ОТОБРАЖЕ́НИЕ

ОТОБРАЖЕ́НИЕ в ма­те­ма­ти­ке, за­кон, по ко­то­ро­му ка­ж­до­му эле­мен­ту $x$ не­ко­то­ро­го за­дан­но­го мно­же­ст­ва $X$ со­пос­тав­ля­ет­ся оп­ре­де­лён­ный эле­мент $y$ дру­го­го за­дан­но­го мно­же­ст­ва $Y$ (при этом $X$ мо­жет сов­па­дать с $Y$). Та­кое со­от­но­ше­ние ме­ж­ду эле­мен­та­ми $x \in X$ и $y \in Y$ за­пи­сы­ва­ет­ся в ви­де $y=f(x)$, $y=fx$, $y=xf$ или $f:x \mapsto y$. При этом час­то го­во­рят, что ото­бра­же­ние $f$ дей­ст­ву­ет из $X$ в $Y$ и пи­шут $f:X \to Y$ или $X \xrightarrow {f} Y$. Вме­сто тер­ми­на «О.» час­то упот­реб­ля­ют тер­мин «опе­ра­тор» (осо­бен­но в функ­цио­наль­ном ана­ли­зе и ли­ней­ной ал­геб­ре), а так­же «функ­ция» (осо­бен­но в слу­чае, ко­гда $Y$ – чи­сло­вое мно­же­ст­во). О. $f:X \to X$ на­зы­ва­ют так­же пре­об­ра­зо­ва­ни­ем мно­же­ст­ва $X$.

Ино­гда рас­смат­ри­ва­ют О. $f$, оп­ре­де­лён­ные не на всём мно­же­ст­ве $X$, а на не­ко­то­ром его под­мно­же­ст­ве $D_f\subset X$, на­зы­вае­мом об­ла­стью оп­ре­де­ле­ния О. $f$, в этом слу­чае мож­но счи­тать, что $f$ – всю­ду оп­ре­де­лён­ное О. из $D_f$ в $Y$. Под­мно­же­ст­во $$f(X)=\text{Im}f=\{f(x):x\in X\}$$мно­же­ст­ва $Y$ на­зы­ва­ют об­ра­зом $X$ или об­ла­стью зна­че­ний О. $f$. Эле­мент $y=f(x)$ на­зы­ва­ют об­ра­зом эле­мен­та $x$, а сам $x$ при этом – про­об­ра­зом эле­мен­та $y$. Ес­ли $B \subset Y$, то мно­же­ст­во всех та­ких $x \in X$, для ко­то­рых $f(x) \in B$, на­зы­ва­ют пол­ным про­об­ра­зом мно­же­ст­ва $B$ в $X$. Мно­же­ст­во всех О. из $X$ в $Y$ час­то обо­зна­ча­ет­ся $Y^X$. Су­же­ни­ем, или ог­ра­ни­че­ни­ем, О. $f:X \to Y$ на под­мно­же­ст­во $A \subset X$ на­зы­ва­ют О. (обо­зна­чае­мое $f_A$ или $f|A$), за­дан­ное для $x \in A$ ра­вен­ст­вом $f_A(x)=f(x)$. Про­дол­же­ни­ем, или рас­ши­ре­ни­ем, или рас­про­стра­не­ни­ем, О. $f$ на $B \supset X$ на­зы­ва­ют лю­бое О. $f_B:B \to Y$, сов­па­даю­щее с $f$ на мно­же­ст­ве $X$.

Ес­ли за­да­ны три мно­же­ст­ва $X$, $Y$, $Z$ и два О. $f:X \to Y$, $g:Y \to Z$, то су­ще­ст­ву­ет О. $h:X \to Z$, оп­ре­де­ляе­мое ра­вен­ст­вом $h(x)=g(f(x))$. Это О. на­зы­ва­ют ком­по­зи­ци­ей или су­пер­по­зи­ци­ей, или про­из­ве­де­ни­ем О. $f$ и $g$, и обо­зна­ча­ют $g \circ f$ (ино­гда про­сто $gf$). Ком­по­зи­ция $f\circ g$, да­же ес­ли она оп­ре­де­ле­на, мо­жет не сов­па­дать с $g \circ f$. Ком­по­зи­ция О. об­ла­да­ет свой­ст­вом ас­со­циа­тив­но­сти $$h \circ (g \circ f)=(h \circ g) \circ f;$$здесь $f:X \to Y$, $g:Y \to Z$, $h:Z \to W$. Ес­ли знак О. за­пи­сы­ва­ет­ся спра­ва, т. е. $f:x \to xf$, то ком­по­зи­цию О. $f:X \to Y$ и $g:Y \to Z$ пи­шут в об­рат­ном по­ряд­ке: $f \circ g$.

