Подпишитесь на наши новости
Вернуться к началу с статьи up
 

ГАЛУА́ ТЕО́РИЯ

  • рубрика

    Рубрика: Математика

  • родственные статьи
  • image description

    В книжной версии

    Том 6. Москва, 2006, стр. 336-337

  • image description

    Скопировать библиографическую ссылку:




Авторы: Л. В. Кузьмин

ГАЛУА́ ТЕО́РИЯ, соз­дан­ная Э. Га­луа тео­рия ал­геб­ра­ич. урав­не­ний выс­ших сте­пе­ней с од­ним не­из­вест­ным, т. е. урав­не­ний ви­да$$f(x)=x^n+a_{n–1}x^{n–1}+…+a^1x+a_0=0, \tag 1$$ос­но­ван­ная на изу­че­нии групп пе­ре­ста­но­вок их кор­ней.

Урав­не­ния 2-й, 3-й и 4-й сте­пе­ней раз­ре­ши­мы в ра­ди­ка­лах. Фор­му­ла $x=-p/2\pm \sqrt {p^2/4-q}$ для ре­ше­ния урав­не­ния $x^2+px+q=0$ бы­ла из­вест­на в глу­бо­кой древ­но­сти. Ме­то­ды ре­ше­ния урав­не­ний 3-й и 4-й сте­пе­ней бы­ли най­де­ны в 16 в. Для урав­не­ния 3-й сте­пе­ни ви­да $x^3+px+q=0$, к ко­то­ро­му мож­но при­вес­ти вся­кое урав­не­ние 3-й сте­пе­ни, ре­ше­ние да­ёт­ся т. н. фор­му­лой Кар­да­но$$x=\sqrt[3] {-q/2+\sqrt {q^2/4+p^3/27}+}\sqrt [3]{-q/2-\sqrt {q^2/4+p^3/27}}.$$Ме­тод ре­ше­ния в ра­ди­ка­лах урав­не­ний 4-й сте­пе­ни был пред­ло­жен Л. Фер­ра­ри, оба ре­зуль­та­та бы­ли опуб­ли­ко­ва­ны Дж. Кар­да­но в 1545.

В 16–18 вв. пред­при­ни­ма­лись по­пыт­ки най­ти ана­ло­гич­ные фор­му­лы для урав­не­ний 5-й и бо­лее вы­со­ких сте­пе­ней. Над этим ра­бо­та­ли Э. Безу и Ж. Ла­гранж. В 1801 К. Га­усс соз­дал пол­ную тео­рию ре­ше­ния в ра­ди­ка­лах дву­член­но­го урав­не­ния ви­да $x^n=1$, на­зы­вае­мо­го урав­не­ни­ем де­ле­ния кру­га; он ука­зал ус­ло­вия для то­го, что­бы урав­не­ние $x^n=1$ ре­ша­лось в квад­рат­ных ра­ди­ка­лах. По­след­няя за­да­ча за­клю­ча­лась в оты­ска­нии пра­виль­ных $n$-уголь­ни­ков, ко­то­рые мож­но по­стро­ить при по­мо­щи цир­ку­ля и ли­ней­ки. Та­ки­ми ока­зы­ва­ют­ся $n$-уголь­ни­ки при $n=2^m $и $n=2^mp_1...p_k$, где $m=0, 1, 2, ...,$ a $p_1, ..., p_k, k=1, 2, …,$ – разл. га­ус­со­вы про­стые чис­ла, т. е. про­стые чис­ла ви­да $+1, s=0, 1, 2,$ ... (см. Мно­го­уголь­ник). В 1824 Н. Абель до­ка­зал, что об­щее урав­не­ние 5-й сте­пе­ни (и тем бо­лее об­щие урав­не­ния бо­лее вы­со­ких сте­пе­ней) не ре­ша­ет­ся в ра­ди­ка­лах. С др. сто­ро­ны, Абель дал ре­ше­ние в ра­ди­ка­лах для од­но­го клас­са урав­не­ний, со­дер­жа­ще­го урав­не­ния про­из­воль­но вы­со­ких сте­пе­ней, – т. н. абе­ле­вых урав­не­ний.

