ЛИ А́ЛГЕБР ТЕО́РИЯ

ЛИ А́ЛГЕБР ТЕО́РИЯ, раз­дел ал­геб­ры, изу­чаю­щий ал­геб­ры Ли. Ал­геб­рой Ли на­зы­ва­ет­ся ал­геб­ра (см. Ко­лец тео­рия) над не­ко­то­рым по­лем $K$ с ум­но­же­ни­ем (для эле­мен­тов $a$ и $b$ ал­геб­ры Ли их про­из­ве­де­ние обыч­но обо­зна­ча­ет­ся $[a,b]$), об­ла­даю­щим сле­дую­щи­ми свой­ст­ва­ми: для лю­бых эле­мен­тов $x, y, z$$$\left [x,x\right ]=0;$$$$\left [x, \left [ y,z \right ] \right ]+\left [ y,\left [ z,x \right ] \right ]+\left [ z,\left [ x,y \right ] \right ]=0$$(то­ж­де­ст­во Яко­би).

Пер­вое из этих свойств вле­чёт ра­вен­ст­во $\left [ x,y \right ]= -\left [ y,x \right ]$ (ан­ти­ком­му­та­тив­ность). Ал­геб­ра Ли на­зы­ва­ет­ся ком­му­та­тив­ной (или абе­ле­вой), ес­ли в ней вы­пол­ня­ет­ся ра­вен­ст­во $[x,y]=0$ для всех эле­мен­тов $x\; и\; y$. Ал­геб­ры Ли, как пра­ви­ло, не­ас­со­циа­тив­ны.

При­ме­ры и кон­ст­рук­ции ал­гебр Ли.

1) Лю­бая ас­со­циа­тив­ная ал­геб­ра $A$ (с ум­но­же­ни­ем, обо­зна­чае­мым обыч­ным об­ра­зом) пре­вра­ща­ет­ся в ал­геб­ру Ли $A_L$, ес­ли вве­сти в ней но­вое ум­но­же­ние $[x,y]=xy-yx$ (ком­му­ти­ро­ва­ние). Т. о. стро­ит­ся ал­геб­ра Ли $gl_n(K)$ всех мат­риц по­ряд­ка $n$ над $K$, ум­но­же­ние в ко­то­рой есть ком­му­ти­ро­ва­ние мат­риц, или ал­геб­ра Ли $gl(V)$ ли­ней­ных пре­об­ра­зо­ва­ний век­тор­но­го про­стран­ст­ва $V$.

2) Ал­геб­ры Ли ана­ли­ти­че­ских (со­от­вет­ст­вен­но, глад­ких) век­тор­ных по­лей (см. Век­тор­ное ис­чис­ле­ние) на лю­бом ана­ли­ти­че­ском (со­от­вет­ст­вен­но, глад­ком) мно­го­об­ра­зии.

3) С ка­ж­дой груп­пой Ли $G$ свя­зы­ва­ет­ся ал­геб­ра Ли $L(G)$ той же раз­мер­но­сти (см. Ли групп тео­рия).

Не вся­кая ал­геб­ра Ли по­лу­ча­ет­ся из не­ко­то­рой ас­со­циа­тив­ной ал­геб­ры с по­мо­щью кон­ст­рук­ции из при­ме­ра 1), од­на­ко лю­бую ал­геб­ру Ли $L$ над по­лем $K$ мож­но вло­жить как по­дал­геб­ру в ал­геб­ру Ли та­ко­го ти­па. Бо­лее то­го, су­ще­ст­ву­ет та­кая ас­со­циа­тив­ная ал­геб­ра $U(L)$ и та­кое вло­же­ние $i:L→U(L)_L$, что лю­бой го­мо­мор­физм $f:L→A_L$, где $A$ – ас­со­циа­тив­ная ал­геб­ра, пред­ста­вим в ви­де су­пер­по­зи­ции $f=φ ∘ i$, где $φ:U(L)→A$ – од­но­знач­но оп­ре­де­лён­ный го­мо­мор­физм ал­гебр. Ал­геб­ра $U(L)$ (вме­сте с вло­жени­ем $i$) оп­ре­де­ле­на для $L$ од­но­знач­но и на­зы­ва­ет­ся уни­вер­саль­ной обёр­ты­ваю­щей ал­геб­рой ал­геб­ры Ли $L$. Ес­ли в $L$ вы­брать ба­зис $e_1,e_2,...,$ то од­но­чле­ны где $k_1⩽...⩽k_n$, – це­лые не­отри­ца­тель­ные чис­ла, со­став­ля­ют ба­зис в $U(L)$. В слу­чае, ко­гда $L$ есть $n$-мер­ная ком­му­та­тив­ная ал­геб­ра Ли, $U(L)$ – ал­геб­ра мно­го­чле­нов от $e_1,...,e_n$.

