СООТВЕ́ТСТВИЕ

СООТВЕ́ТСТВИЕ (би­нар­ное от­но­ше­ние) ме­ж­ду дву­мя мно­же­ст­ва­ми A и B, про­из­воль­ное под­мно­же­ст­во R де­кар­то­ва про­из­ве­де­ния A×B. При этом де­кар­то­вым про­из­ве­де­ни­ем A×B мно­жеств A и B на­зы­ва­ет­ся мно­же­ст­во упо­ря­до­чен­ных пар (a,b), a∈A, b∈B.

Ес­ли a∈A, b∈B и (a,b)∈R, то пи­шут так­же R(a,b) или aRb. Ес­ли R – пус­тое мно­же­ст­во, то С. на­зы­ва­ет­ся пус­тым, а ес­ли R=A×B, то С. на­зы­ва­ет­ся пол­ным.

Пусть R⊆A×B. Об­ла­стью оп­ре­де­ле­ния DomR на­зы­ва­ет­ся мно­же­ст­во эле­мен­тов a∈A, для ка­ж­до­го из ко­то­рых най­дёт­ся хо­тя бы один эле­мент b∈B та­кой, что aRb. Об­ла­стью зна­че­ний, или об­ра­зом, ImR со­от­вет­ст­вия R на­зы­ва­ет­ся мно­же­ст­во эле­мен­тов b∈B, для ка­ж­до­го из ко­то­рых най­дёт­ся хо­тя бы один эле­мент a∈A та­кой, что aRb. С. R на­зы­ва­ет­ся всю­ду оп­ре­де­лён­ным, ес­ли DomR=A, и сюръ­ек­тив­ным, ес­ли ImR=B.

Для ка­ж­до­го a∈A мно­же­ст­во эле­мен­тов b∈B та­ких, что aRb на­зы­ва­ет­ся об­ра­зом a от­но­си­тель­но R и обо­зна­ча­ет­ся im_Ra. Про­об­ра­зом эле­мен­та b∈B от­но­си­тель­но R на­зы­ва­ет­ся мно­же­ст­во эле­мен­тов a∈A та­ких, что aRb, он обо­зна­ча­ет­ся coim_Rb.

Спра­вед­ли­вы ра­вен­ст­ва ImR=⋃_a∈Aim_Ra, DomR=⋃_b∈Bcoim_Rb.

Ка­ж­дое С. од­но­знач­но оп­ре­де­ля­ет функ­цию a↦im_Ra, ко­то­рая ото­бра­жа­ет мно­же­ст­во A в мно­же­ст­во под­мно­жеств B. Об­рат­но, вся­кая функ­ция f из A в мно­же­ст­во под­мно­жеств B оп­ре­де­ля­ет не­ко­то­рое С. R(f):aR(f)b то­гда и толь­ко то­гда, ко­гда b∈f(a).

Ука­зан­ные со­пос­тав­ле­ния вза­им­но од­но­знач­ны, что по­зво­ля­ет рас­смат­ри­вать С. как час­тич­но оп­ре­де­лён­ные мно­го­знач­ные функ­ции.