Та­ким об­ра­зом, ко­гда Га­луа на­чал свои ис­сле­до­ва­ния, в тео­рии ал­геб­ра­ич. урав­не­ний бы­ли по­лу­че­ны важ­ные ре­зуль­та­ты, но об­щей тео­рии, ох­ва­ты­ваю­щей все воз­мож­ные урав­не­ния вы­со­ких сте­пе­ней, ещё не бы­ло соз­да­но. Нуж­но бы­ло ус­та­но­вить не­об­хо­ди­мые и дос­та­точные ус­ло­вия, ко­то­рым долж­но удов­ле­тво­рять урав­не­ние (1) для то­го, что­бы оно ре­ша­лось в ра­ди­ка­лах; вы­яс­нить, ка­ко­вы не­об­хо­ди­мые и дос­та­точ­ные ус­ло­вия для то­го, что­бы урав­не­ние (1) сво­ди­лось к це­пи квад­рат­ных урав­не­ний, т. е. что­бы кор­ни урав­не­ния (1) мож­но бы­ло по­стро­ить гео­мет­ри­че­ски с по­мо­щью цир­ку­ля и ли­ней­ки. Все эти во­про­сы Га­луа ре­шил в «Ме­муа­ре об ус­ло­ви­ях раз­ре­ши­мо­сти урав­не­ний в ра­ди­ка­лах», най­ден­ном в его бу­ма­гах по­сле смер­ти и впер­вые опуб­ли­ко­ван­ном Ж. Лиу­вил­лем в 1846. Ус­ло­вия раз­ре­ши­мо­сти урав­не­ния (1) в ра­ди­ка­лах сфор­му­ли­ро­ва­ны Га­луа в тер­ми­нах групп тео­рии.

Что­бы сфор­му­ли­ро­вать осн. ре­зуль­та­ты Г. т., рас­смот­рим не­ко­то­рое по­ле $k$, со­дер­жа­щее все ко­эф­фи­ци­ен­ты мно­го­чле­на $f(x)$. Лю­бое по­ле$ K$, со­дер­жа­щее $k$, на­зы­ва­ет­ся рас­ши­ре­ни­ем $k$ (обо­зна­че­ние $K/k$). Его сте­пе­нью на­зы­ва­ет­ся раз­мер­ность $K$ как ли­ней­но­го век­тор­но­го про­стран­ст­ва над $k$. Ес­ли эта раз­мер­ность ко­неч­на, то рас­ши­ре­ние на­зы­ва­ет­ся ко­неч­ным. По­ле $K=k (α_1, …, α_n)$, где $α_1, …, α_n$ – все кор­ни урав­не­ния (1), т. е. ми­ни­маль­ное рас­ши­ре­ние $k$, в ко­то­ром $f(x)$ раз­ла­га­ет­ся в про­из­ве­де­ние ли­ней­ных мно­жи­те­лей, $f(x)=(x-α_1)…(x-α_n)$, на­зы­ва­ет­ся по­лем раз­ло­же­ния мно­го­чле­на $f(x)$ и яв­ля­ет­ся ко­неч­ным рас­ши­ре­ни­ем $k.$ Ес­ли $K$ – по­ле раз­ло­же­ния се­па­ра­бель­но­го мно­го­чле­на, т. е. мно­го­чле­на, не­при­во­ди­мые мно­жи­те­ли ко­то­ро­го не име­ют крат­ных кор­ней, то $K/k$ на­зы­ва­ет­ся рас­ши­ре­ни­ем Га­луа. Та­ко­му рас­ши­ре­нию со­по­став­ля­ет­ся груп­па Га­луа $G(K/k)$, на­зы­вае­мая так­же груп­пой Га­луа мно­го­чле­на $f,$ со­стоя­щая из всех ав­то­мор­физ­мов, т. е. изо­мор­физ­мов по­ля $K$ на се­бя, ос­тав­ляю­щих не­под­виж­ны­ми все эле­мен­ты $k$. По­ря­док этой груп­пы ра­вен сте­пе­ни рас­ши­ре­ния $K/k$. Лю­бой её эле­мент оп­ре­де­ля­ет не­ко­то­рую под­ста­нов­ку кор­ней $α_1, …, α_n$ мно­го­чле­на $f,$ по­это­му $G(K/k)$ мож­но рас­смат­ри­вать как под­груп­пу сим­мет­рич. груп­пы $S_n$ пе­ре­ста­но­вок $n $эле­мен­тов. Осн. тео­ре­ма Г. т. ут­вер­жда­ет, что су­ще­ст­ву­ет вза­им­но од­но­знач­ное со­от­вет­ст­вие (со­от­вет­ст­вие Га­луа) ме­ж­ду все­ми про­ме­жу­точ­ны­ми под­по­ля­ми рас­ши­ре­ния $K/k$ и все­ми под­груп­па­ми груп­пы $G(K/k)$. Г. т. да­ёт не­об­хо­ди­мые и дос­та­точ­ные ус­ло­вия раз­ре­ши­мо­сти урав­не­ния (1) в ра­ди­ка­лах, т. е. оно раз­ре­ши­мо в ра­ди­ка­лах то­гда и толь­ко то­гда, ко­гда его груп­па Га­луа раз­ре­ши­ма. В ча­ст­но­сти, тео­ре­ма Абе­ля свя­за­на с тем, что об­щее урав­не­ние (1) име­ет в ка­че­ст­ве груп­пы Га­луа сим­мет­рич. груп­пу $S_n$ ко­то­рая не­раз­ре­ши­ма при $n⩾ 5$. Дру­гое при­ло­же­ние Г. т. – это пол­ное ре­ше­ние иду­щей из ан­тич­но­сти за­да­чи о по­строе­нии цир­ку­лем и ли­ней­кой.

