КОЛЕ́Ц ТЕО́РИЯ

КОЛЕ́Ц ТЕО́РИЯ, раз­дел ал­геб­ры, изу­чаю­щий коль­ца, т. е. не­пус­тые мно­же­ст­ва $R$, для эле­мен­тов ко­то­рых оп­ре­де­ле­ны две би­нар­ные опе­ра­ции – сло­же­ние и ум­но­же­ние (обо­зна­чае­мые + и · со­от­вет­ст­вен­но; знак · обыч­но опус­ка­ет­ся), при­чём пред­по­ла­га­ет­ся, что для лю­бых эле­мен­тов $a, b, c∈R$ вы­пол­ня­ют­ся сле­дую­щие ак­сио­мы:

$a+b=b+a$ (ком­му­та­тив­ность сло­же­ния);

$a+(b+c)=(a+b)+c$ (ас­со­циа­тив­ность сло­же­ния);

урав­не­ние $a+x=b$ име­ет ре­ше­ние $x=b-a∈R$ (об­ра­ти­мость сло­же­ния, т. е. воз­мож­ность вы­чи­та­ния);

$a(b+c)=ab+ac$  и  $(b+c)a=ba+ca$ (ди­ст­ри­бу­тив­ность ум­но­же­ния от­но­си­тель­но сло­же­ния).

Эле­мен­ты коль­ца об­ра­зу­ют абе­ле­ву груп­пу (см. Групп тео­рия) от­но­си­тель­но сло­же­ния; она на­зы­ва­ет­ся ад­ди­тив­ной груп­пой коль­ца. От­но­си­тель­но ум­но­же­ния нуль $0$ этой груп­пы яв­ля­ет­ся «по­гло­щаю­щим» эле­мен­том, т. е. $a·0=0·a=0$ для лю­бо­го эле­мен­та $a$ коль­ца. Коль­цо, во­об­ще го­во­ря, мо­жет со­дер­жать и т. н. де­ли­те­ли ну­ля, т. е. та­кие не­ну­ле­вые эле­мен­ты $a$ и $b$, про­из­ве­де­ние ко­то­рых рав­но $0$. Еди­ни­цей на­зы­ва­ет­ся та­кой эле­мент $1$ коль­ца $R$, что $a·1=1·a$ для всех $a∈R$. Коль­цо не обя­за­но об­ла­дать еди­ни­цей, но ес­ли она есть, то она един­ст­вен­на.

При­ме­ры ко­лец. 1. Мно­же­ст­во всех це­лых чи­сел. 2. Мно­же­ст­во всех чёт­ных чи­сел и во­об­ще всех це­лых чи­сел, крат­ных дан­но­му чис­лу $m$. 3. Мно­же­ст­во всех ра­цио­наль­ных чи­сел. 4. Мно­же­ст­во всех дей­ст­ви­тель­ных чи­сел. 5. Мно­же­ство всех ком­плекс­ных чи­сел. 6. Мно­же­ст­во всех га­ус­со­вых чи­сел, т. е. ком­плекс­ных чи­сел $a+ib$ с це­лы­ми $a$ и $b$. 7. Мно­же­ст­во всех мно­го­чле­нов от од­но­го или не­сколь­ких пе­ре­мен­ных с ра­цио­наль­ны­ми, дей­ст­ви­тель­ны­ми или ком­плекс­ны­ми ко­эф­фи­ци­ен­та­ми. 8. Мно­же­ст­во всех функ­ций, не­пре­рыв­ных на дан­ном от­рез­ке чи­сло­вой пря­мой. 9. Мно­же­ст­во всех квад­рат­ных мат­риц по­ряд­ка $n$ с дей­ст­ви­тель­ны­ми (или ком­плекс­ны­ми) эле­мен­та­ми. 10. Мно­же­ст­во всех ква­тер­нио­нов. 11. Мно­же­ст­во всех сим­мет­рич. мат­риц по­ряд­ка $n$ с дей­ст­ви­тель­ны­ми эле­мен­та­ми от­но­си­тель­но сло­же­ния мат­риц и йор­да­но­ва ум­но­же­ния $a \circ b=(ab+ba)/2$, где в пра­вой час­ти сто­ят обыч­ные про­из­ве­де­ния мат­риц. 12. Мно­же­ст­во всех век­то­ров 3-мер­но­го про­стран­ст­ва от­но­си­тель­но обыч­но­го сло­же­ния и век­тор­но­го ум­но­же­ния.

