памятью и систем с многими пользователями.

Большой раздел квантовой теории информации посвящён исследованию систем с «непрерывными переменными», основанных на принципах квантовой оптики. Важную роль здесь играют гауссовские состояния, включающие равновесные, а также когерентные и «сжатые» состояния, реализуемые в лазерах и нелинейных квантовых оптических устройствах, и соответствующий класс преобразователей квантовой информации – гауссовские каналы. Для них получен ряд принципиальных результатов, касающихся пропускных способностей, сцепленности состояний и других информационных характеристик. Многие эксперименты по квантовой обработке информации, включая сверхплотное кодирование и телепортацию фотонных состояний, а также квантовые криптографические протоколы, реализованы именно в таких системах.

См. также Квантовая связь.