МАТЕМАТИ́ЧЕСКОЙ ФИ́ЗИКИ УРАВНЕ́НИЯ
-
Рубрика: Математика
-
-
Скопировать библиографическую ссылку:
Книжная версия:
Электронная версия:
МАТЕМАТИ́ЧЕСКОЙ ФИ́ЗИКИ УРАВНЕ́НИЯ, дифференциальные уравнения с частными производными, а также некоторые родств. уравнения иных типов (интегральные, интегродифференциальные и т. д.), к которым приводит математич. анализ физич. явлений. Для полного описания динамики физич. процесса, помимо уравнений, необходимо задать состояние процесса в некоторый фиксированный момент времени (начальные условия) и режим на границе среды, где протекает этот процесс (граничные условия). Начальные и граничные условия образуют краевые условия, а дифференциальные уравнения вместе с соответствующими краевыми условиями приводят к краевым задачам математич. физики.
В 19 в. в математич. физике изучались: уравнение Пуассона
Δ u=f, \:u=u(x), \:f=f(x), \:x=(x_1,x_2,...,x_n)∈G,\tag1
где \Delta =\frac{\partial^2 }{\partial x_1^2}+...+\frac{\partial^2 }{\partial x_n^2} и G – область в n-мерном пространстве \mathbf{R}^n (при f=0 это уравнение превращается в Лапласа уравнение); уравнение теплопроводности
\frac{\partial u}{\partial x}=a^2\Delta u+f,\:u=u(x,t),\:f=f(x,t),\:x\in G\subset \mathbf{R}^n,\:t> 0,\tag2
\square u=f,\:u=u(x,t),\:f=f(x,t),\:x\in G\subset \mathbf{R}^n,\:t> 0,\tag3
где \square =\frac{\partial^2 }{\partial t^2}-\Delta – оператор Д’Аламбера (даламбертиан). Уравнения (2) и (3), не зависящие от параметра t, который обычно играет роль времени, называются стационарными; они сводятся к уравнению (1).
В 1860 появилось уравнение Гельмгольца
Δ u+k^2u=–f,\: u =u(x),\: f=f(x),\: x∈\mathbf{R}^3,\tag4
описывающее установившиеся колебательные процессы; при k = 0 это уравнение превращается в уравнение (1). В 1920-х гг. появилось Клейна – Фока – Гордона уравнение
□u+m^2u=0,\: u=u(t,x).
Кроме перечисленных уравнений, в теории М. ф. у. рассматривались уравнение Ньютона движения частицы массы m в поле с потенциалом V(x),\: x= x(t)∈\mathbf{R}^3,
m\frac{\partial^2 x}{\partial t^2}=-\textrm{grad}V(x),\tag5 уравнение Кортевега – де Фриза \frac{\partial u}{\partial t}-6u\frac{\partial u}{\partial x}+\frac{\partial^3u }{\partial x^3}=0,\:u=u(x,t),\:x\in \mathbf{R}^1 описывающее распространение волн на мелкой воде, и уравнение колебаний маятника
\frac{\partial^2 u}{\partial t^2}+a^2\textrm{sin}u=0,\:u=u(t). Для уравнения (1) граничные условия u \mid _{x\in S}=v(x) или \frac{\partial u}{\partial n} \mid _{x\in S}=v_1(x), (6) где S – граница области G и n – вектор внешней нормали к S, приводят к задачам, называемым задачей Дирихле и задачей Неймана соответственно. Для уравнения (2) начальное условие
u(x,0)=u_0(х), x∈\mathbf{R}^n,\tag7 определяет задачу Коши. Для уравнения (3) начальные условия u(x,0)=u_0(x),\:\frac{\partial u}{\partial t}\mid _{t=0}=u_1(x),\:x\in \mathbf{R}^n,\tag8
определяют задачу Коши. Для уравнений (2) и (3) рассматриваются также смешанные задачи, которые содержат как граничные условия (6), так и начальные условия (7) или (8). Для уравнения (4) рассматриваются граничные условия на бесконечности, которые имеют вид u (x)=e^{ik(a,x)}+v(x),\: a∈\mathbf{R}^3,\: ∣a∣=1, где i – мнимая единица, (a,x) означает скалярное произведение a и x, а функция v(x) удовлетворяет условиям излучения Зоммерфельда
v(x)=O(\mid x\mid ^{-1}),\:\frac{\partial v(x)}{\partial \mid x\mid }-ikv(x)=o(\mid x\mid ^{-1}),\:\mid x\mid \rightarrow \infty .
Для уравнения Ньютона (5) задаются начальные положение x(0)=x_0 и скорость \frac{\partial x}{\partial t}\mid _{t=0}=x_1 частицы при t=0.
К более сложным М. ф. у. относятся системы нелинейных дифференциальных уравнений гидродинамики, Гамильтона уравнения, Лиувилля уравнение, Максвелла уравнения, Навье – Стокса уравнения и др. Перечисленные уравнения и соответствующие краевые задачи составляют предмет классич. математич. физики, которая не утрачивает своего значения.
В М. ф. у. выделяется важный класс задач, поставленных корректно по Адамару, т. е. задач, для которых решение существует, единственно и непрерывно зависит от исходных данных.
В 20 в. с развитием квантовой физики, теории относительности и ядерной энергетики появились уравнения и краевые задачи совр. математич. физики, среди которых – Шрёдингера уравнение
iℏ\frac{\partial u}{\partial t}=\frac{ℏ^2}{2m}\Delta u+V(x)u,\:u=u(x,t),\:x\in \mathbf{R}^3,
где ℏ – постоянная Планка, m – масса частицы, и для этого уравнения ставится задача Коши. Для стационарного уравнения Шрёдингера граничным условием может быть условие принадлежности функции u к гильбертову пространству L_2(\mathbf{R}^3), отражающее поведение решения на бесконечности. Среди уравнений совр. математич. физики – односкоростное уравнение переноса для изотропного рассеяния \frac{1}{v}\frac{\partial u}{\partial t}+(\Omega ,\textrm{grad}\:u)+\alpha u=\frac{\beta }{4\pi }\int_{\mid \Omega '\mid =1}u(x,\Omega ',t)d\Omega '+F
где u(t, Ω, x) – плотность частиц, движущихся со скоростью v в направлении Ω,\: Ω∈\mathbf{R}^3, ∣Ω∣=1, в точке x∈\mathbf{R}^3 в момент времени t, и для этого уравнения рассматривается задача Коши. Для стационарного уравнения переноса в качестве граничного условия для выпуклой области рассматривается условие
u(t, Ω, x)=0, при x∈S, (Ω, n) < 0,
где S – граница области, n – внешняя нормаль к S. Это условие означает отсутствие падающего потока частиц.
Более сложными уравнениями совр. математич. физики являются уравнения квантовой теории поля, в частности Дирака уравнение и Янга – Миллса уравнение, уравнения гравитац. поля, Боголюбова цепочка уравнений. К таким уравнениям относятся также уравнения p-адической математич. физики, в частности т. н. уравнение динамики тахионов p-адических струн
exp(α□u)=u^p,\: u=u(t, x),\: x∈\mathbf{R}^{d-1},
где p – простое число, с граничными условиями
u(± ∞, x)=1 для замкнутой струны, α=1/4;
u(±∞, x)=1, u(±∞, x)=–1 для открытой струны, α=1/2, p≠2.