ОПЕРА́ТОР
-
Рубрика: Математика
-
Скопировать библиографическую ссылку:
ОПЕРА́ТОР, математическое понятие, в самом общем смысле означающее соответствие между элементами двух множеств $X$ и $Y$, относящее каждому элементу $x$ из $X$ некоторый элемент $y$ из $Y$. Эквивалентный смысл имеют термины операция, отображение, преобразование, функция. Элемент $y$ называется образом $x$, $x$ – прообразом $y$. Термин О. часто употребляется в функциональном анализе и линейной алгебре, в особенности для отображений векторных пространств. О. $A$ из множества $X$ в множество $Y$ может быть определён не всюду, тогда говорят о его области определения $D_A=D(A)\subset X$. Для $x \in D_A$ результат применения О. $A$ к $x$ обозначают $A(x)$ или $Ax$.
Если $X$ и $Y$ – векторные пространства над одним и тем же полем $K$, то в множестве всех О. из $X$ в $Y$ можно выделить класс линейных О., т. е. таких операторов $A$, для которых для всех $x$, $y \in X$ $$A(x+y)=A(x)+A(y), A(\lambda x)=\lambda A(x)$$для всех $\lambda \in K$; остальные О. из $X$ в $Y$ называются нелинейными. Если $X$ и $Y$ – топологические пространства, то в множестве О. из $X$ в $Y$ выделяется класс непрерывных О., т. е. таких операторов $A$, для которых для любой точки $x \in X$ и для всякой окрестности $V=V(A(x))$ её образа $A(x)$ существует такая окрестность $U=U(x)$ точки $x$, что $A(U) \subset V$; здесь $A(U)$ означает множество образов всех точек из $U$. Существуют и другие классы О. Изучение линейных О. в топологич. векторных пространствах составляет важный раздел функционального анализа.
Примеры.
1) О. дифференцирования $$D[f(t)]=f'(t)$$сопоставляет каждой дифференцируемой функции $f(t)$ её производную $f'(t)$. Вообще левую часть линейного дифференциального уравнения $$\frac{d^nx}{dt^n}+a_1(t)\frac{d^{n-1}x}{dt^{n-1}}+\ldots+a_n (t)x=\phi(t)$$можно рассматривать как результат применения некоторого О., ставящего в соответствие функции $x(t)$ функцию $\phi(t)$. Такой О. называется линейным дифференциальным оператором; примерами линейных дифференциальных О. являются Гамильтона оператор и Лапласа оператор.
2) О. определённого интегрирования $$\int^b_a f(t)dt=I,$$где $a$ и $b$, $a \lt b$, – действительные числа, сопоставляет каждой интегрируемой функции $f(t)$ число $I$.
3) Сопоставив каждой функции $f(t)$ её произведение $\phi(t)f(t)$ на фиксированную функцию $\phi(t)$, получают О. умножения на функцию $\phi(t)$.
4) Пусть $K(s,t)$ – непрерывная функция двух переменных, заданная в квадрате $a \leq s \leq b$, $a \leq t \leq b$. Формула $$\int^b_a K(s,t)g(t)dt=f(t),$$сопоставляющая непрерывной функции $g(t)$ непрерывную функцию $f(t)$, определяет линейный интегральный О. В то же время формула $$\int^b_a F(s,g(t)dt=h(s),$$где $F$ – некоторая ограниченная непрерывная функция, определяет, вообще говоря, нелинейный интегральный оператор.