Подпишитесь на наши новости
Вернуться к началу с статьи up
 

МНОГОУГО́ЛЬНИК

  • рубрика

    Рубрика: Математика

  • родственные статьи
  • image description

    В книжной версии

    Том 20. Москва, 2012, стр. 549-550

  • image description

    Скопировать библиографическую ссылку:




Авторы: По материалам статьи Б. Н. Делоне из БСЭ-3

МНОГОУГО́ЛЬНИК, замк­ну­тая ло­ма­ная ли­ния. Точ­нее, М. – ли­ния, ко­то­рая по­лу­ча­ет­ся, ес­ли взять $n$ то­чек $A_1,A_2,...,A_n$ и со­еди­нить пря­мо­ли­ней­ны­ми от­рез­ка­ми ка­ж­дую из них с по­сле­дую­щей, а по­след­нюю – с пер­вой (рис. 1, а, б). Точ­ки $A_1,A_2,...,A_n$ на­зы­ва­ют­ся вер­ши­на­ми М., а от­рез­ки $A_1A_2, A_2A_3,...,A_{n–1}A_n,A_nA_1$ – его сто­ро­на­ми. Да­лее рас­смат­ри­ва­ют­ся толь­ко пло­ские М. (т. е. пред­по­ла­га­ет­ся, что М. ле­жит в од­ной плос­ко­сти). М. мо­жет сам се­бя пе­ре­се­кать, при­чём точ­ки са­мо­пе­ре­се­че­ния мо­гут не быть его вер­ши­на­ми (рис. 1, в).

Рис. 1.

Ес­ли М. не пе­ре­се­ка­ет сам се­бя (напр., рис. 1, а и 1, б), то он раз­де­ля­ет со­во­куп­ность всех то­чек плос­ко­сти, не ле­жа­щих на нём, на две час­ти – ко­неч­ную (внут­рен­нюю) и бес­ко­неч­ную (внеш­нюю) в том смыс­ле, что ес­ли две точ­ки при­над­ле­жат од­ной из этих час­тей, то их мож­но со­еди­нить од­ну с дру­гой ло­ма­ной, не пе­ре­се­каю­щей М., а ес­ли раз­ным час­тям, то нель­зя. Не­смот­ря на оче­вид­ность это­го ут­вер­жде­ния, стро­гий его вы­вод из ак­си­ом гео­мет­рии до­воль­но тру­ден (т. н. тео­ре­ма Жор­да­на о М.). Внут­рен­няя по от­но­ше­нию к М. часть плос­ко­сти име­ет оп­ре­де­лён­ную пло­щадь. Ес­ли М. – са­мо­пе­ре­се­каю­щий­ся, то он вы­де­ля­ет на плос­ко­сти не­ко­то­рое чис­ло кус­ков, из ко­то­рых один бес­ко­неч­ный (на­зы­вае­мый внеш­ним по от­но­ше­нию к М.), а ос­таль­ные – ко­неч­ные од­но­связ­ные (на­зы­вае­мые внут­рен­ни­ми), при­чём гра­ни­ца ка­ж­до­го из них есть не­ко­то­рый са­мо­не­пе­ре­се­каю­щий­ся М., сто­ро­ны ко­то­ро­го суть це­лые сто­ро­ны или час­ти сто­рон, а вер­ши­ны – вер­ши­ны или точ­ки са­мо­пе­ре­се­че­ния ис­ход­но­го М. Ес­ли ка­ж­дой сто­ро­не М. при­пи­сать на­прав­ле­ние, т. е. ука­зать, ка­кую из двух оп­ре­де­ляю­щих её вер­шин счи­тать её на­ча­лом, а ка­кую – кон­цом, и при­том так, что­бы на­ча­ло ка­ж­дой сто­ро­ны бы­ло кон­цом пре­ды­ду­щей, то по­лу­чит­ся (замк­ну­тый) мно­го­уголь­ный путь, или ори­ен­ти­ро­ван­ный М. Пло­щадь об­лас­ти, ог­ра­ни­чен­ной са­мо­пе­ре­се­каю­щим­ся ори­ен­ти­ро­ван­ным М., счи­та­ет­ся по­ло­жи­тель­ной, ес­ли кон­тур М. об­хо­дит эту об­ласть про­тив ча­со­вой стрел­ки, т. е. внут­рен­ность М. ос­та­ёт­ся сле­ва от иду­ще­го по это­му пу­ти, и от­ри­ца­тель­ной – в про­ти­во­по­лож­ном слу­чае.

