ВЕ́КТОРНОЕ ИСЧИСЛЕ́НИЕ

ВЕ́КТОРНОЕ ИСЧИСЛЕ́НИЕ, раз­дел ма­те­ма­ти­ки, в ко­то­ром изу­ча­ют­ся век­то­ры евк­ли­до­ва про­стран­ст­ва и опе­ра­ции над ни­ми.

Воз­ник­но­ве­ние В. и. свя­за­но с по­треб­но­стя­ми ме­ха­ни­ки и фи­зи­ки. Ос­но­вы В. и. бы­ли за­ло­же­ны ис­сле­до­ва­ния­ми У. Га­миль­то­на

и Г. Грас­сма­на

 >>

(1844–1850). Их идеи бы­ли ис­поль­зо­ва­ны Дж. К. Мак­свел­лом

 >>

в его ра­бо­тах по элек­три­че­ст­ву и маг­не­тиз­му. Совр. вид В. и. при­дал Дж. Гиббс

 >>

. Зна­чительный вклад в раз­ви­тие В. и. внёс М. В. Ос­т­ро­град­ский

 >>

.

Векторная алгебра

Век­то­ром на­зы­ва­ет­ся на­прав­лен­ный от­ре­зок пря­мой, у ко­то­ро­го один ко­нец (точ­ка $A$) счи­та­ет­ся на­ча­лом, дру­гой (точ­ка $B$) – кон­цом век­то­ра. Обыч­но век­то­ры обо­зна­ча­ют­ся $AB, \overline{AB}, \overrightarrow{AB}, \boldsymbol a, \bar a, \vec a$, или про­сто $a$. Век­тор, на­ча­ло и ко­нец ко­то­ро­го сов­па­да­ют, на­зы­ва­ет­ся ну­ле­вым и обыч­но обо­зна­ча­ет­ся $\boldsymbol 0$ или 0. Ха­рак­те­ри­сти­ка­ми век­то­ра яв­ля­ют­ся его мо­дуль (дли­на), ко­то­рый ра­вен дли­не от­рез­ка $AB$ (обо­зна­ча­ет­ся $|AB|$), и на­прав­ле­ние от $A$ к $B$. Ну­ле­во­му век­то­ру при­пи­сы­ва­ют лю­бое на­прав­ле­ние. Все ну­ле­вые век­то­ры счи­та­ют­ся рав­ны­ми. Век­тор еди­нич­ной дли­ны на­зы­ва­ет­ся еди­нич­ным век­то­ром или ор­том. Век­то­ры на­зы­ва­ют­ся кол­ли­не­ар­ны­ми, ес­ли они ле­жат ли­бо на од­ной пря­мой, ли­бо на па­рал­лель­ных пря­мых, и ком­пла­нар­ны­ми, ес­ли они ле­жат на од­ной плос­ко­сти. Век­тор на­зы­ва­ет­ся сво­бод­ным, ес­ли его на­чаль­ная точ­ка мо­жет быть вы­бра­на про­из­воль­но. Обыч­но два век­то­ра на­зы­ва­ют­ся рав­ны­ми, ес­ли они кол­ли­не­ар­ны, име­ют оди­на­ко­вую дли­ну и оди­на­ко­во на­прав­ле­ны.

Кро­ме сво­бод­ных век­то­ров в ме­ха­нике и фи­зи­ке час­то рас­смат­ри­ва­ют­ся век­то­ры, ко­то­рые ха­рак­те­ри­зу­ют­ся мо­ду­лем, на­прав­ле­ни­ем и по­ло­же­ни­ем на­чаль­ной точ­ки (точ­кой при­ло­же­ния). Та­кие век­то­ры на­зы­ва­ют­ся свя­зан­ны­ми. Свя­зан­ные век­то­ры счи­та­ют­ся рав­ны­ми, ес­ли они име­ют не толь­ко рав­ные мо­дули и оди­на­ко­вые на­прав­ле­ния, но и об­щую точ­ку при­ло­же­ния. Мно­же­ст­во рав­ных ме­ж­ду со­бой век­то­ров, рас­по­ло­жен­ных на од­ной пря­мой, на­зы­ва­ет­ся сколь­зя­щим век­то­ром. За­да­ние сколь­зя­ще­го или свя­зан­но­го век­то­ра мо­жет быть за­ме­не­но за­да­ни­ем двух сво­бод­ных век­торов. В В. и. рас­смат­ри­ва­ют­ся толь­ко сво­бод­ные век­то­ры.

