ЛИ ГРУПП ТЕО́РИЯ

ЛИ ГРУПП ТЕО́РИЯ, раз­дел ал­геб­ры, изу­чаю­щий груп­пы Ли. Груп­пой Ли на­зы­ва­ет­ся груп­па, яв­ляю­щая­ся од­но­вре­мен­но глад­ким (ана­ли­ти­че­ским) ве­ще­ст­вен­ным или ком­плекс­ным мно­го­об­ра­зи­ем, ал­геб­ра­ич. опе­ра­ции в ко­то­рой вы­ра­жа­ют­ся в ло­каль­ных ко­ор­ди­на­тах глад­ки­ми (ана­ли­ти­че­ски­ми) функ­ция­ми. Обыч­но тер­мин «груп­па Ли» от­но­сят к ве­ще­ст­вен­но­му слу­чаю, а в ком­плекс­ном слу­чае го­во­рят о ком­плекс­ной груп­пе Ли. На­зва­ны по име­ни С. Ли

, ко­то­рый в сво­их ра­бо­тах 1876–93 за­ло­жил ос­но­вы тео­рии та­ких групп.

В ра­бо­тах Ли рас­смат­ри­ва­лись груп­пы ло­каль­ных ана­ли­тич. пре­об­ра­зо­ва­ний ве­ще­ст­вен­но­го евк­ли­до­ва про­стран­ст­ва $R^n$ (а так­же ком­плекс­но­го про­стран­ст­ва $C^n$), за­ви­ся­щих от ко­неч­но­го чис­ла па­ра­мет­ров $a_1,..,a_r$, $$\widetilde{x}_{i}=f_{i}(x_{1}, \; ..., x_{n}, a_{1}, \; ..., a_{r}),\: i=1, \;..., n.$$

Здесь $f_1,...,f_n$ – ана­ли­тич. функ­ции, и пред­по­ла­га­ет­ся, что па­ра­мет­ры $a_1,...,a_r$, со­от­вет­ст­вую­щие про­из­ве­де­нию двух пре­об­ра­зо­ва­ний, яв­ля­ют­ся ана­ли­тич. функ­ция­ми от па­ра­мет­ров со­мно­жи­те­лей. Что­бы под­черк­нуть кон­траст с ко­неч­ны­ми груп­па­ми под­ста­но­вок, та­кие груп­пы пре­об­ра­зо­ва­ний ста­ли на­зы­вать ко­неч­ны­ми не­пре­рыв­ны­ми груп­па­ми. При этом рас­смат­ри­ва­лись и груп­пы пре­об­ра­зо­ваний, за­ви­ся­щие от бес­ко­неч­но­го чис­ла па­ра­мет­ров (в совр. тер­ми­но­ло­гии – бес­ко­неч­но­мер­ные груп­пы Ли). Тер­мин «не­пре­рыв­ные груп­пы» со­хра­нял­ся за груп­па­ми Ли до 1930-х гг., хо­тя тер­мин «груп­пы Ли» на­чал упот­реб­лять­ся на­мно­го рань­ше. Д. Гиль­берт

в док­ла­де на 2-м Ме­ж­ду­нар. ма­те­ма­тич. кон­грес­се (Па­риж, 1900) по­ста­вил во­прос о том, бу­дет ли лю­бая ло­каль­но евк­ли­до­ва то­по­ло­гич. груп­па груп­пой Ли (5-я про­бле­ма Гиль­бер­та). Для групп пре­об­ра­зо­ва­ний это оз­на­ча­ет, что в оп­ре­де­ле­нии групп Ли мож­но счи­тать функ­ции $f_i$ не­пре­рыв­ны­ми, и не­пре­рыв­ной за­ме­ной ко­ор­ди­нат пре­вра­тить их в глад­кие (или ана­ли­ти­че­ские). Эта про­бле­ма бы­ла по­ло­жи­тель­но ре­ше­на амер. учё­ны­ми А. Гли­со­ном, Д. Монт­го­ме­ри и Л. Цип­пи­ном (1955) по­сле то­го, как ряд глу­бо­ких ча­ст­ных ре­зуль­та­тов был по­лу­чен Дж. фон Ней­ма­ном

 >>

, Л. С. Пон­тря­ги­ным

 >>

и др.

