ОПЕРА́ТОР

ОПЕРА́ТОР, ма­те­ма­ти­че­ское по­ня­тие, в са­мом об­щем смыс­ле оз­на­чаю­щее со­от­вет­ст­вие ме­ж­ду эле­мен­та­ми двух мно­жеств $X$ и $Y$, от­но­ся­щее ка­ж­до­му эле­мен­ту $x$ из $X$ не­ко­то­рый эле­мент $y$ из $Y$. Эк­ви­валент­ный смысл име­ют тер­ми­ны опе­рация, ото­бра­же­ние, пре­об­ра­зо­ва­ние, функ­ция. Эле­мент $y$ на­зы­ва­ет­ся об­ра­зом $x$, $x$ – про­об­ра­зом $y$. Тер­мин О. час­то упот­реб­ля­ет­ся в функ­цио­наль­ном ана­ли­зе и ли­ней­ной ал­геб­ре, в осо­бен­но­сти для ото­бра­же­ний век­тор­ных про­странств. О. $A$ из мно­же­ст­ва $X$ в мно­же­ст­во $Y$ мо­жет быть оп­ре­де­лён не всю­ду, то­гда го­во­рят о его об­лас­ти оп­ре­де­ле­ния $D_A=D(A)\subset X$. Для $x \in D_A$ ре­зуль­тат при­ме­не­ния О. $A$ к $x$ обо­зна­ча­ют $A(x)$ или $Ax$.

Ес­ли $X$ и $Y$ – век­тор­ные про­странст­ва над од­ним и тем же по­лем $K$, то в мно­же­ст­ве всех О. из $X$ в $Y$ мож­но вы­де­лить класс ли­ней­ных О., т. е. та­ких опе­ра­то­ров $A$, для ко­то­рых для всех $x$, $y \in X$ $$A(x+y)=A(x)+A(y), A(\lambda x)=\lambda A(x)$$для всех $\lambda \in K$; ос­таль­ные О. из $X$ в $Y$ на­зы­ва­ют­ся не­ли­ней­ны­ми. Ес­ли $X$ и $Y$ – то­по­ло­ги­че­ские про­стран­ст­ва, то в мно­же­ст­ве О. из $X$ в $Y$ вы­де­ля­ет­ся класс не­пре­рыв­ных О., т. е. та­ких опе­ра­то­ров $A$, для ко­то­рых для лю­бой точ­ки $x \in X$ и для вся­кой ок­ре­ст­но­сти $V=V(A(x))$ её об­раза $A(x)$ су­ще­ст­ву­ет та­кая ок­ре­ст­ность $U=U(x)$ точ­ки $x$, что $A(U) \subset V$; здесь $A(U)$ оз­на­ча­ет мно­же­ст­во об­ра­зов всех то­чек из $U$. Су­ще­ст­ву­ют и дру­гие клас­сы О. Изу­че­ние ли­ней­ных О. в то­по­логич. век­тор­ных про­стран­ст­вах со­став­ля­ет важ­ный раз­дел функ­цио­наль­но­го ана­ли­за.

При­ме­ры.

1) О. диф­фе­рен­ци­ро­ва­ния $$D[f(t)]=f'(t)$$со­пос­тав­ля­ет ка­ж­дой диф­фе­рен­ци­руе­мой функ­ции $f(t)$ её про­из­вод­ную $f'(t)$. Во­об­ще ле­вую часть ли­ней­но­го диф­фе­рен­ци­аль­но­го урав­не­ния $$\frac{d^nx}{dt^n}+a_1(t)\frac{d^{n-1}x}{dt^{n-1}}+\ldots+a_n (t)x=\phi(t)$$мож­но рас­смат­ри­вать как ре­зуль­тат при­ме­не­ния не­ко­то­ро­го О., ста­вя­ще­го в со­от­вет­ст­вие функ­ции $x(t)$ функ­цию $\phi(t)$. Та­кой О. на­зы­ва­ет­ся ли­ней­ным диф­фе­рен­ци­аль­ным оператором; примерами ли­нейных дифференциальных О. явля­ют­ся Гамильтона оператор и Лапласа оператор.

2) О. оп­ре­де­лён­но­го ин­тег­ри­ро­ва­ния $$\int^b_a f(t)dt=I,$$где $a$ и $b$, $a \lt b$, – дей­ст­ви­тель­ные чис­ла, со­пос­тав­ля­ет ка­ж­дой ин­тег­ри­руе­мой функ­ции $f(t)$ чис­ло $I$.

3) Со­пос­та­вив ка­ж­дой функ­ции $f(t)$ её про­из­ве­де­ние $\phi(t)f(t)$ на фик­си­ро­ван­ную функ­цию $\phi(t)$, по­лу­ча­ют О. ум­но­же­ния на функ­цию $\phi(t)$.

4) Пусть $K(s,t)$ – не­пре­рыв­ная функ­ция двух пе­ре­мен­ных, за­дан­ная в квад­ра­те $a \leq s \leq b$, $a \leq t \leq b$. Фор­му­ла $$\int^b_a K(s,t)g(t)dt=f(t),$$со­пос­тав­ляю­щая не­пре­рыв­ной функ­ции $g(t)$ не­пре­рыв­ную функ­цию $f(t)$, оп­ре­де­ля­ет ли­ней­ный ин­те­граль­ный О. В то же вре­мя фор­му­ла $$\int^b_a F(s,g(t)dt=h(s),$$где $F$ – не­ко­то­рая ог­ра­ни­чен­ная не­пре­рыв­ная функ­ция, оп­ре­де­ля­ет, во­об­ще го­во­ря, не­ли­ней­ный ин­те­граль­ный опе­ра­тор.