ПО́ЛЕ

ПО́ЛЕ в ма­те­ма­ти­ке, ал­геб­раич. по­ня­тие, ши­ро­ко ис­поль­зуе­мое во мно­гих раз­де­лах ма­те­ма­ти­ки. П. со­став­ля­ют осо­бый класс ко­лец (см. Ко­лец тео­рия).

П. мо­жет быть оп­ре­де­ле­но как мно­же­ст­во, со­дер­жа­щее не ме­нее двух эле­мен­тов, на ко­то­ром за­да­ны две би­нар­ные ал­геб­ра­ич. опе­ра­ции – сло­же­ние и ум­но­же­ние, обе ас­со­циа­тив­ные и ком­му­та­тив­ные, свя­зан­ные ме­ж­ду со­бою за­ко­ном ди­ст­ри­бу­тив­но­сти, т. е. для лю­бых $a, b, c$ из П. спра­вед­ли­вы ра­вен­ст­ва $$a+b=b+a, ab=ba,\\(a+b)+c=a+(b+c), (ab)c=a(bc),\\(a+b)c=ac+bc.$$ Кро­ме то­го, в П. тре­бу­ет­ся су­ще­ст­во­ва­ние ну­ле­во­го эле­мен­та 0 (ну­ля), для ко­то­ро­го $0+a=a$, и для ка­ж­до­го эле­мен­та $a$ про­ти­во­по­лож­но­го эле­мен­та $–a$, т. е. та­ко­го эле­мен­та, что $a+(–a)=0$, а так­же су­ще­ст­во­ва­ние еди­нич­но­го эле­мен­та $e$ (еди­ни­цы), для ко­то­ро­го $ae=a$, и для ка­ж­до­го не­ну­ле­во­го эле­мен­та $a$ су­ще­ст­во­ва­ние об­рат­но­го эле­мен­та $a^{–1}$, т. е. та­ко­го эле­мен­та, что $aa^{–1}=e$. От­сю­да сле­ду­ет, что в П. вы­пол­ни­ма опе­ра­ция вы­чи­та­ния, а так­же опе­ра­ция де­ле­ния на не­нуле­вой эле­мент. Т. о., все эле­мен­ты П. об­ра­зу­ют ком­му­та­тив­ную груп­пу по сло­же­нию (ад­ди­тив­ная груп­па П.), а все не­ну­ле­вые эле­мен­ты – ком­му­та­тив­ную груп­пу по ум­но­же­нию (муль­ти­п­ли­ка­тив­ная груп­па П.).

При­ме­ра­ми П. (от­но­си­тель­но ес­те­ст­вен­ных опе­ра­ций сло­же­ния и ум­но­же­ния) яв­ля­ют­ся: 1. Мно­же­ст­во всех ра­цио­наль­ных чи­сел $\mathbf Q$. 2. Мно­же­ст­во всех дей­ст­ви­тель­ных чи­сел $\mathbf R$. 3. Мно­же­ст­во всех ком­плекс­ных чи­сел $\mathbf C$. 4. Мно­же­ст­во всех ра­цио­наль­ных функ­ций от од­но­го или не­сколь­ких пе­ре­мен­ных с дей­ст­ви­тель­ны­ми ко­эф­фи­ци­ен­та­ми (а так­же с ко­эф­фи­ци­ен­та­ми из про­из­воль­но­го П.). 5. Мно­же­ст­во всех чи­сел ви­да $a+b\sqrt{2}$, где $a, b$ – ра­цио­наль­ные чис­ла. 6. Пусть $p$ – про­стое чис­ло. Мно­же­ст­во це­лых чи­сел мож­но раз­бить на клас­сы, объ­еди­нив в один класс все чис­ла, даю­щие при де­ле­нии на $p$ один и тот же ос­та­ток. В двух клас­сах мож­но взять по пред­ста­ви­те­лю и сло­жить их; тот класс, в ко­то­рый по­па­дёт эта сум­ма, на­зы­ва­ют сум­мой клас­сов. Ана­ло­гич­но оп­ре­де­ля­ет­ся про­из­ве­де­ние. При та­ком оп­ре­де­ле­нии сло­же­ния и ум­но­же­ния все клас­сы об­ра­зу­ют П., оно со­сто­ит из $p$ эле­мен­тов и на­зы­ва­ет­ся П. вы­че­тов по мо­ду­лю $p$.

Мо­жет ока­зать­ся, что в П. рав­но ну­лю це­лое крат­ное $na$ ка­ко­го-ли­бо от­лич­но­го от ну­ля эле­мен­та $a$. В этом слу­чае су­ще­ст­ву­ет та­кое про­стое чис­ло $p$, что $p$-крат­ное лю­бо­го эле­мен­та это­го П. рав­но ну­лю. Го­во­рят, что в этом слу­чае ха­рак­те­ри­сти­ка П. рав­на $p$ (та­ко­во П. из при­ме­ра 6). Ес­ли же $na≠0$ ни для ка­ких не­ну­ле­вых $n$ и $a$, то ха­рак­те­ри­сти­ка П. счи­та­ет­ся рав­ной ну­лю (та­ко­вы П. при­ме­ров 1–5).