В век­тор­ной ал­геб­ре рас­смат­ри­ва­ют­ся ли­ней­ные опе­ра­ции над век­то­ра­ми, т. е. сло­же­ние век­то­ров и ум­но­же­ние век­то­ра на дей­ст­ви­тель­ное чис­ло.

Сум­мой $a+b$ век­то­ров $a$ и $b$ на­зы­ва­ет­ся век­тор, иду­щий из на­ча­ла век­то­ра $a$ в ко­нец век­то­ра $b$ при ус­ло­вии, что на­ча­ло век­то­ра $b$ при­ло­же­но к кон­цу век­то­ра $a$ (рис. 1), этот век­тор ра­вен так­же диа­го­на­ли па­рал­ле­ло­грам­ма, по­стро­ен­но­го на век­то­рах $a$ и $b$ (рис. 2). По­строе­ние сум­мы не­сколь­ких век­то­ров по­ка­зано на рис. 3.

Про­из­ве­де­ни­ем $\alpha a$ век­то­ра $a$ и чис­ла $\alpha$ на­зы­ва­ет­ся век­тор, кол­ли­не­ар­ный век­то­ру $a$, имею­щий дли­ну $|\alpha|\cdot |a|$ и на­прав­ле­ние, сов­па­даю­щее с на­прав­ле­ни­ем $a$ при $\alpha > 0$ и про­ти­во­по­лож­ное при $\alpha < 0$. Ес­ли $\alpha =0$ или/и $a=0$, то $\alpha a = 0$.

Век­тор $-1\cdot a$ на­зы­ва­ет­ся про­ти­во­по­лож­ным век­то­ру $a$ и обо­зна­ча­ет­ся $-a$.

Опе­ра­ции сло­же­ния век­то­ров и ум­но­же­ния век­то­ра на чис­ло об­ла­да­ют свой­ст­ва­ми $a+b = b+a, (a+b)+c = a+(b+c), a+0 = a, a+(-a) = 0, 1\cdot a=a, \alpha(\beta a) = (\alpha\beta)a, \alpha(a+b) = \alpha a +\alpha b, (\alpha +\beta)a = \alpha a +\beta a$, где $a,b,c$ – век­то­ры, а $\alpha$ и $\beta$ – дей­ст­ви­тель­ные чис­ла. Раз­но­стью $a-b$ век­то­ров $a$ и $b$ на­зы­ва­ет­ся век­тор $x$ та­кой, что $x+b = a, x = a+(-b)$. Мно­же­ст­во всех век­то­ров евк­ли­до­ва про­стран­ст­ва с вве­дён­ны­ми в нём опе­ра­ция­ми сло­же­ния и ум­но­же­ния на чис­ло об­ра­зу­ет век­тор­ное про­стран­ст­во

.

В век­тор­ной ал­геб­ре час­то ис­поль­зу­ют­ся по­ня­тия ли­ней­ной за­ви­си­мо­сти и ли­ней­ной не­за­ви­си­мо­сти век­то­ров. Век­то­ры $a_1, \ldots , a_n$ на­зы­ва­ют­ся ли­ней­но за­ви­си­мы­ми, ес­ли су­ще­ст­ву­ют чис­ла $\alpha_1, \ldots , \alpha_n$, из ко­то­рых хо­тя бы од­но от­лич­но от нуля, та­кие, что ли­ней­ная ком­би­на­ция $\alpha_1 a_1 + \ldots + \alpha_n a_n = 0$, т. е. сум­ма век­то­ров в ле­вой час­ти это­го ра­вен­ст­ва рав­на ну­ле­во­му век­то­ру. В про­тив­ном слу­чае век­то­ры $a_1, \ldots, a_n$ на­зы­ва­ют­ся ли­ней­но не­за­ви­си­мы­ми.

