МНОГОУГО́ЛЬНИК
-
Рубрика: Математика
-
-
Скопировать библиографическую ссылку:
МНОГОУГО́ЛЬНИК, замкнутая ломаная линия. Точнее, М. – линия, которая получается, если взять $n$ точек $A_1,A_2,...,A_n$ и соединить прямолинейными отрезками каждую из них с последующей, а последнюю – с первой (рис. 1, а, б). Точки $A_1,A_2,...,A_n$ называются вершинами М., а отрезки $A_1A_2, A_2A_3,...,A_{n–1}A_n,A_nA_1$ – его сторонами. Далее рассматриваются только плоские М. (т. е. предполагается, что М. лежит в одной плоскости). М. может сам себя пересекать, причём точки самопересечения могут не быть его вершинами (рис. 1, в).
Если М. не пересекает сам себя (напр., рис. 1, а и 1, б), то он разделяет совокупность всех точек плоскости, не лежащих на нём, на две части – конечную (внутреннюю) и бесконечную (внешнюю) в том смысле, что если две точки принадлежат одной из этих частей, то их можно соединить одну с другой ломаной, не пересекающей М., а если разным частям, то нельзя. Несмотря на очевидность этого утверждения, строгий его вывод из аксиом геометрии довольно труден (т. н. теорема Жордана о М.). Внутренняя по отношению к М. часть плоскости имеет определённую площадь. Если М. – самопересекающийся, то он выделяет на плоскости некоторое число кусков, из которых один бесконечный (называемый внешним по отношению к М.), а остальные – конечные односвязные (называемые внутренними), причём граница каждого из них есть некоторый самонепересекающийся М., стороны которого суть целые стороны или части сторон, а вершины – вершины или точки самопересечения исходного М. Если каждой стороне М. приписать направление, т. е. указать, какую из двух определяющих её вершин считать её началом, а какую – концом, и притом так, чтобы начало каждой стороны было концом предыдущей, то получится (замкнутый) многоугольный путь, или ориентированный М. Площадь области, ограниченной самопересекающимся ориентированным М., считается положительной, если контур М. обходит эту область против часовой стрелки, т. е. внутренность М. остаётся слева от идущего по этому пути, и отрицательной – в противоположном случае.
Пусть М. – самопересекающийся и ориентированный. Если из точки, лежащей во внешней по отношению к нему части плоскости, провести прямолинейный отрезок к точке, лежащей внутри одного из его внутренних кусков, и М. пересечёт этот отрезок $p$ раз слева направо и $q$ раз справа налево, то число $p-q$ (целое положительное, отрицательное или нуль) не зависит от выбора внешней точки и называется коэф. этого куска. Сумма обычных (без знака) площадей этих кусков, умноженных на коэф. кусков, считается площадью рассматриваемого ориентированного многоугольника.
Сумма внутренних углов любого самонепересекающегося М. с $n$ сторонами равна $(n-2)180°$. М. называется выпуклым (рис. 1, а), если никакая сторона М., будучи неограниченно продолженной, не разрезает его на две части. Выпуклый М. характеризуется также следующим свойством: прямолинейный отрезок, соединяющий любые две точки плоскости, лежащие внутри М., не пересекает М. Всякий выпуклый М. – самонепересекающийся, но не наоборот. Напр., на рис. 1, б изображён самонепересекающийся М., который не является выпуклым, т. к. отрезок $RQ$, соединяющий его внутренние точки $P$ и $Q$, пересекает М.
Важнейшие М.: треугольники, в частности прямоугольные, равнобедренные, равносторонние (правильные); четырёхугольники, в частности трапеции, параллелограммы, ромбы, прямоугольники, квадраты. Выпуклый М. называется правильным, если все его стороны равны и все внутренние углы равны. По стороне или радиусу описанного круга ещё в древности умели строить циркулем и линейкой правильные М. в том случае, когда число сторон М. равно $3·2^n, 4·2^n, 5·2^n, 3·5·2^n$, где $n$ – любое натуральное число или нуль. К. Гаусс (1801) показал, что циркулем и линейкой можно построить правильный М., когда число его сторон имеет вид $2^n·p_1·p_2·...·p_k$, где $p_1, p_2,...,p_k$ – разл. гауссовы простые числа, т. е. простые числа вида $p=2^2 s +1$ ($s$ – натуральное число). Известны только пять таких чисел, а именно 3, 5, 17, 257, 65337. Из теории Галуа следует, что никаких других правильных М., кроме указанных Гауссом, построить циркулем и линейкой невозможно.
В табл. приводятся радиус описанной окружности, радиус вписанной окружности и площадь некоторых правильных $n$-угольников со стороной $a$.
| $n$ | Радиус описанной окружности | Радиус вписанной окружности | площадь |
| 3 | $\frac{a\sqrt{3}}{3}$ | $\frac{a\sqrt{3}}{6}$ | $\frac{a^2\sqrt{3}}{4}$ |
| 4 | $\frac{a\sqrt{2}}{2}$ | $\frac{a}{2}$ | $a^2$ |
| 5 | $\frac{a}{10}\sqrt {10(5+\sqrt{5})}$ | $\frac{a}{10}\sqrt {5(5+2\sqrt{5})}$ | $\frac{a^2}{4}\sqrt {5(5+2\sqrt{5})}$ |
| 6 | $a$ | $\frac{a\sqrt{3}}{2}$ | $\frac{3a^2\sqrt{3}}{4}$ |
| 8 | $\frac{a}{2}\sqrt {2(2+\sqrt{2})}$ | $\frac{a}{2}(1+\sqrt{2})$ | $2a^2(1+\sqrt{2})$ |
| 10 | $\frac{a}{2}(1+\sqrt{5})$ | $\frac{a}{2}(5+2\sqrt{5})$ | $\frac{ak^2}{2}\sqrt {5+2\sqrt{5}}$ |
Начиная с пятиугольника, существуют также невыпуклые правильные М., т. е. такие, что все стороны равны и каждая следующая из сторон повёрнута в одном и том же направлении на один и тот же угол по отношению к предыдущей (звёздчатые М.). Все вершины такого М. также лежат на одной окружности. Такова, напр., пятиконечная звезда. На рис. 2 даны все правильные (как выпуклые, так и невыпуклые) М. от треугольника до семиугольника.
Существуют также определения М., отличающиеся от приведённого выше. Напр., М. можно называть связную часть плоскости, вся граница которой состоит из конечного числа прямолинейных отрезков, называемых его сторонами. М. в этом смысле может быть многосвязной частью плоскости (рис. 1,г), т. е. такой М. может иметь многоугольные дыры. Рассматриваются также бесконечные М. – части плоскости, ограниченные конечным числом прямолинейных отрезков и конечным числом полупрямых.
