ЛИУВИ́ЛЛЯ ТЕОРЕ́МА
-
Рубрика: Физика
-
-
Скопировать библиографическую ссылку:
Книжная версия:
Электронная версия:
ЛИУВИ́ЛЛЯ ТЕОРЕ́МА, теорема о сохранении фазового объёма при движении механич. системы, происходящем в соответствии с Гамильтона уравнениями. Установлена Ж. Лиувиллем в 1838.
Для геометрич. интерпретации механич. движения используется понятие фазового пространства – пространства 2n измерений, координатами которого являются обобщённые координаты q1,…,qn и обобщённые импульсы p1,…,pn данной механич. системы (n – число её степеней свободы). Каждая точка этого пространства отвечает некоторому состоянию системы. Изменение состояния системы со временем представляется как движение фазовой точки в 2n-мерном пространстве. Элементарный объём фазового пространства равен dV=dq1...dqndp1...dpn. Тогда интеграл ʃdV, взятый по области G фазового пространства, равен объёму VG этой области и называется фазовым объёмом.
Если в начальный момент времени t0 фазовые точки (q0,p0) непрерывно заполняли некоторую область G0, а в момент времени t>t0 заняли др. область G этого пространства, то для системы, движение которой описывается уравнениями Гамильтона, согласно Л. т. соответствующие фазовые объёмы равны между собой: VG=VG0 при любом t.
Л. т. является следствием того, что якобиан преобразования от переменных (q0,p0) к переменным (q,p) (т. е. якобиан канонич. преобразования) согласно уравнениям Гамильтона равен единице.
Л. т. играет важную роль в статистич. физике, т. к. позволяет ввести функцию распределения плотности вероятности нахождения фазовой точки в элементе фазового объёма dV и вывести для неё Лиувилля уравнение.