Пусть М. – са­мо­пе­ре­се­каю­щий­ся и ори­ен­ти­ро­ван­ный. Ес­ли из точ­ки, ле­жа­щей во внеш­ней по от­но­ше­нию к не­му час­ти плос­ко­сти, про­вес­ти пря­мо­ли­ней­ный от­ре­зок к точ­ке, ле­жа­щей внут­ри од­но­го из его внут­рен­них кус­ков, и М. пе­ре­се­чёт этот от­ре­зок $p$ раз сле­ва на­пра­во и $q$ раз спра­ва на­ле­во, то чис­ло $p-q$ (це­лое по­ло­жи­тель­ное, от­ри­ца­тель­ное или нуль) не за­ви­сит от вы­бо­ра внеш­ней точ­ки и на­зы­ва­ет­ся ко­эф. это­го кус­ка. Сум­ма обыч­ных (без зна­ка) пло­ща­дей этих кус­ков, ум­но­жен­ных на ко­эф. кус­ков, счи­та­ет­ся пло­ща­дью рас­смат­ри­вае­мо­го ори­ен­ти­ро­ван­но­го мно­го­уголь­ни­ка.

Сум­ма внут­рен­них уг­лов лю­бо­го са­мо­не­пе­ре­се­каю­ще­го­ся М. с $n$ сто­ро­на­ми рав­на $(n-2)180°$. М. на­зы­ва­ет­ся вы­пук­лым (рис. 1, а), ес­ли ни­ка­кая сто­ро­на М., бу­ду­чи не­ог­ра­ни­чен­но про­дол­жен­ной, не раз­ре­за­ет его на две час­ти. Вы­пук­лый М. ха­рак­те­ри­зу­ет­ся так­же сле­дую­щим свой­ст­вом: пря­мо­ли­ней­ный от­ре­зок, со­еди­няю­щий лю­бые две точ­ки плос­ко­сти, ле­жа­щие внут­ри М., не пе­ре­се­ка­ет М. Вся­кий вы­пук­лый М. – са­мо­не­пе­ре­се­каю­щий­ся, но не на­обо­рот. Напр., на рис. 1, б изо­бра­жён са­мо­не­пе­ре­се­каю­щий­ся М., ко­то­рый не яв­ля­ет­ся вы­пук­лым, т. к. от­ре­зок $RQ$, со­еди­няю­щий его внут­рен­ние точ­ки $P$ и $Q$, пе­ре­се­ка­ет М.

Важ­ней­шие М.: тре­уголь­ни­ки, в ча­ст­но­сти пря­мо­уголь­ные, рав­но­бед­рен­ные, рав­но­сто­рон­ние (пра­виль­ные); че­ты­рёх­уголь­ни­ки, в ча­ст­но­сти тра­пе­ции, па­рал­ле­ло­грам­мы, ром­бы, пря­мо­уголь­ни­ки, квад­ра­ты. Вы­пук­лый М. на­зы­ва­ет­ся пра­виль­ным, ес­ли все его сто­ро­ны рав­ны и все внут­рен­ние уг­лы рав­ны. По сто­ро­не или ра­диу­су опи­сан­но­го кру­га ещё в древ­но­сти уме­ли стро­ить цир­ку­лем и ли­ней­кой пра­виль­ные М. в том слу­чае, ко­гда чис­ло сто­рон М. рав­но $3·2^n, 4·2^n, 5·2^n, 3·5·2^n$, где $n$ – лю­бое на­ту­раль­ное чис­ло или нуль. К. Га­усс (1801) по­ка­зал, что цир­ку­лем и ли­ней­кой мож­но по­стро­ить пра­виль­ный М., ко­гда чис­ло его сто­рон име­ет вид $2^n·p_1·p_2·...·p_k$, где $p_1, p_2,...,p_k$ – разл. га­ус­со­вы про­стые чис­ла, т. е. про­стые чис­ла ви­да $p=2^2 s +1$ ($s$ – на­ту­раль­ное чис­ло). Из­вест­ны толь­ко пять та­ких чи­сел, а имен­но 3, 5, 17, 257, 65337. Из тео­рии Га­луа сле­ду­ет, что ни­ка­ких дру­гих пра­виль­ных М., кро­ме ука­зан­ных Га­ус­сом, по­стро­ить цир­ку­лем и ли­ней­кой не­воз­мож­но.