Ес­ли часть $F$ эле­мен­тов П. $G$ са­ма об­ра­зу­ет П. от­но­си­тель­но тех же опе­ра­ций сло­же­ния и ум­но­же­ния, то $F$ на­зы­ва­ет­ся под­по­лем П. $G$, а $G$ над­по­лем или рас­ши­ре­ни­ем по­ля $F$. П., не имею­щее под­по­лей, на­зы­ва­ет­ся про­стым. Все про­стые по­ля ис­чер­пы­ва­ют­ся П. при­ме­ров 1 и 6 (при все­воз­мож­ных вы­бо­рах про­сто­го чис­ла $p$). Вся­кое П. со­дер­жит един­ст­вен­ное про­стое под­по­ле (П. при­ме­ров 2–5 со­дер­жат П. ра­цио­наль­ных чи­сел). Од­на из за­дач тео­рии П. со­сто­ит в том, что­бы, от­прав­ля­ясь от про­сто­го П., по­лу­чить опи­са­ние всех П., изу­чив струк­ту­ру рас­ши­ре­ний.

Не­ко­то­рые рас­ши­ре­ния име­ют срав­ни­тель­но про­стое строе­ние. Это – а) про­стые транс­цен­дент­ные рас­ши­ре­ния, ко­то­рые сво­дят­ся к то­му, что в ка­че­ст­ве П. $G$ бе­рёт­ся П. всех ра­цио­наль­ных функ­ций от од­но­го пе­ре­мен­но­го с ко­эф­фи­ци­ен­та­ми из $F$, и б) про­стые ал­геб­ра­ич. рас­ши­ре­ния (при­мер 5), ко­то­рые по­лу­ча­ют­ся, ес­ли со­во­куп­ность $G$ всех мно­го­чле­нов сте­пе­ни $n$ скла­ды­вать и ум­но­жать по мо­ду­лю дан­но­го не­при­во­ди­мо­го над $F$ мно­го­чле­на $f(x)$ сте­пе­ни $n$ (кон­ст­рук­ция, ана­ло­гич­ная при­ме­ру 6). Рас­ши­ре­ния вто­ро­го ти­па сво­дят­ся к то­му, что к $F$ до­бав­ля­ет­ся ко­рень мно­го­чле­на $f(x)$ и все эле­мен­ты, ко­то­рые мож­но вы­ра­зить че­рез этот ко­рень и эле­мен­ты $F$; ка­ж­дый эле­мент над­по­ля $G$ яв­ля­ет­ся кор­нем не­ко­то­ро­го мно­го­чле­на с ко­эф­фи­ци­ен­та­ми из $F$. Рас­ши­ре­ния, об­ла­даю­щие по­след­ним свой­ст­вом, на­зы­ва­ют­ся ал­геб­раи­че­ски­ми. Лю­бое рас­ши­ре­ние мож­но вы­пол­нить в два приё­ма: сна­ча­ла сде­лать транс­цен­дент­ное рас­ши­ре­ние (об­ра­зо­вав П. ра­цио­наль­ных функ­ций, не обя­за­тель­но от од­ной пе­ре­мен­ной), а за­тем ал­геб­раи­че­ское (тео­ре­ма Штей­ни­ца). Ал­геб­ра­ич. рас­ши­ре­ний не име­ют толь­ко та­кие П., в ко­то­рых ка­ж­дый мно­го­член раз­ла­га­ет­ся на ли­ней­ные мно­жи­те­ли. Та­кие П. на­зы­ва­ют­ся ал­геб­раи­че­ски замк­ну­ты­ми. П. ком­плекс­ных чи­сел яв­ля­ет­ся ал­геб­раи­че­ски замк­ну­тым (ос­нов­ная тео­ре­ма ал­геб­ры). Лю­бое П. мож­но вклю­чить в ка­че­ст­ве под­по­ля в ал­геб­раи­че­ски замк­ну­тое.

Не­ко­то­рые спе­ци­аль­ные по­ля бы­ли де­таль­но изу­че­ны. В тео­рии ал­геб­ра­ич. чи­сел рас­смат­ри­ва­ют­ся гл. обр. про­стые ал­геб­ра­ич. рас­ши­ре­ния П. ра­цио­наль­ных чи­сел. В тео­рии ал­геб­ра­ич. функ­ций ис­сле­ду­ют­ся про­стые ал­геб­ра­ич. рас­ши­ре­ния П. ра­цио­наль­ных функ­ций с ком­плекс­ны­ми ко­эф­фи­ци­ен­та­ми; зна­чит. вни­ма­ние уде­ля­ет­ся ко­неч­ным рас­ши­ре­ни­ям П. ра­цио­наль­ных функ­ций над про­из­воль­ным П. кон­стант (т. е. с про­из­воль­ны­ми ко­эф­фи­ци­ен­та­ми). Ко­неч­ные рас­ши­ре­ния П., в осо­бен­но­сти их ав­то­мор­физ­мы (см. Изо­мор­физм), изу­ча­ют­ся в Га­луа тео­рии; здесь на­хо­дят от­ве­ты на мно­гие во­про­сы, воз­ни­каю­щие при ре­ше­нии ал­геб­ра­ич. урав­не­ний. Во мно­гих во­про­сах ал­геб­ры, осо­бен­но в разл. раз­де­лах тео­рии П., боль­шую роль иг­ра­ют т. н. нор­ми­ро­ван­ные по­ля. В свя­зи с гео­мет­рич. ис­сле­до­ва­ния­ми поя­ви­лись и изу­ча­лись упо­ря­до­чен­ные по­ля.