При­ме­ра­ми групп Ли яв­ля­ют­ся разл. пре­об­ра­зо­ва­ний груп­пы

, ис­поль­зуе­мые в гео­мет­рии, сре­ди ко­то­рых сле­дую­щие:

1) $n$-мер­ное век­тор­ное про­стран­ст­во

с опе­ра­ци­ей сло­же­ния век­то­ров;

2) ок­руж­ность, рас­смат­ри­вае­мая как груп­па по­во­ро­тов плос­ко­сти на к.-л. угол с опе­ра­ци­ей сло­же­ния уг­лов;

3) груп­па мат­риц (или ли­ней­ных пре­об­ра­зо­ва­ний век­тор­но­го про­стран­ст­ва) с опе­ра­ци­ей ум­но­же­ния мат­риц.

В от­ли­чие от пер­вых двух, по­след­ний при­мер да­ёт не­ком­му­та­тив­ную груп­пу Ли.

Ли г. т. воз­ник­ла в свя­зи с изу­че­ни­ем диф­фе­рен­ци­аль­ных урав­не­ний. С ка­ж­дым диф­фе­рен­ци­аль­ным урав­не­ни­ем свя­за­на груп­па Ли пре­об­ра­зо­ва­ний, ос­тав­ляю­щих его не­из­мен­ным. Напр., од­но­род­ные диф­фе­рен­ци­аль­ные урав­не­ния ${y}'=f(y/x)$ не из­ме­ня­ют­ся при пре­об­ра­зо­ва­ни­ях плос­ко­сти ви­да $\widetilde{y}=cy, \widetilde{x}=cx$. С. Ли на­шёл ал­геб­ра­ич. ус­ло­вие на груп­пу Ли урав­не­ния, дос­та­точ­ное для то­го, что­бы оно раз­ре­ша­лось (ин­тег­ри­ро­ва­лось) в квад­ра­ту­рах (от­сю­да воз­ник­ло по­ня­тие раз­ре­ши­мой груп­пы Ли). Ли ис­хо­дил при этом из ана­ло­гич­ных по­ня­тий и ре­зуль­та­тов Га­луа тео­рии

.

Ф. Клей­ном

бы­ла пред­ло­же­на об­щая точ­ка зре­ния (Эр­лан­ген­ская про­грам­ма), со­глас­но ко­то­рой гео­мет­рия есть нау­ка, изу­чаю­щая те свой­ст­ва фи­гур, ко­то­рые не ме­ня­ют­ся при за­дан­ной груп­пе не­пре­рыв­ных пре­об­ра­зо­ва­ний. С этим свя­за­на важ­ная роль Ли г. т. в гео­мет­рии. Осн. при­ме­ры групп Ли яв­ля­ют­ся груп­па­ми пре­об­ра­зо­ва­ний разл. гео­мет­рич. струк­тур, напр. груп­пы пре­об­ра­зо­ва­ний, со­хра­няю­щих квад­ра­тич­ную фор­му (ор­то­го­наль­ные пре­об­ра­зо­ва­ния), груп­пы про­ек­тив­ных, т. е. дроб­но-ли­ней­ных, пре­об­ра­зо­ва­ний, груп­пы дви­же­ний ри­ма­но­вых мно­го­об­ра­зий

 >>

или груп­пы их изо­мет­рий, груп­пы всех ав­то­мор­физ­мов ком­пакт­но­го ком­плекс­но­го мно­го­об­ра­зия (ком­плекс­ная груп­па Ли) и др.

С. Ли раз­ра­бо­тал ме­тод изу­че­ния не­пре­рыв­ных групп пре­об­ра­зо­ва­ний, ос­но­ван­ный на со­пос­тав­ле­нии ка­ж­дой та­кой груп­пе не­ко­то­ро­го на­бо­ра ана­ли­тич. век­тор­ных по­лей (см. Век­тор­ное ис­чис­ле­ние

), ко­то­рые он на­зы­вал ин­фи­ни­те­зи­маль­ны­ми пре­об­ра­зо­ва­ния­ми, а имен­но – по­лей $$\delta _{j}=\sum_{i=1}^{n}\frac{\partial f_{i}}{\partial a_{j}}(x_{1},\: ...,\; x_{n},\: 0,\: ...,\: 0)\frac{\partial }{\partial x_{i}},\: j=1,\: ...,\: r$$