О. $f:X \to X$ на­зы­ва­ют то­ж­де­ст­вен­ным (и обо­зна­ча­ют $\text {id}_X$ или $\text{l}_X$), ес­ли $f(x)=x$ для всех $x \in X$. Для лю­бо­го О. $f:X \to Y$ спра­вед­ли­вы ра­вен­ст­ва $$\text{id}_Y\circ f=f \circ \text{id}_X=f.$$О. $f:X \to Y$ на­зы­ва­ют инъ­ек­тив­ным или вза­им­но од­но­знач­ным О. $X$ в $Y$, или про­сто инъ­ек­ци­ей, ес­ли для лю­бых $x_1,x_2 \in X$ из ра­вен­ст­ва $f(x_1)=f(x_2)$ сле­ду­ет $x_1=x_2$. О. $f:X \to Y$ на­зы­ва­ют сюръ­ек­тив­ным или О. $X$ на $Y$, или про­сто сюръ­ек­ци­ей, ес­ли для ка­ж­до­го $y \in Y$ су­ще­ст­ву­ет та­кой $x \in X$, что $y=f(x)$ (т. е. $\text{Im}f$ сов­па­дает с $Y$). О., од­но­вре­мен­но инъ­ек­тив­ное и сюръ­ек­тив­ное, на­зы­ва­ют би­ек­тив­ным или вза­им­но од­но­знач­ным О. $X$ на $Y$, или про­сто би­ек­ци­ей.

О. $g:Y \to X$ на­зы­ва­ют пра­вым (или ле­вым) об­рат­ным к О. $f:X \to Y$, ес­ли $g \circ f=\text{id}_X$ (или $f \circ g=\text{id}_Y$ со­от­вет­ст­вен­но). О. $g$, яв­ляю­щее­ся од­но­вре­мен­но и ле­вым и пра­вым об­рат­ным к $f$, на­зы­ва­ют про­сто об­рат­ным, а са­мо $f$ – об­ра­ти­мым О. На­ли­чие пра­во­го (ле­во­го) об­рат­но­го О. да­ёт ин­фор­ма­цию о раз­ре­ши­мо­сти урав­не­ния $y=f(x)$, а имен­но: ес­ли су­ще­ст­ву­ет толь­ко пра­вое об­рат­ное, то ре­ше­ние это­го урав­не­ния су­ще­ст­ву­ет, но во­прос о его един­ст­вен­но­сти ос­та­ёт­ся от­кры­тым; на­ли­чие же лишь ле­во­го об­рат­но­го обес­пе­чи­ва­ет един­ст­вен­ность ре­ше­ния в пред­по­ло­же­нии, что оно су­ще­ст­ву­ет.

О. $f:X \to Y$ по­ро­ж­да­ет в пря­мом про­из­ве­де­нии мно­жеств $X \times Y$ мно­же­ст­во $Γ_f=\{x,f(x)\}$, ко­то­рое на­зы­ва­ют гра­фи­ком О. $f$, оно пол­но­стью оп­ре­де­ля­ет это О. Об­рат­но, мно­же­ст­во $M \subset X \times Y$ яв­ля­ет­ся гра­фи­ком не­ко­то­ро­го О. то­гда и толь­ко то­гда, ко­гда для лю­бо­го $u \in X$ су­ще­ст­ву­ет един­ст­вен­ное $v \in Y$ та­кое, что $(u,v) \in M$. Ина­че го­во­ря, О. мож­но рас­смат­ри­вать как ча­ст­ный слу­чай со­от­вет­ст­вия (т. н. функ­цио­наль­ное со­от­вет­ст­вие). Про­из­воль­ные со­от­вет­ст­вия на­зы­ва­ют ино­гда мно­го­знач­ны­ми функ­ция­ми.

В то­по­ло­ги­че­ских про­стран­ст­вах час­то рас­смат­ри­ва­ют О., ко­то­рые яв­ля­ют­ся го­мео­мор­физ­ма­ми или диф­фе­о­мор­физ­ма­ми (глад­ки­ми го­мео­мор­физ­ма­ми), т. е. вза­им­но од­но­знач­ны­ми и не­пре­рыв­но диф­фе­рен­ци­руе­мы­ми О. $f:X \to Y$ диф­фе­рен­ци­руе­мых мно­го­об­ра­зий $X$ (напр., об­лас­тей в евк­ли­до­вом про­стран­ст­ве) в диф­фе­рен­ци­руе­мые мно­го­об­ра­зия $Y$, об­рат­ные к ко­то­рым так­же не­пре­рыв­но диф­фе­рен­ци­руе­мы.