ПРЕОБРАЗОВА́НИЙ ГРУ́ППА

ПРЕОБРАЗОВА́НИЙ ГРУ́ППА (груп­па под­ста­но­вок), груп­па пре­об­ра­зо­ва­ний не­ко­то­ро­го мно­же­ст­ва, рас­смат­ри­вае­мая вме­сте с этим мно­же­ст­вом. Точ­нее, П. г. есть па­ра $(G,X)$, где $G$ – груп­па, $X$ – мно­жест­во, для ко­то­рой за­да­на опе­ра­ция $(g,x)↦gx$, со­пос­тав­ляю­щая эле­мен­там $g∈G$, $x∈X$ эле­мент $gx∈X$ и удов­ле­тво­ряю­щая ус­ло­ви­ям $$1)\,g(hx)=(gh)x,\,g,h∈G,\,x∈X,\\ 2)\,ex=x,\,x∈X,\,e – еди­ни­ца\,G.$$

Ес­ли за­да­на П. г. $(G,X)$, то ка­ж­дый эле­мент $g∈G$ оп­ре­де­ля­ет инъ­ек­тив­ное пре­об­ра­зо­ва­ние (ото­бра­же­ние

) $t_g:x↦gx$ мно­же­ст­ва $X$, при­чём со­от­вет­ст­вие $t:g↦t_g$ есть го­мо­мор­физм груп­пы $G$ в сим­мет­рич. груп­пу $S(X)$ всех би­ек­тив­ных пре­об­ра­зо­ва­ний мно­же­ст­ва $X$. Об­рат­но, вся­кий го­мо­мор­физм $G$ в $S(X)$ за­да­ёт не­ко­то­рую П. г. $(G,X)$.

На­ря­ду с аб­ст­ракт­ны­ми П. г., рас­смат­ри­ва­ют­ся то­по­ло­гич. П. г. [при этом пред­по­ла­га­ет­ся, что $G$ – то­по­ло­гич. груп­па, $X$ – то­по­ло­гич. про­стран­ст­во и ото­бра­же­ние $(g,x)↦gx$ не­пре­рыв­но]. Ана­ло­гич­но оп­ре­де­ля­ют­ся груп­пы Ли пре­об­ра­зо­ва­ний и ал­геб­ра­ич. груп­пы пре­об­ра­зо­ва­ний.

П. г. иг­ра­ют важ­ную роль во мно­гих раз­де­лах ма­те­ма­ти­ки и в её при­ло­же­ни­ях. На пер­вом эта­пе раз­ви­тия групп тео­рии

, свя­зан­ном с Га­луа тео­ри­ей

 >>

, изу­ча­лись груп­пы под­ста­но­вок, то есть П. г. ко­неч­ных мно­жеств. Ли групп тео­рия

 >>

так­же на­чи­на­лась как тео­рия П. г. При изу­че­нии диф­фе­рен­ци­аль­ных урав­не­ний, не­ко­то­рых фи­зич. сис­тем и т. п. воз­ни­ка­ют П. г. – груп­пы сим­мет­рий. На­ли­чие дос­та­точ­но бо­га­той груп­пы сим­мет­рий по­зво­ля­ет, напр., по­стро­ить яв­ные ре­ше­ния не­ко­то­рых диф­фе­рен­ци­аль­ных урав­не­ний. Осо­бен­но важ­на роль П. г. в гео­мет­рии. Уже в евк­ли­до­вой пла­ни­мет­рии воз­ни­ка­ют та­кие П. г., как груп­па всех дви­же­ний плос­ко­сти, груп­па па­рал­лель­ных пе­ре­но­сов, груп­па по­во­ро­тов во­круг за­дан­ной точ­ки. С ка­ж­дой фи­гу­рой на плос­ко­сти свя­за­на груп­па её сим­мет­рий, т. е. груп­па дви­же­ний, пе­ре­во­дя­щих эту фи­гу­ру в се­бя. Про­из­воль­ная аб­ст­ракт­ная груп­па $G$ пре­вра­ща­ет­ся в П. г. на том же мно­же­ст­ве $G$, ес­ли в ка­че­ст­ве $t_g$ взять ле­вый сдвиг $x↦gx$.