Они оп­ре­де­ле­ны в ок­ре­ст­но­сти точ­ки $\text{0}$ про­стран­ст­ва па­ра­мет­ров $\textbf{R}^r$, ко­то­рая со­от­вет­ст­ву­ет то­ж­де­ст­вен­но­му пре­об­ра­зо­ва­нию. Ока­зы­ва­ет­ся, что ком­му­та­то­ры $[δ_i,d_j],\; i,j=1,...,r$, вы­ра­жа­ют­ся че­рез $δ_1,...,δ_r$ в ви­де ли­ней­ных ком­би­на­ций с по­сто­ян­ны­ми ко­эф­фи­ци­ен­та­ми, т. е. ли­ней­ная обо­лоч­ка $L$ по­лей $δ_1,...,d_r$ яв­ляет­ся ко­неч­но­мер­ным век­тор­ным про­стран­ст­вом с до­пол­нит. опе­ра­ци­ей ком­му­ти­ро­ва­ния (см. Ли ал­гебр тео­рия

). Ал­геб­ра $L$, на­зван­ная С. Ли ин­фи­ни­те­зи­маль­ной груп­пой, в даль­ней­шем ста­ла на­зы­вать­ся ал­геб­рой Ли или ка­са­тель­ной ал­геб­рой дан­ной груп­пы Ли. Как бы­ло ус­та­нов­ле­но С. Ли, ал­геб­ра $L$ пол­но­стью оп­ре­де­ля­ет груп­пу ло­каль­ных пре­об­ра­зо­ва­ний $f_1,...,f_n$.

В совр. тер­ми­но­ло­гии ал­геб­ра Ли $L(G)$ дан­ной груп­пы Ли $G$ пред­став­ля­ет со­бой ка­са­тель­ное про­стран­ст­во (на ко­то­ром оп­ре­де­ле­на струк­ту­ра ал­геб­ры Ли) к груп­пе в еди­нич­ном эле­мен­те $e$. Она име­ет ту же раз­мер­ность, что и ис­ход­ная груп­па Ли. Ум­но­же­ние (ком­му­ти­ро­ва­ние) $[u,v]$ ка­са­тель­ных век­то­ров $u$ и $v$ оп­ре­де­ля­ет­ся как ка­са­тель­ный век­тор $[u,v]$ при $t=0$ к кри­вой $$q(t)=\alpha (\sqrt{t})\beta (\sqrt{t})\alpha (\sqrt{t})^{-1}\beta (\sqrt{t})^{-1},$$ где α , β  – та­кие глад­кие кри­вые на $G$, что $a(0)=\beta(0)=e$, и их ка­са­тель­ные век­то­ры при $t=0$ суть век­то­ры $u$ и $v$ со­от­вет­ст­вен­но. Напр., груп­пе $G=GL_{n}(\textbf{R})$ всех не­вы­ро­ж­ден­ных ве­ще­ст­вен­ных мат­риц по­ряд­ка $n$ от­ве­ча­ет ал­геб­ра Ли $L(G)=gl_{n}(\textbf{R})$ всех мат­риц по­ряд­ка $n$ с опе­раци­ей $\left [ X, Y \right ]=XY-YX$; груп­пе $O(\textbf{R}^3)$ всех вра­ще­ний евк­ли­до­ва про­стран­ст­ва $\textbf{R}^3$ от­ве­ча­ет ал­геб­ра Ли $L(O(\textbf{R}^{3}))=\textbf{R}^{3}$, ко­то­рая оп­ре­де­ля­ет­ся в про­стран­ст­ве $\textbf{R}^3$ век­тор­ным ум­но­же­ни­ем. В Ли г. т. груп­пы Ли рас­смат­ри­ва­ют­ся с точ­но­стью до ана­ли­тич. изо­мор­физ­ма, т. е. вза­им­но од­но­знач­но­го ана­ли­тич. (в обе сто­ро­ны) ото­бра­же­ния од­ной груп­пы в дру­гую, со­хра­няю­ще­го ум­но­же­ние и еди­нич­ный эле­мент. Две од­но­связ­ные груп­пы Ли ана­ли­ти­че­ски изо­морф­ны то­гда и толь­ко то­гда, ко­гда изо­морф­ны их ал­геб­ры Ли. Для вся­кой ко­неч­но­мер­ной ал­геб­ры Ли $L$ (над по­лем $\textbf R$ или $\textbf C$) су­ще­ст­ву­ет груп­па Ли (со­от­вет­ст­вен­но, ве­ще­ст­вен­ная или ком­плекс­ная), имею­щая $L$ в ка­че­ст­ве ка­са­тель­ной ал­геб­ры.

