ПА́УЛИ УРАВНЕ́НИЕ

ПА́УЛИ УРАВНЕ́НИЕ, урав­не­ние не­ре­ля­ти­ви­ст­ской кван­то­вой ме­ха­ни­ки, опи­сы­ваю­щее дви­же­ние за­ря­жен­ной час­ти­цы со спи­ном ¹/₂ (напр., элек­тро­на) во внеш­нем элек­тро­маг­нит­ном по­ле. Пред­ло­же­но В. Пау­ли

в 1927.

П. у. яв­ля­ет­ся обоб­ще­ни­ем Шрё­дин­ге­ра урав­не­ния

, учи­ты­ваю­щим на­ли­чие у час­ти­цы собств. ме­ха­нич. мо­мен­та – спи­на

 >>

. Час­ти­ца со спи­ном ¹/₂ мо­жет на­хо­дить­ся в двух разл. кван­то­вых со­стоя­ни­ях с про­ек­ция­ми спи­на +¹/₂ и –¹/₂ на про­из­воль­но вы­бран­ное на­прав­ле­ние, при­ни­мае­мое обыч­но за ось $z$. В со­от­вет­ст­вии с этим вол­но­вая функ­ция час­ти­цы $ψ(\boldsymbol{r}, t)$ ($\boldsymbol{r}$ – ко­ор­ди­на­та час­ти­цы, $t$ – вре­мя) яв­ля­ет­ся двух­ком­по­нент­ной, что при­ня­то за­пи­сы­вать в ви­де мат­ри­цы-столб­ца: $$ψ(\boldsymbol{r}, t)=\begin{pmatrix}ψ_1(\boldsymbol{r}, t)\\ ψ_2(\boldsymbol{r}, t)\end{pmatrix},$$ Та­кая функ­ция на­зы­ва­ет­ся спи­но­ром. Про­ек­ция спи­на $s_z=+1/2$ со­от­вет­ст­ву­ет $ψ=ψ_1, ψ_2=0$, про­ек­ция спи­на $s_z=–1/2$ со­от­вет­ст­ву­ет $ψ=ψ_2, ψ_1= 0$. Во внеш­нем маг­нит­ном по­ле ком­по­нен­ты вол­но­вой функ­ции «пе­ре­ме­ши­ва­ют­ся», что со­от­вет­ст­ву­ет из­ме­не­нию на­прав­ле­ния спи­на.

В ча­ст­ном слу­чае по­сто­ян­но­го и од­нород­но­го маг­нит­но­го по­ля на­пря­жён­но­стью $H$ (на­прав­ле­ние ко­то­ро­го мож­но при­нять за ось $z$) П. у. мож­но пред­ставить в ви­де сис­те­мы урав­не­ний для функ­ций $ψ_1$ и $ψ_2$: $$Γ_0 ψ_1 - (e \hbar /2mc)Hψ_1=\mathscr{E} ψ_1\, для\,s_z=+1/2, \\ Γ_0 ψ_2+(е \hbar /2mc)Hψ_2=\mathscr{E} ψ_2\,для\, s_z=–1/2. \tag{*}$$

 Здесь $Γ_0$ сов­па­да­ет с га­миль­то­ниа­ном, вхо­дя­щим в урав­не­ние Шрё­дин­ге­ра для за­ря­жен­ной час­ти­цы во внеш­нем элек­тро­маг­нит­ном по­ле, $e$ и $m$ – элек­трич. за­ряд и мас­са час­ти­цы, $c$ – ско­рость све­та, $\hbar$ – по­сто­ян­ная План­ка, $\mathscr{E}$ – воз­мож­ные (соб­ст­вен­ные) зна­че­ния энер­гии. Т. о., энер­гия элек­тро­на за­ви­сит от ори­ен­та­ции спи­на по от­но­ше­нию к маг­нит­но­му по­лю. Это мож­но ин­тер­пре­ти­ро­вать как на­ли­чие у элек­тро­на соб­ст­вен­но­го (спи­но­во­го) маг­нит­но­го мо­мен­та $μ=е\hbar/2mc$. Вто­рые сла­гае­мые в ле­вой час­ти урав­не­ний (*) со­от­вет­ст­ву­ют по­тен­ци­аль­ной энер­гии взаи­мо­дей­ст­вия собств. маг­нит­но­го мо­мен­та $μ$ с маг­нит­ным по­лем $H$, рав­ной для сла­бых по­лей (как и в клас­сич. фи­зи­ке) –$μ_HH$, где $μ_H$ – про­ек­ция маг­нит­но­го мо­мен­та на на­прав­ле­ние по­ля $\boldsymbol{H}$. Т. к. спин элек­тро­на ра­вен $\hbar/2$ (в еди­ни­цах $\hbar$), то от­но­ше­ние спи­но­во­го маг­нит­но­го мо­мен­та к ме­ха­ни­че­ско­му (ги­ро­маг­нит­ное от­но­ше­ние) рав­но $е/mc$, т. е. в 2 раза боль­ше ги­ро­маг­нит­но­го от­но­ше­ния для ор­би­таль­но­го мо­мен­та.

 

П. у. ес­те­ст­вен­ным об­ра­зом вы­те­ка­ет из ре­ля­ти­ви­ст­ско­го Ди­ра­ка урав­не­ния

, ес­ли ог­ра­ни­чить­ся пер­вым при­бли­же­ни­ем по $v/c$ ($v$ – ско­рость элек­тро­на, $v≪c$).