В табл. при­во­дят­ся ра­ди­ус опи­сан­ной ок­руж­но­сти, ра­ди­ус впи­сан­ной ок­руж­но­сти и пло­щадь не­ко­то­рых пра­виль­ных $n$-уголь­ни­ков со сто­ро­ной $a$.

$n$Радиус описанной окружностиРадиус вписанной окружностиплощадь
3$\frac{a\sqrt{3}}{3}$$\frac{a\sqrt{3}}{6}$$\frac{a^2\sqrt{3}}{4}$
4$\frac{a\sqrt{2}}{2}$$\frac{a}{2}$$a^2$
5$\frac{a}{10}\sqrt {10(5+\sqrt{5})}$$\frac{a}{10}\sqrt {5(5+2\sqrt{5})}$$\frac{a^2}{4}\sqrt {5(5+2\sqrt{5})}$
6$a$$\frac{a\sqrt{3}}{2}$$\frac{3a^2\sqrt{3}}{4}$
8$\frac{a}{2}\sqrt {2(2+\sqrt{2})}$$\frac{a}{2}(1+\sqrt{2})$$2a^2(1+\sqrt{2})$
10$\frac{a}{2}(1+\sqrt{5})$$\frac{a}{2}(5+2\sqrt{5})$$\frac{ak^2}{2}\sqrt {5+2\sqrt{5}}$

Рис. 2.

На­чи­ная с пя­ти­уголь­ни­ка, су­ще­ст­ву­ют так­же не­вы­пук­лые пра­виль­ные М., т. е. та­кие, что все сто­ро­ны рав­ны и ка­ж­дая сле­дую­щая из сто­рон по­вёр­ну­та в од­ном и том же на­прав­ле­нии на один и тот же угол по от­но­ше­нию к пре­ды­ду­щей (звёзд­ча­тые М.). Все вер­ши­ны та­ко­го М. так­же ле­жат на од­ной ок­руж­но­сти. Та­ко­ва, напр., пя­ти­ко­неч­ная звез­да. На рис. 2 да­ны все пра­виль­ные (как вы­пук­лые, так и не­вы­пук­лые) М. от тре­уголь­ни­ка до се­ми­уголь­ни­ка.

Су­ще­ст­ву­ют так­же оп­ре­де­ле­ния М., от­ли­чаю­щие­ся от при­ве­дён­но­го вы­ше. Напр., М. мож­но на­зы­вать связ­ную часть плос­ко­сти, вся гра­ни­ца ко­то­рой со­сто­ит из ко­неч­но­го чис­ла пря­мо­ли­ней­ных от­рез­ков, на­зы­вае­мых его сто­ро­на­ми. М. в этом смыс­ле мо­жет быть мно­го­связ­ной ча­стью плос­ко­сти (рис. 1,г), т. е. та­кой М. мо­жет иметь мно­го­уголь­ные ды­ры. Рас­смат­ри­ва­ют­ся так­же бес­ко­неч­ные М. – час­ти плос­ко­сти, ог­ра­ни­чен­ные ко­неч­ным чис­лом пря­мо­ли­ней­ных от­рез­ков и ко­неч­ным чис­лом по­лу­пря­мых.

Лит.: Ки­ри­чен­ко В. А. По­строе­ния цир­ку­лем и ли­ней­кой и тео­рия Га­луа. Дуб­на, 2005; Ра­де­махер Г., Те­п­лиц О. Чис­ла и фи­гу­ры. Опы­ты ма­те­ма­ти­че­ско­го мыш­ле­ния. 4-е изд. М., 2007.

Вернуться к началу