В ме­ха­ни­ке и фи­зи­ке обыч­но ис­поль­зу­ют­ся дву­мер­ные и трёх­мер­ные век­тор­ные про­стран­ст­ва. В трёх­мер­ном про­стран­ст­ве су­ще­ст­ву­ют трой­ки ли­ней­но не­за­ви­си­мых век­то­ров, лю­бые че­ты­ре век­то­ра ли­ней­но за­ви­си­мы; в дву­мер­ном про­стран­ст­ве, т. е. на плос­ко­сти, су­ще­ст­ву­ют па­ры ли­ней­но не­за­ви­си­мых век­то­ров, лю­бые три век­то­ра ли­ней­но за­ви­си­мы. Ли­ней­но не­за­ви­си­мые век­то­ры $e_1, e_2, e_3$ трёх­мер­но­го евк­ли­до­ва про­стран­ст­ва об­ра­зу­ют ба­зис, т. е. лю­бой век­тор $a$ мо­жет быть един­ст­вен­ным об­ра­зом пред­став­лен в ви­де $a = a_1e_1 + a_2e_2 + a_3e_3$, где $a_1, a_2, a_3$ – чис­ла, на­зы­вае­мые ко­ор­ди­на­та­ми (ком­по­нен­та­ми) век­то­ра $a$ в дан­ном ба­зи­се. Век­тор $a$ c ко­ор­ди­на­та­ми $a_1, a_2, a_3$ час­то за­пи­сы­ва­ют в ви­де $a=(a_1,a_2, a_3)$. Три вза­им­но ор­то­го­наль­ных (пер­пен­ди­ку­ляр­ных) век­то­ра, дли­ны ко­то­рых рав­ны еди­ни­це и ко­то­рые обыч­но обо­зна­ча­ют $i, j, k,$ об­ра­зу­ют т. н. ор­то­нор­ми­ро­ван­ный ба­зис. Ес­ли на­ча­ла этих век­то­ров по­мес­тить в не­ко­то­рую точ­ку $O$, то по­лу­чит­ся де­кар­то­ва пря­мо­уголь­ная сис­те­ма ко­ор­ди­нат в трёх­мер­ном про­стран­ст­ве (рис. 4). Ука­зан­ным вы­ше ли­ней­ным опе­ра­ци­ям над век­то­ра­ми со­от­вет­ст­ву­ют ана­ло­гич­ные опе­ра­ции над их ко­ор­ди­на­та­ми: ес­ли век­то­ры $a$ и $b$ име­ют ко­ор­ди­на­ты $(a_1, a_2, a_3)$ и $(b_1, b_2, b_3)$, то сум­ма $a+b$ этих век­то­ров име­ет ко­ор­ди­на­ты $(a_1 + b_1, a_2 + b_2, a_3 + b_3)$, а век­тор $\alpha a$ име­ет ко­ор­ди­на­ты $(\alpha a_1,\alpha a_2, \alpha a_3)$.

Раз­ви­тие и при­ме­не­ние век­тор­ной ал­геб­ры тес­но свя­за­ны с разл. век­тор­ны­ми про­из­ве­де­ния­ми: ска­ляр­ным, век­тор­ным и сме­шан­ным. Ска­ляр­ным про­из­ве­де­ни­ем век­то­ров $a$ и $b$ на­зы­ва­ет­ся чис­ло, обо­зна­чае­мое $(a, b)$, рав­ное про­из­ве­де­нию длин этих век­то­ров на ко­си­нус уг­ла $\varphi$ ме­ж­ду ни­ми:

$$(a, b) = |a| |b| \cos \varphi$$

Ска­ляр­ным про­из­ве­де­ни­ем вы­ра­жа­ет­ся, напр., ра­бо­та си­лы $F$ на пря­мо­ли­ней­ном пу­ти $s$, ко­то­рая рав­на $|F| |s| \cos \varphi$, где $\varphi$ – угол ме­ж­ду век­то­ра­ми $F$ и $s$.

