Периоди́ческая фу́нкция, функция, значения которой не изменяются при добавлении к значениям её аргумента некоторого не равного нулю числа $T$, называемого периодом функции. Например, $\sin x$ и $\cos x$ – периодическая функция с периодом $2π$; $\tg x$ и $\ctg x$ – периодические функции с периодом $π$; $\{x\}$ – дробная часть числа $x$ – периодическая функция с периодом $1$.

Функция $f(x)$, определённая на множестве $E$, является периодической функцией, если существует число $T≠0$ такое, что для любого $x∈E$ значения $x+T$ и $x-T$ также принадлежат $E$ и $f(x±T)=f(x)$. Если периодическая функция $f(x)$ непрерывна на каком-нибудь интервале и $f(x)$ не равна тождественно постоянной на этом интервале, то для неё существует наименьший положительный период $T$ и любой период этой функции имеет вид $kT$, $k=±1,±2,\ldots$

Для построения графика периодической функции с периодом $T>0$ достаточно построить её график на отрезке $[0,T]$, тогда весь график получается сдвигом построенной части на $±T,±2T,\ldots$ (рис.).

Сумма, разность, произведение и частное периодических функций с одинаковым периодом являются периодическими функциями с тем же периодом. Производная периодической функции также периодическая функция с тем же периодом. Первообразная периодической функции является периодической функцией только тогда, когда интеграл от этой функции по отрезку с длиной, равной периоду, равен нулю; при этом первообразная периодической функции является периодической функцией с тем же периодом.

Сумма периодических функций с разными периодами является периодической функцией только тогда, когда их периоды соизмеримы. Например, $\sin2x+\cos3x$ – периодическая функция с периодом $2π$; $\sin x+\sin \pi x$ не является периодической функцией; это – пример почти периодической функции.

Периодическая функция комплексного переменного может иметь комплексный период. Например, $e^z$ – периодическая функция с периодом $2πi$, $e^{(1+i)z}$ – периодическая функция с периодом $π(1+i)$. Непрерывная периодическая функция может иметь два комплексных периода $T_1$ и $T_2$, отношение которых не равно действительному числу. Если $T_1$, $T_2$ – наименьшие по модулю периоды, то любой период имеет вид $k_1T_1+k_2T_2$, $k_1=0,±1,±2,\ldots$, $k_2=0,±1,±2,\ldots$ . Такие функции называются двоякопериодическими; их примеры дают эллиптические функции.