ФУ́НКЦИЯ
-
Рубрика: Математика
-
-
Скопировать библиографическую ссылку:
ФУ́НКЦИЯ (от лат. functio – исполнение, осуществление), одно из основных понятий математики, означающее зависимость одних переменных величин от других. Слово «величина» в этом определении понимается в самом широком смысле: это может быть именованное число, отвлечённое число (действительное или комплексное), неск. чисел (т. е. точка пространства) и вообще элемент любого множества.
Действительная функция одного действительного переменного
В простейшем случае, когда величина – действительное число, понятие «Ф.» определяется следующим образом. Пусть каждому числу $x$ из заданного множества $E$ поставлено в соответствие число $y$, обозначаемое $y=f(x)$ (читается «игрек равен эф от икс»). Тогда говорят, что на множестве $E$ задана функция $y=f(x)$, $x∈E$. При этом употребляются следующие термины: $x$ – независимое переменное, или аргумент; $y$ – зависимое переменное, или функция; $E$ – множество значений, которые может принимать $x$, – область определения, или область задания Ф. (областью определения Ф. может быть множество всех действительных чисел, интервал, отрезок и т. п.). Слова «поставлено в соответствие» означают, что указан определённый способ, по которому для каждого $x∈E$ находится значение $y=f(x)$. Этот способ в данном случае обозначен символом $f$. Для обозначения Ф. применяются и др. буквы, напр. $y=g(x)$, $y=F(x)$, $s=h(t)$, $v=φ(s)$.
Во всех случаях, когда употребляется термин «Ф.», подразумевается, если не оговорено противное, однозначная Ф., т. е. такое соответствие, при котором каждому значению аргумента $x$ соответствует только одно значение Ф. $y$. Если одному и тому же значению аргумента соответствует несколько (быть может, даже бесконечное множество) значений $y$, то $y=f(x)$ называется многозначной функцией аргумента $x$.
Способы задания функции
Аналитический способ задания функции
Наиболее распространён аналитич. способ задания Ф., при котором Ф. задаётся формулой, устанавливающей, какие вычислительные операции надо произвести над $x$, чтобы найти $y$. Напр., $y=2x+1$, $y=3x^2$, $y=\sqrt{x^2-1}$, $y=x/(x+1)$, $y=\cos\,x$. При этом считается, что областью определения Ф. является множество всех тех значений $x$, при которых выполнимы все операции, указанные в формуле. Напр., областью определения Ф. $y=3x^2$ является множество всех действительных чисел, областью определения Ф. $y=\ln(x-1)$ – полупрямая $x > 1$, областью определения Ф. $y=\sqrt{1-x^2}$ отрезок $–1 ⩽ x ⩽ 1$. Ф. может быть задана разными формулами на разных частях области определения. Напр., Ф. $y=\cos\,x,$ $–π ⩽ x ⩽ 0$, $y=1$, $0 < x < 1$, $y=1/x$, $1 ⩽ x ⩽ 2$, задана на отрезке $–π ⩽ x ⩽2$ тремя разными формулами.
Часто используется задание Ф. с помощью предельного перехода, в частности в виде сходящегося ряда – бесконечной суммы или сходящегося бесконечного произведения. Напр., $$e^x=\sum_{n=0}^{\infty} \frac{x^n}{n!},\\ \sin\,x=\sum_{n=0}^{\infty}(-1)^n\frac{x^{2n+1}}{(2n+1)!},\\ \sin\,x=x\prod_{n=1}^{\infty} \left( 1-\frac{x^2}{\pi^2n^2}\right).$$
При аналитич. способе задания Ф. может быть задана явно, когда дано выражение $y$ через $x$, т. е. формула имеет вид $y=f(x)$, неявно, когда $x$ и $y$ связаны между собой уравнением $F(x,y)=0$, а также параметрически, когда соответствующие друг другу значения $x$ и $y$ выражены через третью переменную величину $t$, называемую параметром. Так, функция $y=\sqrt{1-x^2}$, $–1 ⩽ x ⩽ 1$, и имеется в виду арифметич. корень, может быть задана неявно в виде $x^2+y^2-1=0$, или параметрически в виде $x=\cos\,t$, $y=\sin\,t$ ,$0 ⩽ t ⩽ π$.
