ВЕ́КТОРНОЕ ПРОСТРА́НСТВО

ВЕ́КТОРНОЕ ПРОСТРА́НСТВО (ли­ней­ное про­стран­ст­во), од­но из фун­да­мен­таль­ных по­ня­тий ал­геб­ры, обоб­щаю­щее по­ня­тие со­во­куп­но­сти (сво­бод­ных) век­то­ров. В В. п. вме­сто век­то­ров рас­смат­ри­ва­ют­ся лю­бые объ­ек­ты, ко­то­рые мож­но скла­ды­вать и ум­но­жать на чис­ла; при этом тре­бу­ет­ся, что­бы ос­нов­ные ал­геб­ра­ич. свой­ст­ва этих опе­ра­ций бы­ли та­ки­ми же, как и для век­то­ров в эле­ментар­ной гео­мет­рии. В точ­ном оп­ре­де­ле­нии чис­ла за­ме­ня­ют­ся эле­мен­та­ми лю­бо­го по­ля $K$. В. п. над по­лем $K$ на­зы­ва­ет­ся мно­же­ст­во $V$ с опе­ра­ци­ей сло­же­ния эле­мен­тов из $V$ и опе­ра­ци­ей ум­но­же­ния эле­мен­тов из $V$ на эле­мен­ты из по­ля $K$, ко­то­рые об­ла­да­ют сле­дую­щи­ми свой­ст­ва­ми:

$x+y = y+x$ для лю­бых $x, y$ из $V$, т. е. от­но­си­тель­но сло­же­ния $V$ яв­ля­ет­ся абе­ле­вой груп­пой;

$\lambda (x+y) = \lambda x+ \lambda y$ для лю­бых $\lambda$ из $K$ и $x, y$ из $V$;

$(\lambda +\mu)x = \lambda x+ \mu x$ для лю­бых $\lambda, \mu$ из $K$ и $x$ из $V$;

$(\lambda \mu)x = \lambda(\mu x)$ для лю­бых $\lambda, \mu$ из $K$ и $x$ из $V$;

$1x = x$ для лю­бо­го $x$ из $V$, здесь 1 оз­на­ча­ет еди­ни­цу по­ля $K$.

При­ме­ра­ми В. п. яв­ля­ют­ся: мно­же­ст­ва $L^1, L^2$ и $L^3$ всех век­то­ров из эле­ментар­ной гео­мет­рии, со­от­вет­ст­вен­но на пря­мой, плос­ко­сти и в про­стран­ст­ве с обыч­ны­ми опе­ра­ция­ми сло­же­ния век­то­ров и ум­но­же­ния на чис­ло; ко­ор­ди­нат­ное В. п. $K^n$, эле­мен­та­ми ко­то­ро­го яв­ля­ют­ся все­воз­мож­ные стро­ки (век­то­ры) дли­ны $n$ с эле­мен­та­ми из по­ля $K$, а опе­ра­ции за­да­ны фор­му­ла­ми

$$(a_1, \ldots, a_n) + (b_1, \ldots, b_n) = (a_1 +b_1, \ldots , a_n+ b_n),$$ $$\lambda (a_1, \ldots, a_n) = (\lambda a_1, \ldots, \lambda a_n);$$

мно­же­ст­во $F(M, K)$ всех функ­ций, оп­ре­де­лён­ных на фик­си­ро­ван­ном мно­же­ст­ве $M$ и при­ни­маю­щих зна­че­ния в по­ле $K$, с обыч­ны­ми опе­ра­ция­ми над функ­ция­ми:

$(f+g)(x) = f(x) +g(x), \quad (\lambda f)(x) = \lambda f(x)$.

Эле­мен­ты В. п. $e_1, \ldots , e_n$ на­зы­ва­ют­ся ли­ней­но не­за­ви­си­мы­ми, ес­ли из ра­вен­ст­ва $\lambda_1e_1 + \ldots + \lambda_ne_n = 0 \in V$ сле­ду­ет, что все $\lambda_1, \lambda_2, \ldots, \lambda_n = 0 \in K$. В про­тив­ном слу­чае эле­мен­ты $e_1, e_2, \ldots, e_n$ на­зы­ва­ют­ся ли­ней­но за­ви­си­мы­ми. Ес­ли в В. п. $V$ лю­бые $n+1$ эле­мен­тов $e_1, \ldots, e_{n+1}$ ли­ней­но за­ви­си­мы и су­ще­ст­ву­ет $n$ ли­ней­но не­за­ви­си­мых эле­мен­тов, то $V$ на­зы­ва­ет­ся $n$-мер­ным В. п., а $n$ – раз­мер­но­стью В. п. $V$. Ес­ли в В. п. $V$ для лю­бо­го на­ту­раль­но­го $n$ су­ще­ст­ву­ет $n$ ли­ней­но не­за­ви­си­мых век­то­ров, то $V$ на­зы­ва­ет­ся бес­ко­неч­но­мер­ным В. п. Напр., В. п. $L^1, L^2, L^3$ и $K^n$ со­от­вет­ст­вен­но $1-, 2-, 3-$ и $n$-мер­ны; ес­ли $M$ – бес­ко­неч­ное мно­же­ст­во, то В. п. $F(M, K)$ бес­ко­неч­но­мер­но.

В. п. $V$ и $U$ над по­лем $K$ на­зы­ва­ют­ся изо­морф­ны­ми, ес­ли су­ще­ст­ву­ет вза­им­но од­но­знач­ное ото­бра­же­ние $\varphi : V \to U$ та­кое, что $\varphi (x+y) = \varphi (x) + \varphi (y) $  для лю­бых $x, y$ из $V$ и $\varphi (\lambda x) = \lambda \varphi(x)$ для лю­бых $\lambda$ из $K$ и $x$ из $V$. Изо­морф­ные В. п. яв­ля­ют­ся ал­геб­раи­че­ски не­раз­ли­чи­мы­ми. Клас­си­фи­ка­ция ко­неч­но­мер­ных В. п. с точ­но­стью до изо­морф­но­сти да­ёт­ся их раз­мер­но­стью: лю­бое $n$-мер­ное В. п. над по­лем $K$ изо­морф­но ко­ор­ди­нат­но­му В. п. $K^n$. См. так­же Гиль­бер­то­во про­стран­ст­во, Ли­ней­ная ал­геб­ра.