В Г. т. боль­шое зна­че­ние име­ет об­рат­ная за­да­ча, со­стоя­щая в по­строе­нии рас­ши­ре­ния Га­луа $K/k$ с за­дан­ной груп­пой Га­луа $G.$ Су­ще­ст­ву­ет ги­по­те­за о том, что для по­ля ал­геб­ра­ич. чи­сел $k $ обрат­ная за­да­ча раз­ре­ши­ма для лю­бой ко­неч­ной груп­пы $G$; до­ка­за­но это толь­ко для сим­мет­ри­че­ских, зна­ко­пе­ре­мен­ных и не­ко­то­рых ти­пов про­стых групп. И. Р. Ша­фа­ре­вич до­ка­зал (1954), что над лю­бым по­лем ал­геб­ра­ич. чи­сел су­ще­ст­ву­ет бес­ко­неч­но мно­го рас­ши­ре­ний с за­дан­ной раз­ре­ши­мой груп­пой Га­луа. По­ня­тия и ме­то­ды Г. т. ши­ро­ко ис­поль­зу­ют­ся в ал­геб­ра­ич. тео­рии чи­сел и ал­геб­ра­ич. гео­мет­рии. Для не­ко­то­рых ти­пов по­лей $k$, вклю­чаю­щих по­ля ал­геб­ра­ич. чи­сел, су­ще­ст­ву­ет тео­рия (тео­рия по­лей клас­сов), даю­щая об­зор всех абе­ле­вых рас­ши­ре­ний по­ля $k$ (рас­ши­ре­ний с абе­ле­вой груп­пой Га­луа).

Лит.: Га­луа Э. Соч. М.; Л., 1936; Бур­ба­ки Н. Ал­геб­ра. Мно­го­чле­ны и по­ля. Упо­ря­до­чен­ные груп­пы. М., 1965; Ленг С. Ал­геб­раи­че­ские чис­ла. М., 1966; он же. Ал­геб­ра. М., 1968; Серр Ж. П. Ко­го­мо­ло­гии Га­луа. М., 1968; Ar­tin E. Galois theory. Ann Arbor, 1971; Ван дер Вар­ден Б. Л. Ал­геб­ра. М., 1976; Ma­tzat B. Konstructive Galoistheorie. B., 1987; Иш­ха­нов В. В., Лу­рье Б. Б., Фад­де­ев Д. К. За­да­ча по­гру­же­ния в тео­рии Га­луа. М., 1990.

Вернуться к началу