Иногда Ф. задаётся с помощью словесной формулировки; напр., функция Дирихле равна 1, если $x$ – число рациональное, и равна 0, если $x$ – число иррациональное. Эту же функцию можно записать в виде $$\lim_{n→∞} \lim_{m→∞}(\cos\,πxn!)^{2m}.$$
Графический способ задания функции
Распространён графич. способ задания Ф. Графиком Ф. $y=f(x)$, $y∈E$, называется множество точек плоскости с прямоугольными координатами $(x,y)$, где $x∈E$, $y=f(x)$. Графич. способ задания Ф. широко применяется на практике. Так, мн. процессы изменения одной величины в зависимости от другой исследуются с помощью кривых, записанных с помощью самопишущих приборов. Хотя график Ф. и не даёт возможности точного определения численных значений $x$ и $y$, он наглядно отражает качественное поведение Ф. (непрерывность, монотонность, максимумы и минимумы, точки перегиба и т. д.) и поэтому является важным средством исследования функции.
Табличный способ задания функции
При табличном способе задания Ф. задаётся в виде таблицы, в которой для каждого значения аргумента указывается соответствующее ему значение Ф. Такой способ задания Ф. часто применяется в тех случаях, когда область определения состоит из конечного числа значений.
Действительная функция нескольких действительных переменных
Ф. от двух переменных определяется следующим образом. Рассматривается множество $E$ упорядоченных пар чисел $(x,y)$. Если каждой паре $(x,y)∈E$ поставлено в соответствие действительное число $z$, то говорят, что на множестве $E$ определена Ф. $z=f(x,y)$ от двух переменных $x$ и $y$. Т. к. каждой паре чисел $(x,y)$ соответствует на плоскости точка с координатами $(x,y)$, то Ф. $f(x,y)$ задана на множестве $E$ точек плоскости. График Ф. $z=f(x,y)$ можно изобразить в трёхмерном пространстве, где задана прямоугольная система координат $(x,y,z)$, в виде множества точек $(x,y,f(x,y))$, проекции которых на плоскость $(x,y)$ принадлежат множеству $E$. Напр., график функции $z=\sqrt{1-x^2-y^2},$ $x^2+y^2 ⩽ 1$, и имеется в виду арифметич. корень, изображается верхней половиной шаровой поверхности радиуса 1 с центром в начале координат.
Аналогично можно рассматривать множество $E$, состоящее из упорядоченных систем $(x_1,x_2,...,x_n)$ из $n$ чисел, и Ф. $z=f(x_1,x_2,...,x_n)$ от $n$ переменных, определённую на множестве $E$.
Общее понятие функции
Пусть заданы множества $E$ и $E_1$ элементов любой природы и пусть каждому элементу $x∈E$ поставлен в соответствие элемент $y∈E_1$, обозначаемый $y=f(x)$. Тогда говорят, что задана функция $y=f(x)$, $x∈E$, что часто записывается как $f:\,E→E_1$.
Принята следующая терминология: $x$ – независимое переменное, или аргумент; $E$ – область определения Ф., каждый элемент $x∈E$ – значение аргумента; $y$ – зависимое переменное, или Ф., от аргумента $x$; $E_1$ – область значений Ф., каждый элемент $y∈E_1$ такой, что $y=f(x)$ для некоторого значения $x∈E$, называется значением функции.
