Ги́льбертово простра́нство, линейное бесконечномерное пространство, в котором задано скалярное произведение и выполнено условие полноты относительно нормы, порождаемой этим скалярным произведением. Названо по имени Д. Гильберта, который использовал эти пространства при решении уравнений математической физики. Гильбертово пространство представляет собой естественное обобщение конечномерного векторного (евклидова) пространства.

Обычно предполагается, что линейная структура гильбертова пространства определена над полем комплексных чисел $\bf C$, т. е. в гильбертовом пространстве введено умножение элементов на комплексные числа, для каждой пары элементов введена их сумма и эти операции подчинены аксиомам векторного пространства. Если линейная структура определена над полем действительных чисел $\bf R$, то говорят о действительном гильбертовом пространстве. Скалярным произведением в гильбертовом пространстве $H$ называется функция, которую обычно обозначают $(x, y)$, со значениями в поле $\bf C$ (для действительного гильбертова пространства – в поле $\bf R$), определённая для произвольной пары элементов $x, y \in H$ и обладающая следующими свойствами:

$(x, x)⩾0$, причём $(x, x)=0$ тогда и только тогда, когда $x=0$;

$(x+y, z)=(x, z)+(y, z)$ для всех $x, y, z \in H$;

$(αx, y)=α(x, y)$ для всех $α \in \bf C$ и $x, y \in H$;

$(x, y)=\overline {(x, y)}$, где черта означает комплексное сопряжение.

В гильбертовом пространстве можно ввести норму $‖ x ‖$ элемента $x\in H$, положив $$‖ x ‖ = \sqrt {(x,x)}.$$При этом выполнены все свойства нормы:$$‖x‖ ⩾ 0, \ \ ‖αx‖=∣α∣\cdot‖x‖\,,\ \ \,‖x+y‖⩽‖x‖+‖y‖.$$Для скалярного произведения и нормы справедливо неравенство Коши – Буняковского $$∣(x, y)∣⩽‖x‖\cdot‖y‖.$$ Полнота гильбертова пространства $H$ означает, что для любой последовательности элементов $x_1, x_2,\ldots \in H$, для которой $‖x_k-x_n‖ \rightarrow 0$ при $k, n \rightarrow \infty$, существует элемент $x \in H$ такой, что $‖x_k-x‖ \rightarrow 0$ при $k \rightarrow \infty$. Линейное бесконечномерное пространство со скалярным произведением, в котором условие полноты не выполнено, называют предгильбертовым. Если $H_0$ – предгильбертово пространство, то существует единственное (с точностью до изоморфизма) гильбертово пространство $H$ такое, что $H_0⊂H$ и $H_0$ плотно в $H$. Такое гильбертово пространство $H$ называется пополнением пространства $H_0$.

Всякое гильбертово пространство является банаховым пространством. В гильбертовом пространстве выполнено равенство параллелограмма $$‖x+y‖^2+‖x-y‖^2=2(‖x‖^2+‖y‖^ 2).$$Наоборот, если в банаховом пространстве выполнено равенство параллелограмма, то это пространство можно рассматривать как гильбертово пространство, поскольку в этом случае функция $$(x, y)=\frac {1}{4} \left (||x+y||^2-||x-y||^2+i||x+iy||^2-i||x-iy||^2 \right) ,$$ где $i$ – мнимая единица, обладает всеми свойствами скалярного произведения (в случае действительного гильбертова пространства последние два слагаемых опускаются).

