МНОГООБРА́ЗИЕ
-
Рубрика: Математика
-
-
Скопировать библиографическую ссылку:
МНОГООБРА́ЗИЕ, многомерное обобщение понятий линии и поверхности без особых точек. Топологич. многообразием размерности $n$ называется топологическое пространство $M$, каждая точка которого обладает окрестностью, гомеоморфной открытому шару $x^2_1+ ...+x^2_n< 1$ $n$-мерного евклидова пространства ${\bf R}^n$. Обычно предполагают также, что $M$ покрывается конечным или счётным числом окрестностей такого рода и что $M$ отделимо, т. е. любые две его точки обладают непересекающимися окрестностями.
Разнообразные примеры М. размерностей 1, 2 и 3 встречаются в геометрии. Прямая, открытый интервал, парабола, окружность, эллипс – одномерные М. Любая область на плоскости, сама плоскость, параболоид, сфера, эллипсоид, тор и т. п. – двумерные М. Поверхность конуса не является М., т. к. вершина конуса, в которой сходятся две его полости, не имеет окрестности, гомеоморфной кругу. Обычное трёхмерное евклидово пространство, а также любая область в нём – трёхмерное многообразие.
Введение в математику понятия М. любого числа измерений было вызвано весьма разнообразными потребностями геометрии, математич. анализа, механики и физики. Это понятие применимо практически во всех ситуациях, когда рассматриваемые объекты могут быть параметризованы системами действительных чисел. Точками возникающих при этом М. могут быть объекты любой природы – прямые, сферы, матрицы, состояния механич. системы и пр.
М. называется замкнутым, если оно компактно, и открытым в противном случае. Каждое замкнутое М. размерности 1 гомеоморфно окружности, а каждое открытое – прямой (на рис. 1 изображены одномерные М. и окрестности точки $P$ на каждом из них). В случае двух измерений уже замкнутые М. довольно разнообразны. Они распадаются на бесконечное число топологич. типов: сфера – поверхность рода 0 (рис. 2, а), тор – поверхность рода 1 (рис. 2, б), «крендель» – поверхность рода 2 (рис. 2, в), вообще «сфера с $n$ ручками» – поверхность рода $n$ (на рис. 2, г изображена такая поверхность при $n=3$). Этими примерами исчерпываются все топологич. типы замкнутых двумерных ориентированных М. Существует ещё бесконечное число замкнутых двумерных неориентируемых М. – односторонних поверхностей, напр. проективная плоскость, Клейна поверхность. Имеется классификация открытых двумерных М. Полная классификация М. трёх измерений не найдена (даже для случая замкнутых М.).
Определение топологич. М. не даёт возможности определить дифференцируемые функции и др. понятия математич. анализа на М. Чтобы эти понятия приобрели смысл, необходимо ввести на М. дополнит. структуру. В окрестности любой точки $n$-мерного топологич. М. существуют локальные координаты $x_1,...,x_n$, однозначно определяющие положение точки этой окрестности. Если выбрать локальные координаты в окрестности любой точки М. таким образом, что две разные системы локальных координат в пересекающихся окрестностях выражаются друг через друга при помощи функций класса $C^k, k⩾1$, то получится гладкая структура класса $k$. Обычно берут $k=∞$ и М. с гладкой структурой называют дифференцируемым (или гладким) М. Дифференцируемые М. имеют большое значение в совр. математике, поскольку именно они наиболее широко используются в приложениях и смежных областях (см. Дифференциальная геометрия). На одном и том же топологич. М. могут существовать разл. (и даже не изоморфные) гладкие структуры. Аналогично вводится понятие аналитич. М. Если считать локальные координаты комплексными числами и потребовать, чтобы они выражались друг через друга при помощи аналитич. функций, то получится понятие комплексного (аналитического) многообразия.
Понятие многомерного М. впервые сформулировано Б. Риманом в его лекции «О гипотезах, лежащих в основании геометрии» (1854). В 1913 Г. Вейль ввёл понятие (абстрактной) римановой поверхности, т. е. одномерного комплексного М. (с каждой аналитич. функцией комплексного переменного связывается такое М., называемое римановой поверхностью этой функции).
В совр. математике рассматриваются также разл. обобщения понятия М. Таковы, напр., М. с краем (типичным примером которых является замкнутый шар $x^2_1+ ...+x^2_n⩽ 1$ в пространстве ${\bf R}^n$), а также аналитич. пространства (включающие в себя вещественные или комплексные аналитич. поверхности с особыми точками).
