ОСТРОГРА́ДСКОГО ФО́РМУЛА

ОСТРОГРА́ДСКОГО ФО́РМУЛА, фор­му­ла пре­об­ра­зо­ва­ния ин­те­гра­ла, взя­то­го по объ­ё­му $\Omega$, ог­ра­ни­чен­но­му по­верх­но­стью $\Sigma$, в ин­те­грал, взя­тый по этой по­верх­но­сти: $$\iiint_\Omega \left(\frac{\partial X}{\partial x}+\frac{\partial Y}{\partial y}+\frac{\partial Z}{\partial z}\right)dxdydz=\iint_\Sigma Xdydz+Ydxdz+Zdxdy;$$здесь $X$, $Y$, $Z$ – функ­ции точ­ки $(x,y,z)$, при­над­ле­жа­щей 3-мер­ной об­лас­ти $\Omega$. О. ф. по­лу­че­на М. В. Ост­ро­град­ским (1828, опубл. в 1831). В век­тор­ной фор­ме О. ф. име­ет вид $$\iiint_\Omega\text{div}p dv=\iint_\Sigma(p,n)d\sigma,$$где $p$ – век­тор по­ля, за­дан­но­го в об­лас­ти $\Omega$, $dv$ – эле­мент объ­ё­ма, $n$ – еди­нич­ный век­тор внеш­ней нор­ма­ли к по­верх­но­сти $\Sigma$, $d\sigma$ – эле­мент этой по­верх­но­сти. В гид­ро­ди­на­мич. ис­тол­ко­ва­нии О. ф. ус­та­нав­ли­ва­ет рав­но­силь­ность двух спо­со­бов учё­та ко­ли­че­ст­ва жид­ко­сти, ко­то­рое вы­те­ка­ет из обо­лоч­ки $\Sigma$ в еди­ни­цу вре­ме­ни: ис­хо­дя из ин­тен­сив­но­сти то­чеч­ных ис­точ­ни­ков, за­пол­няю­щих об­ласть $\Omega$ (ле­вая часть ра­вен­ст­ва); ис­хо­дя из ско­ро­стей час­тиц жид­ко­сти в мо­мент их про­хо­ж­де­ния че­рез обо­лоч­ку $\Sigma$ (пра­вая часть ра­вен­ст­ва). Са­мим Ост­ро­град­ским фор­му­ла бы­ла обоб­ще­на (1834, опубл. в 1838) для ин­те­гра­ла по $n$-мер­ной об­лас­ти. Ес­ли $f(x_1,\dots,x_n)=0$ есть урав­не­ние (ги­пер-)по­верх­но­сти $\Sigma$, ог­ра­ни­чи­ваю­щей об­ласть $\Omega$, то $$\int_\Omega \left(\frac{\partial X_1}{\partial x_1}+\dots+\frac{\partial X_n}{\partial x_n}\right)dx_1\dots dx_n=\int_\Sigma\frac{X_1\frac{\partial f}{\partial x_1}+\dots +X_n\frac{\partial f}{\partial x_n}}{\sqrt{\left(\frac{\partial f}{\partial x_1}\right)^2+\dots+\left(\frac{\partial f}{\partial x_n}\right)^2}}ds,$$ где в пра­вой час­ти ин­те­грал взят по по­верх­но­сти $\Sigma$ с эле­мен­том пло­ща­ди $ds$.