Cкалярное про­из­ве­де­ние об­ла­да­ет сле­дую­щи­ми свой­ст­ва­ми:

$$(a, b) = (b, a) , \quad (\alpha a, b) = \alpha (a, b),$$ $$(a+b, c) = (a, c) + (b, c), \quad (a, a) \geq 0,$$

где $a, b, c$ - век­то­ры, $\alpha$ - чис­ло; в по­след­нем не­ра­вен­ст­ве ра­вен­ст­во име­ет ме­сто лишь при $a = 0$. Ес­ли в ор­то­нор­ми­ро­ван­ном ба­зи­се $i, j, k$ век­то­ры $a$ и и $b$ име­ют со­от­вет­ст­вен­но ко­ор­ди­на­ты $(a_1, a_2, a_3)$ и $(b_1, b_2, b_3)$,  то

$$(a, b) = a_1b_1 + a_2b_2 + a_3b_3,$$ $$|a| = \sqrt {a_1^2 + a_2^2 + a_3^2},$$ $$|b| = \sqrt {b_1^2 + b_2^2 + b_3^2},$$ $$\cos \varphi = \frac {a_1b_1 + a_2b_2 +a_3b_3}{\sqrt {a_1^2 + a_2^2 + a_3^2}\sqrt {b_1^2 + b_2^2 + b_3^2}}$$

При оп­ре­де­ле­нии век­тор­но­го про­из­ве­де­ния ис­поль­зу­ет­ся по­ня­тие ле­вой и пра­вой упо­ря­до­чен­ных троек век­то­ров. Упо­ря­до­чен­ная трой­ка век­то­ров $a, b, c$ ($a$ - пер­вый, $b$ - вто­рой, $c$ - тре­тий век­то­ры), при­ве­дён­ных к об­ще­му на­ча­лу и не ле­жа­щих в од­ной плос­ко­сти, на­зы­ва­ет­ся пра­вой (ле­вой), ес­ли они рас­по­ла­га­ют­ся так, как рас­по­ла­га­ют­ся со­от­вет­ст­вен­но боль­шой, ука­за­тель­ный и сред­ний паль­цы пра­вой (ле­вой) ру­ки. На рис. 5 изо­бра­же­ны сле­ва – пра­вая, а спра­ва – ле­вая трой­ки век­то­ров.

Век­тор­ным про­из­ве­де­ни­ем век­то­ров $a$ и $b$ на­зы­ва­ет­ся век­тор, обо­зна­чае­мый $[a ,b]$, та­кой, что дли­на век­то­ра $[a, b]$ рав­на про­из­ве­де­нию длин век­то­ров $a$ и $b$ на си­нус уг­ла $\varphi$ ме­ж­ду ни­ми, и ес­ли $a$ и $b$ не­кол­ли­не­ар­ны, то век­тор $[a, b]$ пер­пен­ди­ку­ля­рен век­то­рам $a$ и $b$ и на­прав­лен так, что трой­ка век­то­ров $a, b, [a, b]$ яв­ля­ет­ся пра­вой. В слу­чае, ес­ли $a$ и $b$ кол­ли­не­ар­ны, то $[a, b] = 0$. Век­тор­ное про­из­ве­де­ние об­ла­да­ет сле­дую­щи­ми свой­ст­ва­ми:

$$[a ,b] = - [b, a], \quad [(\alpha a), b] = \alpha [a, b],$$ $$[c, (a + b)] = [c, a] + [c, b],$$ $$[a, [b, c]] = b(a, c) - c(a, b),$$ $$([a, b], [c, d]) = (a, c)(b, d) - (a, d)(b, c),$$

где $a, b, c, d$ - век­то­ры, $\alpha$ - чис­ло.

Ес­ли в ор­то­нор­ми­ро­ван­ном ба­зи­се $i, j, k$, об­ра­зую­щем пра­вую трой­ку, век­то­ры $a$ и $b$ име­ют со­от­вет­ст­вен­но ко­ор­ди­на­ты $(a_1, a_2, a_3)$ и $(b_1, b_2, b_3)$, то

$$[a,b] = (a_2b_3 - a_3b_2, a_3b_1 - a_1b_3, a_1b_2 - a_2b_1),$$

или

$$[a, b] = \begin {vmatrix} i & j & k \\ a_1 & a_2 & a_3 \\ b_1 & b_2 & b_3 \end{vmatrix}$$

По­ня­тие век­тор­но­го про­из­ве­де­ния при­ме­ня­ет­ся в разл. за­да­чах ме­ха­ни­ки и фи­зи­ки. Напр., мо­мент си­лы $F$, при­ло­жен­ной к точ­ке $M$, от­но­си­тель­но точ­ки $O$ ра­вен век­тор­но­му про­из­ве­де­нию $[\overline{OM}, F]$.

