ГАЛУА́ ТЕО́РИЯ
-
Рубрика: Математика
-
-
Скопировать библиографическую ссылку:
ГАЛУА́ ТЕО́РИЯ, созданная Э. Галуа теория алгебраич. уравнений высших степеней с одним неизвестным, т. е. уравнений вида$$f(x)=x^n+a_{n–1}x^{n–1}+…+a^1x+a_0=0, \tag 1$$основанная на изучении групп перестановок их корней.
Уравнения 2-й, 3-й и 4-й степеней разрешимы в радикалах. Формула $x=-p/2\pm \sqrt {p^2/4-q}$ для решения уравнения $x^2+px+q=0$ была известна в глубокой древности. Методы решения уравнений 3-й и 4-й степеней были найдены в 16 в. Для уравнения 3-й степени вида $x^3+px+q=0$, к которому можно привести всякое уравнение 3-й степени, решение даётся т. н. формулой Кардано$$x=\sqrt[3] {-q/2+\sqrt {q^2/4+p^3/27}+}\sqrt [3]{-q/2-\sqrt {q^2/4+p^3/27}}.$$Метод решения в радикалах уравнений 4-й степени был предложен Л. Феррари, оба результата были опубликованы Дж. Кардано в 1545.
В 16–18 вв. предпринимались попытки найти аналогичные формулы для уравнений 5-й и более высоких степеней. Над этим работали Э. Безу и Ж. Лагранж. В 1801 К. Гаусс создал полную теорию решения в радикалах двучленного уравнения вида $x^n=1$, называемого уравнением деления круга; он указал условия для того, чтобы уравнение $x^n=1$ решалось в квадратных радикалах. Последняя задача заключалась в отыскании правильных $n$-угольников, которые можно построить при помощи циркуля и линейки. Такими оказываются $n$-угольники при $n=2^m $и $n=2^mp_1...p_k$, где $m=0, 1, 2, ...,$ a $p_1, ..., p_k, k=1, 2, …,$ – разл. гауссовы простые числа, т. е. простые числа вида $+1, s=0, 1, 2,$ ... (см. Многоугольник). В 1824 Н. Абель доказал, что общее уравнение 5-й степени (и тем более общие уравнения более высоких степеней) не решается в радикалах. С др. стороны, Абель дал решение в радикалах для одного класса уравнений, содержащего уравнения произвольно высоких степеней, – т. н. абелевых уравнений.
Таким образом, когда Галуа начал свои исследования, в теории алгебраич. уравнений были получены важные результаты, но общей теории, охватывающей все возможные уравнения высоких степеней, ещё не было создано. Нужно было установить необходимые и достаточные условия, которым должно удовлетворять уравнение (1) для того, чтобы оно решалось в радикалах; выяснить, каковы необходимые и достаточные условия для того, чтобы уравнение (1) сводилось к цепи квадратных уравнений, т. е. чтобы корни уравнения (1) можно было построить геометрически с помощью циркуля и линейки. Все эти вопросы Галуа решил в «Мемуаре об условиях разрешимости уравнений в радикалах», найденном в его бумагах после смерти и впервые опубликованном Ж. Лиувиллем в 1846. Условия разрешимости уравнения (1) в радикалах сформулированы Галуа в терминах групп теории.
Чтобы сформулировать осн. результаты Г. т., рассмотрим некоторое поле $k$, содержащее все коэффициенты многочлена $f(x)$. Любое поле$ K$, содержащее $k$, называется расширением $k$ (обозначение $K/k$). Его степенью называется размерность $K$ как линейного векторного пространства над $k$. Если эта размерность конечна, то расширение называется конечным. Поле $K=k (α_1, …, α_n)$, где $α_1, …, α_n$ – все корни уравнения (1), т. е. минимальное расширение $k$, в котором $f(x)$ разлагается в произведение линейных множителей, $f(x)=(x-α_1)…(x-α_n)$, называется полем разложения многочлена $f(x)$ и является конечным расширением $k.$ Если $K$ – поле разложения сепарабельного многочлена, т. е. многочлена, неприводимые множители которого не имеют кратных корней, то $K/k$ называется расширением Галуа. Такому расширению сопоставляется группа Галуа $G(K/k)$, называемая также группой Галуа многочлена $f,$ состоящая из всех автоморфизмов, т. е. изоморфизмов поля $K$ на себя, оставляющих неподвижными все элементы $k$. Порядок этой группы равен степени расширения $K/k$. Любой её элемент определяет некоторую подстановку корней $α_1, …, α_n$ многочлена $f,$ поэтому $G(K/k)$ можно рассматривать как подгруппу симметрич. группы $S_n$ перестановок $n $элементов. Осн. теорема Г. т. утверждает, что существует взаимно однозначное соответствие (соответствие Галуа) между всеми промежуточными подполями расширения $K/k$ и всеми подгруппами группы $G(K/k)$. Г. т. даёт необходимые и достаточные условия разрешимости уравнения (1) в радикалах, т. е. оно разрешимо в радикалах тогда и только тогда, когда его группа Галуа разрешима. В частности, теорема Абеля связана с тем, что общее уравнение (1) имеет в качестве группы Галуа симметрич. группу $S_n$ которая неразрешима при $n⩾ 5$. Другое приложение Г. т. – это полное решение идущей из античности задачи о построении циркулем и линейкой.
В Г. т. большое значение имеет обратная задача, состоящая в построении расширения Галуа $K/k$ с заданной группой Галуа $G.$ Существует гипотеза о том, что для поля алгебраич. чисел $k $ обратная задача разрешима для любой конечной группы $G$; доказано это только для симметрических, знакопеременных и некоторых типов простых групп. И. Р. Шафаревич доказал (1954), что над любым полем алгебраич. чисел существует бесконечно много расширений с заданной разрешимой группой Галуа. Понятия и методы Г. т. широко используются в алгебраич. теории чисел и алгебраич. геометрии. Для некоторых типов полей $k$, включающих поля алгебраич. чисел, существует теория (теория полей классов), дающая обзор всех абелевых расширений поля $k$ (расширений с абелевой группой Галуа).