ГА́МИЛЬТОНА ОПЕРА́ТОР

ГАМИЛЬТОНА ОПЕРАТОР (набла-оператор, ∇-оператор, гамильтониан), дифференциальный оператор вида: $$\nabla =\frac{\partial}{\partial x}i+\frac{\partial}{\partial y}j+\frac{\partial}{\partial z}k,$$ где $i,j,k$ - координатные орты. Г. о. применяется в векторном анализе для записи осн. дифференциальных операций. Если Г. о. применить к склярной функции $\varphi (x, y, z)$, понимая $∇ \varphi$ как  произведение вектора на скляр, то получается градиент функции $\varphi$: $$\textrm{grad}\,\varphi =∇\varphi=\frac{\partial \varphi}{\partial x}i+\frac{\partial \partial}{\partial y}j+\frac{\partial \varphi}{\partial z}k.$$

Ес­ли при­ме­нить Г. о. к век­тор-функ­ции $a(x,y,z)$, по­ни­мая $∇a$ как ска­ляр­ное про­из­ве­де­ние век­то­ров, то по­лу­чит­ся ди­вер­ген­ция век­то­ра $a$:$$\textrm{div}\,a=∇a=\frac{\partial a_x}{\partial x}+\frac{\partial a_y}{\partial y}+\frac{\partial a_z}{\partial z},$$где $a_x, a_y, a_z $– ко­ор­ди­на­ты век­то­ра $a$. Ска­ляр­ное про­из­ве­де­ние Г. о. на са­мо­го се­бя да­ёт опе­ра­тор Ла­п­ла­са: $$\Delta=∇^2=\frac{\partial^2}{\partial x^2}+\frac{\partial^2}{\partial y^2}+\frac{\partial^2}{\partial z^2}.$$

Опе­ра­тор и его обо­зна­че­ние $∇ $ вве­дены У. Га­миль­то­ном (1853). Тер­мин «Г. о.» и на­зва­ние «на­бла» для сим­во­ла $∇ $ дал О. Хе­ви­сайд (1892).