Ин­фи­ни­те­зи­маль­ный ме­тод, раз­ра­бо­тан­ный С. Ли, по­зво­лил в даль­ней­шем по­лу­чить глу­бо­кие ре­зуль­та­ты о строе­нии и клас­си­фи­ка­ции связ­ных групп Ли. По ана­ло­гии с тео­ри­ей обыч­ных групп оп­ре­де­ля­ют­ся раз­ре­ши­мые груп­пы Ли. Груп­па Ли яв­ля­ет­ся раз­ре­ши­мой, ес­ли её ал­геб­ра Ли раз­ре­ши­ма. Ка­ж­дая связ­ная груп­па Ли $G$ со­дер­жит наи­боль­шую связ­ную раз­ре­ши­мую под­груп­пу Ли $\text{rad}\:G$. Груп­па $G$ на­зы­ва­ет­ся по­лу­про­стой, ес­ли $\text{rad}\: G=\left \{e \right \}$. Так­же мож­но вве­сти по­ня­тия по­лу­про­стых и про­стых групп Ли (эти свой­ст­ва для груп­пы Ли $G$ рав­но­силь­ны, со­от­вет­ст­вен­но, по­лу­про­сто­те и про­сто­те её ал­геб­ры Ли $L(G)$). Ка­ж­дая од­но­связ­ная по­лу­про­стая груп­па Ли раз­ла­га­ет­ся в пря­мое про­из­ве­де­ние про­стых под­групп Ли. На этом пу­ти по­лу­че­на пол­ная клас­си­фи­ка­ция связ­ных по­лу­про­стых групп Ли. В ка­ж­дой раз­мер­но­сти их име­ет­ся, с точ­но­стью до изо­мор­физ­ма, лишь ко­неч­ное чис­ло. Эти и др. резуль­та­ты совр. Ли г. т. бы­ли по­лу­че­ны по­сле ра­бот С. Ли, в осн. в 20 в. Они свя­за­ны с име­на­ми нем. ма­те­ма­ти­ка В. Кил­лин­га, Э. Кар­та­на

, Г. Вей­ля

 >>

и франц. ма­те­ма­ти­ка К. Ше­ва­лье.

За­ро­див­шая­ся на сты­ке ал­геб­ры, гео­мет­рии и ана­ли­за, Ли г. т. со­хра­ня­ет пло­до­твор­ные свя­зи с эти­ми дис­ци­п­ли­на­ми. С ал­геб­рой она свя­за­на че­рез тео­рию ал­гебр Ли и тео­рию ал­геб­ра­ич. групп. Связь групп Ли с диф­фе­рен­ци­аль­ны­ми урав­не­ния­ми, явив­шая­ся для С. Ли од­ним из сти­му­лов для изу­че­ния не­пре­рыв­ных групп, по­зво­ля­ет во мно­гих слу­ча­ях опи­сы­вать се­мей­ст­во всех ре­ше­ний сис­те­мы диф­фе­рен­ци­аль­ных урав­не­ний и стро­ить не­ко­то­рые кон­крет­ные ре­ше­ния. Су­ще­ст­ву­ют свя­зи ме­ж­ду Ли г. т. и тео­ри­ей оп­ти­маль­но­го управ­ле­ния. Важ­ные при­ло­же­ния в ма­те­ма­ти­ке и фи­зи­ке име­ет тео­рия ли­ней­ных пред­став­ле­ний групп Ли (см. Пред­став­ле­ний групп тео­рия

). Сим­мет­рии от­но­си­тель­но разл. клас­сов групп Ли иг­ра­ют фун­дам. роль в совр. тео­ри­ях эле­мен­тар­ных час­тиц, на­чи­ная с тео­рии уни­тар­ной сим­мет­рии, клас­си­фи­ци­рую­щей эле­мен­тар­ные час­ти­цы с точ­ки зре­ния ли­ней­ных пред­став­ле­ний спец. уни­тар­ных групп $SU_2$ и $SU_3$ и при­вед­шей к кон­цеп­ции квар­ков

 >>

, и кон­чая совр. ка­либ­ро­воч­ны­ми тео­рия­ми, объ­е­ди­нив­ши­ми осн. ви­ды взаи­мо­дей­ст­вий в еди­ное це­лое.