ГАРМОНИ́ЧЕСКАЯ ФУ́НКЦИЯ

ГАРМОНИ́ЧЕСКАЯ ФУ́НКЦИЯ в об­лас­ти $D $ евк­ли­до­ва $n$-мер­но­го про­стран­ст­ва, $n⩾2$, дей­ст­ви­тель­ная функ­ция $u(x)=u(x_1 ... x_n)$, два­ж­ды не­пре­рыв­но диф­фе­рен­ци­руе­мая и удов­ле­тво­ряю­щая урав­не­нию Ла­п­ла­са$$\Delta u=\frac{\delta^2u}{\delta x_1^2}+\ldots +\frac{\delta^2 u}{\delta x_n^2}=0$$

Г. ф. ши­ро­ко ис­поль­зу­ют­ся в ма­те­ма­тич. фи­зи­ке. Это свя­за­но с тем, что на прак­ти­ке мн. ста­цио­нар­ные (ус­та­но­вив­шие­ся) фи­зич. про­цес­сы опи­сы­ва­ют­ся по­тен­ци­аль­ны­ми век­тор­ны­ми по­ля­ми, т. е. по­ля­ми ти­па gradu($x$), при этом ус­ло­вие гар­мо­нич­но­сти по­тен­циа­ла $u$ в об­лас­ти $D $ эк­ви­ва­лент­но от­сут­ст­вию ис­точ­ни­ков со­от­вет­ст­вую­ще­го по­ля в $D$. Так, напр., по­тен­ци­ал ста­цио­нар­но­го по­ля сил тя­го­те­ния в об­лас­ти без при­тя­ги­ваю­щих масс, по­тен­ци­ал элек­тро­ста­тич. по­ля в об­лас­ти, не со­дер­жа­щей элек­трич. за­ря­дов, по­тен­ци­ал по­ля ско­ро­стей без­вих­ре­во­го ус­та­но­вив­ше­го­ся те­че­ния не­сжи­мае­мой жид­ко­сти, темп-ра од­но­род­но­го те­ла при ус­ло­вии ус­та­но­вив­ше­го­ся рас­пре­де­ле­ния темп-ры (без внут­рен­них ис­точ­ни­ков) суть Г. ф. В при­ло­же­ни­ях, как пра­ви­ло, встре­ча­ют­ся Г. ф. трёх пе­ре­мен­ных [про­стран­ст­вен­ных ко­ор­ди­нат точ­ки $x=(x_1,x_2,x_3$)], а так­же Г. ф. двух пе­ре­мен­ных, ко­то­рые по­яв­ля­ют­ся, ко­гда, напр., функ­ция $u(x_1,x_2,x_3)$, опи­сы­ваю­щая ис­сле­дуе­мое яв­ле­ние, не за­ви­сит от од­ной из ко­ор­ди­нат.

Г. ф. двух пе­ре­мен­ных $u(x,y)$ на­хо­дят­ся в тес­ной свя­зи с ана­ли­ти­че­ски­ми функ­ция­ми $f(z)$ ком­плекс­но­го пе­ре­мен­но­го $z=x+iy$. Точ­нее, функ­ция $u(x,y)$ яв­ля­ет­ся гар­мо­ни­че­ской в пло­ской од­но­связ­ной об­лас­ти $D$ то­гда и толь­ко то­гда, ко­гда она сов­па­да­ет с дей­ст­ви­тель­ной или мни­мой ча­стью не­ко­то­рой ана­ли­ти­че­ской в $D$ функ­ции $f(z)$.

Осн. свой­ст­ва­ми Г. ф. $u$ в об­лас­ти $D$ яв­ля­ют­ся бес­ко­неч­ная диф­фе­рен­ци­руе­мость $u$ в $D$, тео­ре­ма о ср. зна­че­нии (для лю­бо­го ша­ра $B$, ле­жа­ще­го в $D$, зна­че­ние $u$ в цен­тре ша­ра рав­но ср. зна­че­нию $u$ по это­му ша­ру и рав­но ср. зна­че­нию по по­верх­но­сти сфе­ры, ог­ра­ни­чи­ваю­щей шар $B$), прин­цип экс­тре­му­ма (не­по­сто­ян­ная Г. ф. $u$ не мо­жет иметь ло­каль­ных мак­си­му­мов и ми­ни­му­мов внут­ри $D$), свой­ст­во един­ст­вен­но­сти (Г. ф. $u $ в лю­бой точ­ке $x∈D$ од­но­знач­но оп­ре­де­ля­ет­ся свои­ми зна­че­ния­ми в сколь угод­но ма­лой ок­ре­ст­но­сти про­из­воль­ной фик­си­ро­ван­ной точ­ки $a∈D$).

В тео­рии Г. ф. осо­бую роль иг­ра­ют т. н. фун­дам. ре­ше­ния урав­не­ния Ла­п­ла­са, с по­мо­щью ко­то­рых, в ча­ст­но­сти, ре­ша­ют­ся осн. крае­вые и гра­нич­ные за­да­чи тео­рии Г. ф. в об­лас­тях с глад­кой гра­ни­цей. См. Диф­фе­рен­ци­аль­ное урав­не­ние с ча­ст­ны­ми про­из­вод­ны­ми, По­тен­циа­ла тео­рия.