Важными примерами гильбертовых пространств являются пространства $l_2$ и $L_2(a, b)$. Пространство $l_2$ состоит из последовательностей комплексных чисел $x= \{x_1, x_2, \ldots\}$, удовлетворяющих условию $\sum_{k=1}^{\infty} |x_k|^2 \lt \infty$. Если $x=\{x_1, x_2, \ldots \}$ и $y=\{y_1, y_2,\ldots \}$ – две такие последовательности, то ряд $\sum_{k=1}^{\infty} x_ky_k$ сходится и определяет скалярное произведение $(x, y)$ в $l_2$. Пространство $L_2(a, b)$ вводится как пополнение пространства непрерывных функций $C[a, b]$ по норме, определяемой скалярным произведением $(f,g)=\int_a^bf(x)\overline g(x)dx$. Описание этого пополнения можно дать в терминах интеграла Лебега. Пространство $L_2(a, b)$ состоит из измеримых по Лебегу функций $f$, для которых существует интеграл Лебега $\int_a^b|f(x)|^2dx$ при этом функции отождествляются, если они отличаются лишь на множестве лебеговой меры нуль. Аналогично определяются гильбертовы пространства $L_2(Ω)$, где $Ω$ – область в $n$-мерном пространстве $\textbf R^n$.

Пространства $l_2$ и $L_2(Ω)$ (как и большинство встречающихся в приложениях пространств) являются сепарабельными. Сепарабельность пространства означает, что в нём существует счётный набор элементов такой, что любой элемент пространства можно сколь угодно точно приблизить элементами из этого набора. В сепарабельном гильбертовом пространстве $H$ существуют счётные ортонормированные базисы, т. е. системы элементов $\{e_k\}_{k=1}^{\infty}$, обладающие свойствами: $‖e_k‖=1, k=1,2,\ldots, (e_k, e_j)=0$ при $k≠j$, любой элемент $x\in H$ представим в виде ряда $x=\sum_{k=1}^{\infty}x_ke_k$, где $x_k$ – числа и ряд сходится по норме, т. е. $\left\| x-\sum_{k=1}^nx_ke_k\right\| \rightarrow 0$ при $n \rightarrow \infty$. Такое представление однозначно, числа $x_k$ равны $(x, e_k)$ и называются коэффициентами Фурье элемента $x$ по системе $\left\{e_k \right\}_{k=1}^{\infty}$. Справедливо равенство $$\sum_{k=1}^{\infty}|x_k|^2=||x||^2,$$называемое равенством Парсеваля; оно является бесконечномерным аналогом теоремы Пифагора. Примером ортонормированного базиса в $l_2$ является набор $\left\{e_n \right\}_{n=1}^{\infty}$, где $e_n$ – последовательность, $n$-я координата которой равна $1$, а остальные координаты – нули. Примером ортонормированного базиса в $L_2(0, 1)$ является система функций $\{\sqrt2\sin\pi nx\}_{n=1}^{\infty}$. Все сепарабельные гильбертовы пространства изоморфны друг другу.

В теории банаховых пространств вместе с пространствами $B$ рассматриваются сопряжённые с ними пространства $B^*$, состоящие из линейных непрерывных функционалов на $B$. Пространство, сопряжённое с гильбертовым пространством $H$, устроено просто, а именно: для каждого линейного непрерывного функционала $f$ на $H$ существует элемент $x^*∈H$ такой, что $f(x)=(x, x^*)$ и $‖f‖=‖x^*‖$, т. е. сопряжённое пространство $H^*$ оказывается изоморфным исходному гильбертову пространству $H$. Этот факт делает гильбертово пространство удобными для построения теории линейных операторов и даёт возможность ввести на гильбертовом пространстве понятия самосопряжённого и унитарного операторов, играющих важную роль в функциональном анализе и математической физике.

Абстрактное определение гильбертова пространства и основы общей теории линейных самосопряжённых и унитарных операторов были даны в работах Дж. фон Неймана, Ф. Рисса и американского математика М. Стоуна. Особую роль методы гильбертовых пространств стали играть после того, как в середине 1920-х гг. были сформулированы основные принципы квантовой механики, согласно которым состояния квантовомеханической системы интерпретируются как векторы гильбертова пространства $H$, а наблюдаемые (энергия, импульс и т. п.) – как самосопряжённые операторы в $H$. Важную роль в становлении теории операторов в гильбертовом пространстве сыграли работы П. Л. Чебышёва, А. А. Маркова (старшего) и Т. Стилтьеса по проблеме моментов, матрицам Якоби, теории ортогональных многочленов и непрерывным дробям.