Сме­шан­ным про­из­ве­де­ни­ем век­то­ров $a, b$ и $c$ на­зы­ва­ет­ся чис­ло, обо­зна­чае­мое $abc$, рав­ное ска­ляр­но­му про­из­ве­де­нию $([a, b], c)$ век­то­ра $[a, b]$ на век­тор $c$. Сме­шан­ное про­из­ве­де­ние век­то­ров $a, b$ и $c$, не па­рал­лель­ных од­ной плос­ко­сти, рав­но объ­ё­му па­рал­ле­ле­пи­пе­да, по­стро­ен­но­го на при­ве­дён­ных к об­ще­му на­ча­лу век­то­рах $a, b$ и $c$, взя­то­му со зна­ком плюс, ес­ли трой­ка $a, b, c$ пра­вая, и со зна­ком ми­нус, ес­ли трой­ка ле­вая. Ес­ли век­то­ры $a, b$ и $c$ па­рал­лель­ны од­ной плос­ко­сти, то $abc = 0$. Спра­вед­ли­вы так­же ра­вен­ст­ва $abc = bca = cab$. Ес­ли ко­ор­ди­на­ты век­то­ров $a, b$ и $c$ в ор­то­нор­ми­ро­ван­ном ба­зи­се $i, j, k$, об­ра­зую­щем пра­вую трой­ку, суть $(a_1, a_2, a_3), (b_1, b_2, b_3)$ и $(c_1, c_2, c_3)$, то

$$abc = \begin {vmatrix} a_1 & b_1 & c_1 \\ a_2 & b_2 & c_2 \\ a_3 & b_3 & c_3 \end {vmatrix}$$

Вектор-функции скалярных аргументов

В ме­ха­ни­ке, фи­зи­ке, диф­фе­рен­ци­аль­ной гео­мет­рии ши­ро­ко ис­поль­зу­ет­ся по­ня­тие век­тор-функ­ции од­но­го или не­сколь­ких ска­ляр­ных ар­гу­мен­тов. Ес­ли ка­ж­до­му зна­че­нию пе­ре­мен­ной $t$ из не­ко­то­ро­го мно­же­ст­ва $\{t\}$ ста­вит­ся в со­ответ­ст­вие оп­ре­де­лён­ный век­тор $r$, то го­во­рят, что на мно­же­ст­ве $\{t\}$ за­да­на век­тор-функ­ция (век­тор­ная функ­ция) $r = r(t)$. Т. к. век­тор $r$ оп­ре­де­ля­ет­ся ко­ор­ди­на­та­ми $(x, y, z)$ в ба­зи­се $i, j, k$, то за­да­ние век­тор-функ­ции $r = r(t)$ эк­ви­ва­лент­но за­да­нию трёх ска­ляр­ных функ­ций $x = x(t), y = y(t), z=z(t)$.

По­ня­тие век­тор-функ­ции ста­но­вит­ся на­гляд­ным, ес­ли об­ра­тить­ся к го­до­гра­фу

этой функ­ции, т. е. мно­же­ст­ву кон­цов всех век­то­ров $r(t)$, при­ло­жен­ных к на­ча­лу ко­ор­ди­нат $O$ (рис. 6). Ес­ли при этом рас­смат­ри­вать ар­гу­мент $t$ как вре­мя, то век­тор-функ­ция $r(t)$ пред­став­ляет со­бой за­кон дви­же­ния точ­ки $M$, дви­жу­щей­ся по кри­вой $L$ – го­до­гра­фу функ­ции $r(t)$.

При изу­че­нии век­тор-функ­ций важ­ную роль иг­ра­ет по­ня­тие про­из­вод­ной. Это по­ня­тие вво­дит­ся сле­дую­щим об­ра­зом: ар­гу­мен­ту $t$ да­ёт­ся при­ра­ще­ние $\Delta t \neq 0$ и век­тор $\Delta r = r(t + \Delta t) - r(t)$ (на рис. 6 это век­тор ) ум­но­жа­ет­ся на $1 /{\Delta t}$. Пре­дел вы­ра­же­ния $\Delta r /{\Delta t}$ при $\Delta t \to 0$ на­зы­ва­ет­ся про­из­вод­ной век­тор-функ­ции $r(t)$ и обо­зна­ча­ет­ся $r'(t)$ или $dr/{dt}$. Про­из­вод­ная пред­став­ля­ет со­бой век­тор, ка­са­тель­ный к го­до­гра­фу $L$ в дан­ной точ­ке $M$. Ес­ли век­тор-функ­ция рас­смат­ри­ва­ет­ся как за­кон дви­же­ния точ­ки по кри­вой $L$, то про­из­вод­ная $r'(t)$ рав­на ско­ро­сти дви­же­ния этой точ­ки в мо­мент $t$. Пра­ви­ла вы­чис­ле­ния про­из­вод­ных век­тор-функ­ций ана­ло­гич­ны пра­ви­лам вы­чис­ле­ния про­из­вод­ных про­из­ве­де­ний обыч­ных функ­ций, напр.

