ПРЕОБРАЗОВА́НИЙ ГРУ́ППА
-
Рубрика: Математика
-
-
Скопировать библиографическую ссылку:
ПРЕОБРАЗОВА́НИЙ ГРУ́ППА (группа подстановок), группа преобразований некоторого множества, рассматриваемая вместе с этим множеством. Точнее, П. г. есть пара $(G,X)$, где $G$ – группа, $X$ – множество, для которой задана операция $(g,x)↦gx$, сопоставляющая элементам $g∈G$, $x∈X$ элемент $gx∈X$ и удовлетворяющая условиям $$1)\,g(hx)=(gh)x,\,g,h∈G,\,x∈X,\\ 2)\,ex=x,\,x∈X,\,e – единица\,G.$$
Если задана П. г. $(G,X)$, то каждый элемент $g∈G$ определяет инъективное преобразование (отображение) $t_g:x↦gx$ множества $X$, причём соответствие $t:g↦t_g$ есть гомоморфизм группы $G$ в симметрич. группу $S(X)$ всех биективных преобразований множества $X$. Обратно, всякий гомоморфизм $G$ в $S(X)$ задаёт некоторую П. г. $(G,X)$.
Наряду с абстрактными П. г., рассматриваются топологич. П. г. [при этом предполагается, что $G$ – топологич. группа, $X$ – топологич. пространство и отображение $(g,x)↦gx$ непрерывно]. Аналогично определяются группы Ли преобразований и алгебраич. группы преобразований.
П. г. играют важную роль во многих разделах математики и в её приложениях. На первом этапе развития групп теории, связанном с Галуа теорией, изучались группы подстановок, то есть П. г. конечных множеств. Ли групп теория также начиналась как теория П. г. При изучении дифференциальных уравнений, некоторых физич. систем и т. п. возникают П. г. – группы симметрий. Наличие достаточно богатой группы симметрий позволяет, напр., построить явные решения некоторых дифференциальных уравнений. Особенно важна роль П. г. в геометрии. Уже в евклидовой планиметрии возникают такие П. г., как группа всех движений плоскости, группа параллельных переносов, группа поворотов вокруг заданной точки. С каждой фигурой на плоскости связана группа её симметрий, т. е. группа движений, переводящих эту фигуру в себя. Произвольная абстрактная группа $G$ превращается в П. г. на том же множестве $G$, если в качестве $t_g$ взять левый сдвиг $x↦gx$.