Множество $E'$ значений Ф. $y=f(x)$, $x∈E$, обозначается иногда символом $f(E)$, т. е. $E'=f(E)$. Множество значений Ф. $E'$ является подмножеством области значений Ф.: $E'⊂E_1$, в частности, оно может совпадать с $E_1$. Напр., для действительных Ф. от одного действительного переменного областью значений является множество всех действительных чисел, а множеством значений может быть любое множество действительных чисел. Так, для Ф. $y=3x$ множеством значений является множество всех действительных чисел; множеством значений Ф. $y=x^2$ является полупрямая $y⩾0$; множеством значений Ф. $y=\text{arctg}\,x$ – интервал $–π/2 < y < π/2$.
Ф. $y=f(x)$, $x∈E$, задаёт отображение множества $E$ на множество её значений $E'=f(E)$. Если $x∈E$ – фиксиров. значение аргумента и $y=f(x)$, то $y$ называется образом элемента $x$, а $x$ – прообразом элемента $y$. Множество $E'$ называется образом множества $E$. Напр., Ф. $y=3x$ отображает множество точек оси абсцисс на множество точек оси ординат; Ф. $y=\ln\,x$ отображает полупрямую $x > 0$ на всю ось ординат; Ф. $y=\sqrt{1-x^2}$ отображает отрезок $–1 ⩽ x ⩽ 1$ на отрезок $0 ⩽ y ⩽ 1$.
Для Ф. $f(x)$ и $g(x)$ естественным образом определяются арифметич. операции: это Ф., принимающие (в тех случаях, когда это имеет смысл) значения $f(x)±g(x)$, $f(x)g(x)$, $f(x)/g(x)$.
Термин «Ф.» чаще всего используется только для обозначения числовой Ф. от одного или нескольких переменных (действительных или комплексных). В др. случаях, как правило, используются спец. термины: оператор, отображение, преобразование, функционал.
См. также Монотонная функция, Непрерывная функция, Периодическая функция, Специальные функции, Чётные и нечётные функции, Элементарные функции.
Исторический очерк
Как и остальные понятия математики, понятие Ф. сложилось не сразу, а прошло долгий путь развития. По существу, речь о функциональной зависимости и её графич. изображении идёт в работе П. Ферма «Введение и изучение плоских и телесных мест» (1636, опубл. в 1679). Изучение линий по их уравнениям в «Геометрии» Р. Декарта (1637) также указывает на ясное представление о взаимной зависимости двух переменных величин. У англ. математика И. Барроу («Лекции по геометрии», 1670) в геометрич. форме устанавливается взаимная обратность действий дифференцирования и интегрирования (разумеется, без употребления самих этих терминов). Это свидетельствует о совершенно отчётливом владении понятием Ф. В геометрич. и механич. виде это понятие можно найти и у И. Ньютона. Однако термин «Ф.» впервые появляется лишь в 1692 у Г. Лейбница, и притом не совсем в современном его понимании. Лейбниц называет Ф. разл. отрезки, связанные с к.-л. кривой, напр. абсциссы её точек. В первом печатном курсе «Анализа бесконечно малых» франц. математика Г. Лопиталя (1696) термин «Ф.» не употребляется.
Первое определение Ф. в смысле, близком к современному, встречается у И. Бернулли (1718): «Функция – это величина, составленная из переменной и постоянной». В основе этого не вполне отчётливого определения лежит идея задания Ф. аналитич. формулой. Та же идея выступает и в определении Л. Эйлера, данном им во «Введении в анализ бесконечных» (1748): «Функция переменного количества есть аналитическое выражение, составленное каким-либо образом из этого переменного количества и чисел или постоянных количеств». На протяжении 18 в. отсутствовало достаточно ясное понимание различия между Ф. и её аналитич. выражением. С нач. 19 в. уже всё чаще и чаще определяют понятие Ф. без упоминания о её аналитич. выражении. Такие определения встречаются в работах Ж. Фурье (1822), Д. Дирихле (1829, 1837), Н. И. Лобачевского (1834). Так сложилось совр. понятие Ф., свободное от упоминания о её аналитич. задании.