$$(r_1, r_2)' = (r_1^{\prime},r_2) + (r_2, r_2^{\prime}),$$ $$[r_1, r_2]' = [r_1^{\prime}, r_2] + [r_1, r_2^{\prime}].$$

В диф­фе­рен­ци­аль­ной гео­мет­рии век­тор-функ­ции од­но­го ар­гу­мен­та ис­поль­зу­ют­ся для за­да­ния кри­вых. Для за­да­ния по­верх­но­стей поль­зу­ют­ся век­тор-функ­ция­ми двух ар­гу­мен­тов.

Векторный анализ

В ме­ха­ни­ке, фи­зи­ке и гео­мет­рии ши­ро­ко ис­поль­зу­ют­ся по­ня­тия ска­ляр­ных и век­тор­ных по­лей. Темп-ра не­рав­но­мер­но на­гре­той пла­сти­ны и плот­ность не­од­но­род­но­го те­ла пред­став­ля­ют со­бой фи­зич. при­ме­ры со­от­вет­ст­вен­но плос­ко­го и про­стран­ст­вен­но­го ска­ляр­ных по­лей. При­ме­ра­ми век­тор­но­го по­ля яв­ля­ют­ся мно­же­ст­во всех век­то­ров ско­ро­стей час­тиц ус­та­но­вив­ше­го­ся по­то­ка жид­ко­сти, по­ле си­лы тя­же­сти и на­пря­жён­ность элек­трич. по­ля.

Для ма­те­ма­тич. за­да­ния ска­ляр­ных и век­тор­ных по­лей ис­поль­зу­ют­ся со­от­вет­ст­вен­но ска­ляр­ные и век­тор­ные функ­ции. Плот­ность те­ла пред­став­ля­ет со­бой ска­ляр­ную функ­цию точ­ки, а по­ле ско­ро­стей час­тиц ус­та­но­вив­ше­го­ся по­то­ка жид­ко­сти – век­тор­ную функ­цию точ­ки. Для гео­мет­рич. ха­рак­те­ри­сти­ки ска­ляр­но­го по­ля ис­поль­зу­ют­ся по­ня­тия ли­ний и по­верх­но­стей уров­ня. Ли­ни­ей уров­ня плос­ко­го ска­ляр­но­го по­ля на­зы­ва­ет­ся ли­ния, на ко­то­рой функ­ция, за­даю­щая по­ле, име­ет по­сто­ян­ное зна­че­ние. Ана­ло­гич­но оп­ре­де­ля­ет­ся по­верх­ность уров­ня про­стран­ст­вен­но­го ска­ляр­но­го по­ля. При­ме­ра­ми ли­ний уров­ня мо­гут слу­жить изо­тер­мы – ли­нии уров­ня ска­ляр­но­го по­ля тем­пе­ра­тур не­рав­но­мер­но на­гре­той пла­сти­ны.

