ЛИУВИ́ЛЛЯ ТЕОРЕ́МА

ЛИУВИ́ЛЛЯ ТЕОРЕ́МА, тео­ре­ма о со­хра­не­нии фа­зо­во­го объ­ё­ма при дви­же­нии ме­ха­нич. сис­те­мы, про­ис­хо­дя­щем в со­от­вет­ст­вии с Га­миль­то­на урав­не­ния­ми. Ус­та­нов­ле­на Ж. Лиу­вил­лем в 1838.

Для гео­мет­рич. ин­тер­пре­та­ции ме­ха­нич. дви­же­ния ис­поль­зу­ет­ся по­ня­тие фа­зо­во­го про­стран­ст­ва – про­стран­ст­ва 2$n$ из­ме­ре­ний, ко­ор­ди­на­та­ми ко­то­ро­го яв­ля­ют­ся обоб­щён­ные ко­ор­ди­на­ты $q_1,…,q_n$ и обоб­щён­ные им­пуль­сы $p_1,…,p_n$ дан­ной ме­ха­нич. сис­те­мы ($n$ – чис­ло её сте­пе­ней сво­бо­ды). Ка­ж­дая точ­ка это­го про­стран­ст­ва от­ве­ча­ет не­ко­то­ро­му со­стоя­нию сис­те­мы. Из­ме­не­ние со­стоя­ния сис­те­мы со вре­ме­нем пред­став­ля­ет­ся как дви­же­ние фа­зо­вой точ­ки в 2$n$-мер­ном про­стран­ст­ве. Эле­мен­тар­ный объ­ём фа­зо­во­го про­стран­ст­ва ра­вен $dV=dq_1...dq_ndp_1...dp_n$. То­гда ин­те­грал $ʃ dV$, взя­тый по об­лас­ти $G$ фа­зо­во­го про­стран­ст­ва, ра­вен объ­ё­му $V_G$ этой об­лас­ти и на­зы­ва­ет­ся фа­зо­вым объ­ё­мом.

Ес­ли в на­чаль­ный мо­мент вре­ме­ни $t_0$ фа­зо­вые точ­ки $(q^0,p^0)$ не­пре­рыв­но за­пол­ня­ли не­ко­то­рую об­ласть $G_0$, а в мо­мент вре­ме­ни $t>t_0$ за­ня­ли др. об­ласть $G$ это­го про­стран­ст­ва, то для сис­те­мы, дви­же­ние ко­то­рой опи­сы­ва­ет­ся урав­не­ния­ми Га­миль­то­на, со­глас­но Л. т. со­от­вет­ст­вую­щие фа­зо­вые объ­ё­мы рав­ны ме­ж­ду со­бой: $V_G=V_{G0}$ при лю­бом $t$.

Л. т. яв­ля­ет­ся след­ст­ви­ем то­го, что яко­би­ан пре­об­ра­зо­ва­ния от пе­ре­мен­ных $(q^0,p^0)$ к пе­ре­мен­ным $(q,p)$ (т. е. яко­би­ан ка­но­нич. пре­об­ра­зо­ва­ния) со­глас­но урав­не­ни­ям Га­миль­то­на ра­вен еди­ни­це.

Л. т. иг­ра­ет важ­ную роль в ста­ти­стич. фи­зи­ке, т. к. по­зво­ля­ет вве­сти функ­цию рас­пре­де­ле­ния плот­но­сти ве­ро­ят­но­сти на­хо­ж­де­ния фа­зо­вой точ­ки в эле­мен­те фа­зо­во­го объ­ё­ма $dV$ и вы­вес­ти для неё Лиу­вил­ля урав­не­ние.