ЛИ ГРУПП ТЕО́РИЯ
-
Рубрика: Математика
-
-
Скопировать библиографическую ссылку:
ЛИ ГРУПП ТЕО́РИЯ, раздел алгебры, изучающий группы Ли. Группой Ли называется группа, являющаяся одновременно гладким (аналитическим) вещественным или комплексным многообразием, алгебраич. операции в которой выражаются в локальных координатах гладкими (аналитическими) функциями. Обычно термин «группа Ли» относят к вещественному случаю, а в комплексном случае говорят о комплексной группе Ли. Названы по имени С. Ли, который в своих работах 1876–93 заложил основы теории таких групп.
В работах Ли рассматривались группы локальных аналитич. преобразований вещественного евклидова пространства $R^n$ (а также комплексного пространства $C^n$), зависящих от конечного числа параметров $a_1,..,a_r$, $$\widetilde{x}_{i}=f_{i}(x_{1}, \; ..., x_{n}, a_{1}, \; ..., a_{r}),\: i=1, \;..., n.$$
Здесь $f_1,...,f_n$ – аналитич. функции, и предполагается, что параметры $a_1,...,a_r$, соответствующие произведению двух преобразований, являются аналитич. функциями от параметров сомножителей. Чтобы подчеркнуть контраст с конечными группами подстановок, такие группы преобразований стали называть конечными непрерывными группами. При этом рассматривались и группы преобразований, зависящие от бесконечного числа параметров (в совр. терминологии – бесконечномерные группы Ли). Термин «непрерывные группы» сохранялся за группами Ли до 1930-х гг., хотя термин «группы Ли» начал употребляться намного раньше. Д. Гильберт в докладе на 2-м Междунар. математич. конгрессе (Париж, 1900) поставил вопрос о том, будет ли любая локально евклидова топологич. группа группой Ли (5-я проблема Гильберта). Для групп преобразований это означает, что в определении групп Ли можно считать функции $f_i$ непрерывными, и непрерывной заменой координат превратить их в гладкие (или аналитические). Эта проблема была положительно решена амер. учёными А. Глисоном, Д. Монтгомери и Л. Циппином (1955) после того, как ряд глубоких частных результатов был получен Дж. фон Нейманом, Л. С. Понтрягиным и др.
Примерами групп Ли являются разл. преобразований группы, используемые в геометрии, среди которых следующие:
1) $n$-мерное векторное пространство с операцией сложения векторов;
2) окружность, рассматриваемая как группа поворотов плоскости на к.-л. угол с операцией сложения углов;
3) группа матриц (или линейных преобразований векторного пространства) с операцией умножения матриц.
В отличие от первых двух, последний пример даёт некоммутативную группу Ли.
Ли г. т. возникла в связи с изучением дифференциальных уравнений. С каждым дифференциальным уравнением связана группа Ли преобразований, оставляющих его неизменным. Напр., однородные дифференциальные уравнения ${y}'=f(y/x)$ не изменяются при преобразованиях плоскости вида $\widetilde{y}=cy, \widetilde{x}=cx$. С. Ли нашёл алгебраич. условие на группу Ли уравнения, достаточное для того, чтобы оно разрешалось (интегрировалось) в квадратурах (отсюда возникло понятие разрешимой группы Ли). Ли исходил при этом из аналогичных понятий и результатов Галуа теории.
Ф. Клейном была предложена общая точка зрения (Эрлангенская программа), согласно которой геометрия есть наука, изучающая те свойства фигур, которые не меняются при заданной группе непрерывных преобразований. С этим связана важная роль Ли г. т. в геометрии. Осн. примеры групп Ли являются группами преобразований разл. геометрич. структур, напр. группы преобразований, сохраняющих квадратичную форму (ортогональные преобразования), группы проективных, т. е. дробно-линейных, преобразований, группы движений римановых многообразий или группы их изометрий, группы всех автоморфизмов компактного комплексного многообразия (комплексная группа Ли) и др.
С. Ли разработал метод изучения непрерывных групп преобразований, основанный на сопоставлении каждой такой группе некоторого набора аналитич. векторных полей (см. Векторное исчисление), которые он называл инфинитезимальными преобразованиями, а именно – полей $$\delta _{j}=\sum_{i=1}^{n}\frac{\partial f_{i}}{\partial a_{j}}(x_{1},\: ...,\; x_{n},\: 0,\: ...,\: 0)\frac{\partial }{\partial x_{i}},\: j=1,\: ...,\: r$$
Они определены в окрестности точки $\text{0}$ пространства параметров $\textbf{R}^r$, которая соответствует тождественному преобразованию. Оказывается, что коммутаторы $[δ_i,d_j],\; i,j=1,...,r$, выражаются через $δ_1,...,δ_r$ в виде линейных комбинаций с постоянными коэффициентами, т. е. линейная оболочка $L$ полей $δ_1,...,d_r$ является конечномерным векторным пространством с дополнит. операцией коммутирования (см. Ли алгебр теория). Алгебра $L$, названная С. Ли инфинитезимальной группой, в дальнейшем стала называться алгеброй Ли или касательной алгеброй данной группы Ли. Как было установлено С. Ли, алгебра $L$ полностью определяет группу локальных преобразований $f_1,...,f_n$.