Пусть $M$ – про­из­воль­ная точ­ка на ли­нии (по­верх­но­сти) уров­ня ска­ляр­но­го по­ля. При дви­же­нии точ­ки $M$ по ли­нии (по­верх­но­сти) уров­ня функ­ция $f$, за­даю­щая по­ле, не ме­ня­ет­ся, а макс. из­ме­не­ние функ­ции $f$ про­ис­хо­дит при сме­ще­нии по нор­ма­ли к этой ли­нии (по­верх­но­сти) в точ­ке $M$. Это из­ме­не­ние ха­рак­те­ри­зу­ет­ся с по­мо­щью т. н. гра­ди­ен­та ска­ляр­но­го по­ля. Гра­ди­ент пред­став­ля­ет со­бой век­тор, на­прав­лен­ный по нор­ма­ли к ли­нии (по­верх­но­сти) уров­ня в точ­ке $M$ в сто­ро­ну воз­рас­та­ния $f$ в этой точ­ке. Ве­ли­чи­на гра­ди­ен­та рав­на про­из­вод­ной функ­ции $f$ в ука­зан­ном на­прав­ле­нии. Гра­ди­ент обо­зна­ча­ет­ся сим­во­лом $grad \:f$. В ба­зи­се $i, j, k$ гра­ди­ент $grad \:f$ име­ет ко­ор­ди­на­ты $(\partial f/{\partial x}, \partial f/{\partial y}, \partial f/{\partial z})$ (для плос­ко­го по­ля $(\partial f/{\partial x}, \partial f/{\partial y})$). Гра­ди­ент ска­ляр­но­го по­ля пред­став­ля­ет со­бой век­тор­ное по­ле.

Для век­тор­ных по­лей вво­дят­ся по­ня­тия век­тор­ной ли­нии, век­тор­ной труб­ки, цир­ку­ля­ции, ди­вер­ген­ции и вих­ря (ро­то­ра). Пусть в не­ко­то­рой об­лас­ти $\Omega$ за­да­но век­тор­ное по­ле с по­мо­щью век­тор­ной функ­ции $a= a(M)$ пе­ре­мен­ной точ­ки $M$ из $\Omega$. Ли­ния $L$ в об­лас­ти $\Omega$ на­зы­ва­ет­ся век­тор­ной ли­ни­ей, ес­ли век­тор ка­са­тель­ной в ка­ж­дой её точ­ке $M$ на­прав­лен по век­то­ру $a(M)$ (рис. 7). Ес­ли по­ле $a$ – по­ле ско­ро­стей час­тиц ста­цио­нар­но­го по­то­ка жид­ко­сти, то век­тор­ные ли­нии это­го по­ля – тра­ек­то­рии час­тиц жид­ко­сти. Часть про­стран­ст­ва в $\Omega$, со­стоя­щая из век­тор­ных ли­ний, на­зы­ва­ет­ся век­тор­ной труб­кой (рис. 8). В слу­чае век­тор­но­го по­ля ско­ро­стей час­тиц ста­цио­нар­но­го по­то­ка жид­ко­сти век­тор­ная труб­ка есть часть про­стран­ст­ва, ко­то­рую «за­ме­та­ет» при сво­ём пе­ре­ме­ще­нии не­ко­то­рый объ­ём жид­ко­сти.

Пусть $AB$ – не­ко­то­рая глад­кая ли­ния в $\Omega, l$ – дли­на ду­ги, от­счи­ты­вае­мая от точ­ки $A$ до пе­ре­мен­ной точ­ки $M$ этой ли­нии, $t$ – еди­нич­ный век­тор ка­са­тель­ной к $AB$ в $M$. Цир­ку­ля­ци­ей по­ля $a$ вдоль кри­вой $AB$ на­зы­ва­ет­ся ве­ли­чи­на

$$\int _{AB} (a, t) dl.$$

Ес­ли $a$ – си­ло­вое по­ле, то цир­ку­ля­ция $a$ вдоль $AB$ пред­став­ля­ет со­бой ра­бо­ту это­го по­ля вдоль пу­ти $AB$.

Ди­вер­ген­ци­ей век­тор­но­го по­ля $a$, имею­ще­го в ба­зи­се $i, j, k$ ко­ор­ди­на­ты $P, Q, R$, на­зы­ва­ет­ся сум­ма

$$\partial P/{\partial x} + \partial Q/{\partial y} + \partial R/{\partial z},$$

ко­то­рая обо­зна­ча­ет­ся $\mathrm{div}\:a$. Напр., ди­вер­ген­ция гра­ви­та­ци­он­но­го по­ля, соз­да­вае­мо­го не­ко­то­рым рас­пре­де­ле­ни­ем масс, рав­на объ­ём­ной плот­но­сти $\rho (x, y, z)$ это­го по­ля, ум­но­жен­ной на $4\pi$.

