ЛАПЛА́СА УРАВНЕ́НИЕ

ЛАПЛА́СА УРАВНЕ́НИЕ, диф­фе­рен­ци­аль­ное урав­не­ние с ча­ст­ны­ми про­из­вод­ны­ми $$\frac{\partial^2u}{\partial x_1^2}+\frac{\partial^2u}{\partial x_2^2}+\dots+\frac{\partial^2u}{\partial x_n^2}.$$где $x_1,x_2,...,x_n$ – не­за­ви­си­мые пе­ре­мен­ные, а $u=u(x_1,x_2,...,x_n)$ – ис­ко­мая функ­ция. При $n⩾2$ ре­ше­ния Л. у., имею­щие не­пре­рыв­ные ча­ст­ные про­из­вод­ные до 2-го по­ряд­ка, на­зы­ва­ют­ся гар­мо­ни­че­ски­ми функ­ция­ми. В трёх­мер­ном слу­чае к Л. у. при­во­дит ряд за­дач фи­зи­ки и тех­ни­ки. Напр., Л. у. удов­ле­тво­ря­ют тем­пе­ра­ту­ра при ста­цио­нар­ных про­цес­сах, по­тен­ци­ал элек­тро­ста­тич. по­ля в точ­ках про­стран­ст­ва, сво­бод­ных от за­ря­дов, и по­тен­ци­ал по­ля тя­го­те­ния в об­лас­ти, не со­дер­жа­щей при­тя­ги­ваю­щих масс. Л. у. встре­ча­ют­ся у Л. Эй­ле­ра (1761) и Ж. Д’Аламбера (1761) в ра­бо­тах, свя­зан­ных с за­да­ча­ми гид­ро­ме­ха­ни­ки. Ши­ро­кую из­вест­ность Л. у. по­лу­чи­ло по­сле по­яв­ле­ния ра­бот П. Ла­п­ла­са (1782, 1799) по не­бес­ной ме­ха­ни­ке.