В совр. терминологии алгебра Ли $L(G)$ данной группы Ли $G$ представляет собой касательное пространство (на котором определена структура алгебры Ли) к группе в единичном элементе $e$. Она имеет ту же размерность, что и исходная группа Ли. Умножение (коммутирование) $[u,v]$ касательных векторов $u$ и $v$ определяется как касательный вектор $[u,v]$ при $t=0$ к кривой $$q(t)=\alpha (\sqrt{t})\beta (\sqrt{t})\alpha (\sqrt{t})^{-1}\beta (\sqrt{t})^{-1},$$ где α , β – такие гладкие кривые на $G$, что $a(0)=\beta(0)=e$, и их касательные векторы при $t=0$ суть векторы $u$ и $v$ соответственно. Напр., группе $G=GL_{n}(\textbf{R})$ всех невырожденных вещественных матриц порядка $n$ отвечает алгебра Ли $L(G)=gl_{n}(\textbf{R})$ всех матриц порядка $n$ с операцией $\left [ X, Y \right ]=XY-YX$; группе $O(\textbf{R}^3)$ всех вращений евклидова пространства $\textbf{R}^3$ отвечает алгебра Ли $L(O(\textbf{R}^{3}))=\textbf{R}^{3}$, которая определяется в пространстве $\textbf{R}^3$ векторным умножением. В Ли г. т. группы Ли рассматриваются с точностью до аналитич. изоморфизма, т. е. взаимно однозначного аналитич. (в обе стороны) отображения одной группы в другую, сохраняющего умножение и единичный элемент. Две односвязные группы Ли аналитически изоморфны тогда и только тогда, когда изоморфны их алгебры Ли. Для всякой конечномерной алгебры Ли $L$ (над полем $\textbf R$ или $\textbf C$) существует группа Ли (соответственно, вещественная или комплексная), имеющая $L$ в качестве касательной алгебры.
Инфинитезимальный метод, разработанный С. Ли, позволил в дальнейшем получить глубокие результаты о строении и классификации связных групп Ли. По аналогии с теорией обычных групп определяются разрешимые группы Ли. Группа Ли является разрешимой, если её алгебра Ли разрешима. Каждая связная группа Ли $G$ содержит наибольшую связную разрешимую подгруппу Ли $\text{rad}\:G$. Группа $G$ называется полупростой, если $\text{rad}\: G=\left \{e \right \}$. Также можно ввести понятия полупростых и простых групп Ли (эти свойства для группы Ли $G$ равносильны, соответственно, полупростоте и простоте её алгебры Ли $L(G)$). Каждая односвязная полупростая группа Ли разлагается в прямое произведение простых подгрупп Ли. На этом пути получена полная классификация связных полупростых групп Ли. В каждой размерности их имеется, с точностью до изоморфизма, лишь конечное число. Эти и др. результаты совр. Ли г. т. были получены после работ С. Ли, в осн. в 20 в. Они связаны с именами нем. математика В. Киллинга, Э. Картана, Г. Вейля и франц. математика К. Шевалье.
Зародившаяся на стыке алгебры, геометрии и анализа, Ли г. т. сохраняет плодотворные связи с этими дисциплинами. С алгеброй она связана через теорию алгебр Ли и теорию алгебраич. групп. Связь групп Ли с дифференциальными уравнениями, явившаяся для С. Ли одним из стимулов для изучения непрерывных групп, позволяет во многих случаях описывать семейство всех решений системы дифференциальных уравнений и строить некоторые конкретные решения. Существуют связи между Ли г. т. и теорией оптимального управления. Важные приложения в математике и физике имеет теория линейных представлений групп Ли (см. Представлений групп теория). Симметрии относительно разл. классов групп Ли играют фундам. роль в совр. теориях элементарных частиц, начиная с теории унитарной симметрии, классифицирующей элементарные частицы с точки зрения линейных представлений спец. унитарных групп $SU_2$ и $SU_3$ и приведшей к концепции кварков, и кончая совр. калибровочными теориями, объединившими осн. виды взаимодействий в единое целое.