Вихрь (ро­тор) век­тор­но­го по­ля $a$ пред­став­ля­ет со­бой век­тор­ную ха­рак­тери­сти­ку вра­ща­тель­ной со­став­ляю­щей это­го по­ля, вихрь по­ля $a$, обо­зна­чае­мый $\mathrm{rot} \:a$, ра­вен

$$\left ( \frac {\partial R}{\partial y} - \frac {\partial Q}{\partial z}, \frac {\partial P}{\partial z} - \frac {\partial R}{\partial x}, \frac {\partial Q}{\partial x} - \frac {\partial P}{\partial y}  \right).$$

На­хо­ж­де­ние гра­ди­ен­та ска­ляр­но­го по­ля, ди­вер­ген­ции и вих­ря век­тор­но­го по­ля обыч­но на­зы­ва­ют осн. диф­фе­рен­ци­аль­ны­ми опе­ра­ция­ми век­тор­но­го ана­ли­за. Спра­вед­ли­вы сле­дую­щие фор­му­лы, свя­зы­ваю­щие эти опе­ра­ции:

$$\mathrm {grad} (fh) = f\: \mathrm {grad}\:h + h\:\mathrm {grad}\: f,$$ $$\mathrm {div} (fa) = (a, \mathrm {grad}\: f) + f\: \mathrm {div}\: a,$$ $$\mathrm {rot} (fa) = f\: \mathrm {rot}\: a + [\mathrm {grad}\: f, a],$$ $$\mathrm {div} [a, b] = (b, \mathrm {rot}\: a) - (a, \mathrm {rot}\: b),$$

где $f$ и $h$ – ска­ляр­ные, а $a$ и $b$ – век­тор­ные по­ля. Век­тор­ное по­ле $a$ на­зы­ва­ет­ся по­тен­ци­аль­ным по­лем, ес­ли это по­ле пред­став­ля­ет со­бой гра­ди­ент не­ко­то­ро­го ска­ляр­но­го по­ля $f$. При этом по­ле $f$ на­зы­ва­ет­ся по­тен­циа­лом век­тор­но­го по­ля $a$. Для то­го что­бы по­ле $a$, ко­ор­ди­на­ты ко­то­ро­го $P, Q, R$ име­ют не­пре­рыв­ные ча­ст­ные про­из­вод­ные, бы­ло по­тен­ци­аль­ным, не­об­хо­ди­мо и дос­та­точ­но, что­бы в ка­ж­дой точ­ке об­лас­ти $\Omega$ вихрь это­го по­ля был ра­вен ну­лю. Ес­ли в од­но­связ­ной об­лас­ти $\Omega$ за­да­но по­тен­ци­аль­ное по­ле $a$, то по­тен­ци­ал $f$ это­го по­ля мо­жет быть най­ден по фор­му­ле

$$f(M) = \int_{AM} (a, t) dl,$$

в ко­то­рой $AM$ – лю­бая глад­кая кри­вая, со­еди­няю­щая фик­си­ро­ван­ную точ­ку $A$ из $\Omega$ с точ­кой $M, t$ – еди­нич­ный век­тор ка­са­тель­ной к кри­вой $AM$ и $l$ – дли­на ду­ги $AM$, от­счи­ты­вае­мая от точ­ки $A$.

Век­тор­ное по­ле $a$ на­зы­ва­ет­ся со­ле­нои­даль­ным, или труб­ча­тым, ес­ли это по­ле пред­став­ля­ет со­бой вихрь не­ко­то­ро­го по­ля $b$. При этом по­ле $b$ на­зы­ва­ет­ся век­тор­ным по­тен­циа­лом по­ля $a$. Для то­го что­бы по­ле $a$ бы­ло со­ле­нои­даль­ным, не­об­хо­ди­мо и дос­та­точ­но, что­бы в ка­ж­дой точ­ке об­лас­ти $\Omega$ ди­вер­ген­ция это­го по­ля бы­ла рав­на ну­лю. Век­тор­ное по­ле $a$, для ко­то­ро­го $\mathrm {div} \:a = 0, \mathrm {rot} \: a = 0$, на­зы­ва­ет­ся гар­мо­ни­че­ским.

В век­тор­ном ана­ли­зе важ­ную роль иг­ра­ют ин­те­граль­ные со­от­но­ше­ния: Ост­ро­град­ско­го фор­му­ла

, име­нуе­мая так­же ос­нов­ной фор­му­лой век­тор­но­го ана­ли­за, и Сто­кса фор­му­ла

 >>

.