Ли­ней­ным пред­став­ле­ни­ем ал­геб­ры Ли $L$ над по­лем $K$в век­тор­ном про­стран­стве $V$ над $K$ на­зы­ва­ет­ся го­мо­мор­физм $L→gl(V)$ в ал­геб­ру Ли $gl(V)$. Лю­бое ана­ли­тич. ли­ней­ное пред­став­ле­ние груп­пы Ли оп­ре­де­ля­ет ли­ней­ное пред­став­ле­ние со­от­вет­ст­вую­щей ал­геб­ры Ли (в том же век­тор­ном про­стран­ст­ве). Лю­бое ли­ней­ное пред­став­ле­ние ал­геб­ры Ли $L$ од­но­знач­но про­дол­жа­ет­ся до ли­ней­но­го пред­став­ле­ния ас­со­циа­тив­ной ал­геб­ры $U(L)$, что сво­дит тео­рию пред­став­ле­ний ал­гебр Ли к тео­рии мо­ду­лей над не­ко­торым клас­сом ас­со­циа­тив­ных ал­гебр. Уни­вер­саль­ная обёр­ты­ваю­щая ал­геб­ра иг­ра­ет здесь роль, ана­ло­гич­ную ро­ли груп­по­вой ал­геб­ры в пред­став­ле­ний групп тео­рии. Важ­ным ре­зуль­та­том яв­ля­ет­ся сле­дую­щая тео­ре­ма: лю­бая ко­неч­но­мер­ная ал­геб­ра Ли над про­из­воль­ным по­лем $K$ до­пус­ка­ет точ­ное ли­ней­ное пред­став­ле­ние в ко­неч­но­мер­ном век­тор­ном про­стран­ст­ве над $K$, т. е. мо­жет быть вло­же­на в ал­геб­ру $gl(V)$.

Ком­му­тан­том ал­геб­ры Ли $L$ на­зы­ва­ет­ся ли­ней­ная обо­лоч­ка $[L,L]$ её эле­мен­тов ви­да $[x,y]$, где $x,y∈L$; ком­му­тант яв­ля­ет­ся идеа­лом в $L$. По­ла­гая по ин­дук­ции $D^pL=[D^{p–1}L,D^{p–1}L],\; p=1,2,..., D^0L=L$, по­лу­ча­ют убы­ваю­щую це­поч­ку идеа­лов $L=D^0L⊃D^1L⊃D^2L⊃...$ Ес­ли $D^pL=0$ для не­ко­то­ро­го $p$, то ал­геб­ра Ли $L$ на­зы­ва­ет­ся раз­ре­ши­мой. Ал­геб­ра Ли $L$ на­зы­ва­ет­ся по­лу­про­стой, ес­ли $L$ не со­дер­жит не­ну­ле­вых раз­ре­ши­мых идеа­лов, и про­стой, ес­ли $L$ не со­дер­жит не­ну­ле­вых идеа­лов, от­лич­ных от $L$. В лю­бой ко­неч­но­мер­ной ал­геб­ре Ли $L$ су­ще­ст­ву­ет наи­боль­ший раз­ре­ши­мый иде­ал $\text{rad}\:L$ – ра­ди­кал ал­геб­ры Ли $L$, при­чём фак­то­р­ал­геб­ра $L/\text{rad}\:L$ по­лу­про­ста. Наи­бо­лее изу­че­но строе­ние ко­неч­но­мер­ных по­лу­про­стых ал­гебр Ли над по­лем $K$ ха­рак­те­ри­сти­ки 0. Та­кие ал­геб­ры раз­ла­га­ют­ся в пря­мую сум­му про­стых ал­гебр Ли. Над по­лем $\textbf{C}$ ком­плекс­ных чи­сел (а так­же над лю­бым ал­геб­раи­че­ски замк­ну­тым по­лем ха­рак­те­ри­сти­ки 0) из­вест­ны все ко­неч­но­мер­ные ал­геб­ры Ли. Это пре­ж­де все­го сле­дую­щие ал­геб­ры Ли:$$A_{n}=sl_{n+1}(\textbf{C})=\left \{ X\in gl_{n+1}(\textbf{C})\! \mid\! \text{tr}X=0 \right \}, n\geqslant 1,$$

Кро­ме них, име­ет­ся един­ст­вен­ная ком­му­та­тив­ная про­стая ал­геб­ра раз­мер­но­сти 1 и ещё пять т. н. осо­бых про­стых ал­гебр Ли $E_6, E_7, E_8, F_4, G_2$, имею­щих раз­мер­но­сти со­от­вет­ст­вен­но 78, 133, 248, 52, 14. Из­вест­на так­же клас­си­фи­ка­ция ко­неч­но­мер­ных про­стых ал­гебр Ли над по­лем ве­ще­ст­вен­ных чи­сел $\textbf{R}$.

Клас­сич. Лиа. т., осн. ре­зуль­та­ты ко­то­рой при­над­ле­жат Э. Кар­та­ну, яв­ля­ет­ся впол­не за­кон­чен­ной. Совр. Лиа. т. име­ет де­ло с та­ки­ми ал­геб­ра­ми Ли, как ал­геб­ры Ли над по­лем про­стой ха­рак­те­ри­сти­ки, бес­ко­неч­но­мер­ные ал­геб­ры Ли и не­ко­то­рые обоб­ще­ния ал­гебр Ли (та­кие, как су­пер­ал­геб­ры Ли). Эти клас­сы ал­гебр ис­сле­до­ва­ны ме­нее пол­но. Все они име­ют мно­го­числ. при­ме­не­ния как в ма­те­ма­ти­ке, так и в ме­ха­ни­ке, фи­зи­ке и др. нау­ках.

Ли а. т. поя­ви­лась в кон. 19 в. в свя­зи с раз­ви­ти­ем тео­рии групп Ли. Тер­мин ввёл Г. Вейль (1934).