ДИРА́КА УРАВНЕ́НИЕ

ДИРА́КА УРАВНЕ́НИЕ, диф­фе­рен­ци­аль­ное урав­не­ние для вол­но­вой функ­ции $ψ(\boldsymbol x, t)$ сво­бод­ной (не­взаи­мо­дей­ст­вую­щей) ре­ля­ти­ви­ст­ской час­ти­цы со спи­ном 1/2 (элек­трон, мю­он, квар­ки и др.), опи­сы­ваю­щее из­ме­не­ние её со­стоя­ния со вре­ме­нем $t$ ($\boldsymbol x$ – про­стран­ст­вен­ные ко­ор­ди­на­ты). По­лу­че­но П. Ди­ра­ком в 1928 на ос­но­ве сле­дую­щих тре­бо­ва­ний. Урав­не­ние долж­но быть ин­ва­ри­ант­ным от­но­си­тель­но Ло­рен­ца пре­об­ра­зо­ва­ний (т. е. иметь оди­на­ко­вый вид во всех инер­ци­аль­ных сис­те­мах от­счё­та); ли­ней­ным, что­бы вы­пол­нял­ся су­пер­по­зи­ции прин­цип; долж­но быть пер­во­го по­ряд­ка по вре­ме­ни, что­бы со­стоя­ние в дан­ный мо­мент оп­ре­де­ля­ло со­стоя­ния во все по­сле­дую­щие мо­мен­ты вре­ме­ни. Этим тре­бо­ва­ни­ям удов­ле­тво­ря­ет толь­ко сис­те­ма из че­ты­рёх урав­не­ний для функ­ции $ψ(\boldsymbol x)$, ко­то­рая име­ет 4 ком­по­нен­ты, и Д. у. за­пи­сы­ва­ет­ся в ви­де$$\sum_{μ}γ_μ\partial ψ(\boldsymbol x)/\partial x_μ+(imc/\hbar)ψ(\boldsymbol x)=0,$$где$ μ=0, 1, 2, 3; x_1=x, x_2=y, x_3=z$ – про­стран­ст­вен­ные ко­ор­ди­на­ты, $x_0=ct$ – вре­меннáя ко­ор­ди­на­та, $c$ – ско­рость све­та, $\hbar$ – по­сто­ян­ная План­ка, $m$ – мас­са час­ти­цы; $γ_μ$ – т. н. мат­ри­цы Ди­ра­ка.

Для сво­бод­ной час­ти­цы Д. у. при­во­дит к ре­ля­ти­ви­ст­ско­му со­от­но­ше­нию ме­ж­ду им­пуль­сом $p$, энер­ги­ей $\mathscr E$ и мас­сой час­ти­цы:$$\mathscr E^2=m^2c^4+p^2c^2.$$ Для по­коя­щей­ся час­ти­цы это со­от­вет­ст­ву­ет $\mathscr E=\pm mc^2$ (энер­гия по­коя час­ти­цы). Ин­тер­вал энер­гий $–mc^2\lt \mathscr E \lt mc^2$ яв­ля­ет­ся за­пре­щён­ным. В кван­то­вой тео­рии по­ля со­стоя­ние час­ти­цы с от­ри­ца­тель­ной энер­ги­ей ин­тер­пре­ти­ру­ет­ся как со­стоя­ние ан­ти­час­ти­цы, об­ла­даю­щей по­ло­жи­тель­ной энер­ги­ей, но про­ти­во­по­лож­ным элек­три­че­ским и др. со­хра­няю­щи­ми­ся за­ря­да­ми (леп­тон­ным, ба­ри­он­ным, ги­пер­за­ря­дом). Т. о., че­ты­ре не­за­ви­си­мых ре­ше­ния Д. у. опи­сы­ва­ют не толь­ко со­стоя­ние час­ти­цы со спи­ном ¹/₂, но и со­стоя­ние её ан­ти­час­ти­цы, ка­ж­дое с дву­мя воз­мож­ны­ми про­ек­ция­ми спи­на на на­прав­ле­ние им­пуль­са (+¹/₂ и –¹/₂). Экс­пе­рим. об­на­ру­же­ние в 1932 по­зи­тро­на (ан­ти­элек­тро­на), пред­ска­зан­но­го Ди­ра­ком, под­твер­ди­ло спра­вед­ли­вость урав­не­ния Ди­ра­ка.

Для взаи­мо­дей­ст­вую­щих час­тиц в Д. у. по­яв­ля­ет­ся до­пол­нит. сла­гае­мое, учи­ты­ваю­щее это взаи­мо­дей­ст­вие. В кван­то­вой элек­тро­ди­на­ми­ке, объ­е­ди­нён­ной тео­рии сла­бо­го и элек­тро­маг­нит­но­го взаи­мо­дей­ст­вий, а так­же в кван­то­вой хро­мо­ди­на­ми­ке вид это­го сла­гае­мо­го оп­ре­де­ля­ет­ся тре­бо­ва­ни­ем ло­каль­ной (т. е. за­ви­ся­щей от ко­ор­ди­нат и вре­ме­ни) ка­либ­ро­воч­ной сим­мет­рии. В элек­тро­ди­на­ми­ке, например, оно по­лу­ча­ет­ся за­ме­ной про­из­вод­ной $𝜕ψ(\boldsymbol x)/𝜕x_μ$ в Д. у. на $(\partial/\partial x_μ+ieA_μ/\hbar c)ψ(\boldsymbol x)$, где $e$ – за­ряд час­ти­цы, $Aμ$ – че­ты­рёх­мер­ный по­тен­ци­ал элек­тро­маг­нит­но­го по­ля; сла­гае­мое $ieA_μ/\hbar c$ опи­сы­ва­ет взаи­мо­дей­ст­вие за­ря­жен­ной час­ти­цы с элек­тро­маг­нит­ным по­лем. Ана­ло­гич­ные чле­ны, опи­сы­ваю­щие взаи­мо­дей­ст­вие час­ти­цы с век­тор­ны­ми ка­либ­ро­воч­ны­ми по­ля­ми, воз­ни­ка­ют и в др. кван­то­вых тео­ри­ях.

За­ря­жен­ная час­ти­ца, опи­сы­вае­мая Д. у., об­ла­да­ет маг­нит­ным мо­мен­том $e\hbar /2mc$ (для элек­тро­на рав­ным маг­не­то­ну Бо­ра). Од­на­ко взаи­мо­дей­ст­вие с ва­куу­мом при­во­дит в кван­то­вой тео­рии по­ля к по­яв­ле­нию до­пол­ни­тель­но­го, т. н. ано­маль­но­го, маг­нит­но­го мо­мен­та. В не­ре­ля­ти­ви­ст­ском пре­де­ле Д. у. для элек­тро­на пе­ре­хо­дит в Пау­ли урав­не­ние, объ­яс­няю­щее, в ча­ст­но­сти, тон­кую струк­ту­ру уров­ней энер­гии ато­ма.