Во мнoгих слу­ча­ях на ум­но­же­ние в коль­це на­кла­ды­ва­ют до­пол­нит. ог­ра­ни­че­ния. Так, ес­ли $a(bc)=(ab)c$, то коль­цо на­зы­ва­ет­ся ас­со­циа­тив­ным (при­ме­ры 1–10); ес­ли в коль­це вы­пол­ня­ют­ся ра­вен­ст­ва $(aa)b=a(ab), \ (ab)b=a(bb)$, то оно на­зы­ва­ет­ся аль­тер­на­тив­ным (при­мер 1); ес­ли в коль­це вы­пол­ня­ют­ся ра­вен­ст­ва $ab=ba $ и $(ab)(aa)=(aa)ba$, то оно на­зы­ва­ет­ся йор­да­но­вым коль­цом (при­мер 12); ес­ли в коль­це вы­пол­ня­ют­ся ра­вен­ст­ва $a^2=0, a(bc)+b(ca)+c(ab)=0$, то оно на­зы­ва­ет­ся коль­цом Ли (при­мер 13); ес­ли $ab=ba$, то коль­цо на­зы­вает­ся ком­му­та­тив­ным (при­ме­ры 1–8, 12). Ас­со­циа­тив­но-ком­му­та­тив­ное коль­цо с еди­ни­цей и без де­ли­те­лей ну­ля на­зы­ва­ет­ся об­ла­стью це­ло­ст­но­сти (при­ме­ры 1–7). Ас­со­циа­тив­ное коль­цо, в ко­то­ром при $a≠0$ раз­ре­ши­мы оба урав­не­ния $ax=b$ и  $xa=b$, на­зы­ва­ет­ся те­лом (при­ме­ры 3–5, 10); те­ло об­ла­да­ет еди­ни­цей и не име­ет де­ли­те­лей ну­ля. Ком­му­та­тив­ное те­ло на­зы­ва­ет­ся по­лем. Мно­же­ст­во всех не­ну­ле­вых эле­мен­тов те­ла (по­ля) от­но­си­тель­но ум­но­же­ния об­ра­зу­ет груп­пу (абе­ле­ву груп­пу), на­зы­вае­мую муль­ти­п­ли­ка­тив­ной груп­пой те­ла (по­ля).

Для мн. раз­де­лов ал­геб­ры важ­ны коль­ца мно­го­чле­нов над про­из­воль­ным по­лем и коль­ца мат­риц над те­ла­ми, оп­ре­де­ляе­мые ана­ло­гич­но коль­цам при­ме­ров 7 и 9. Мн. клас­сы ко­лец на­хо­дят при­мене­ние и вне ал­геб­ры. Важ­ней­ши­ми из них яв­ля­ют­ся коль­цо функ­ций и коль­цо опе­ра­то­ров, ис­поль­зую­щие­ся в функ­цио­наль­ном ана­ли­зе.

Пусть $Φ$ – про­из­воль­ное ас­со­циа­тив­ное коль­цо с еди­ни­цей 1. Коль­цо $A$ (не обя­за­тель­но ас­со­циа­тив­ное) на­зы­ва­ет­ся ал­геб­рой над $Φ$ или опе­ра­тор­ным коль­цом с коль­цом опе­ра­то­ров $Φ$, ес­ли оп­ре­де­ле­но про­из­ве­де­ние лю­бо­го эле­мен­та из $Φ$ на эле­мент из $A$, ле­жа­щее в $A$, при­чём так, что для всех $α, β∈Φ,\ a, b∈A$ спра­вед­ли­вы со­от­но­ше­ния:

$$(α+β)a=αa+βa, α(a+b)=αa+αb,$$

$$α(βa)=(αβ)a, 1a=a, α(ab)=(αa)b. $$

Ес­ли коль­цо $Φ$ ком­му­та­тив­но, то при­нято по­след­нее ус­ло­вие за­ме­нять бо­лее силь­ным ус­ло­ви­ем

$$α(ab)=(αa)b=a(αb).$$

Лю­бое коль­цо мож­но счи­тать ал­геб­рой над коль­цом це­лых чи­сел, ес­ли по­ни­мать произведение $na$, где $n $ – це­лое чис­ло, как сум­му $a+a+...+a$, в ко­то­рой эле­мент $a$ встре­ча­ет­ся $n$ раз. По­это­му коль­ца мож­но рас­смат­ри­вать как ча­ст­ный слу­чай ал­гебр. 

Ес­ли $A$ – ал­геб­ра над по­лем (на­зы­вае­мая так­же ли­ней­ной ал­геб­рой), то, по оп­ре­де­ле­нию, $A$ яв­ля­ет­ся век­тор­ным про­стран­ст­вом над этим по­лем, а зна­чит, име­ет ба­зис. Это да­ёт воз­мож­ность стро­ить ал­геб­ры над по­лем по ба­зи­су, для че­го дос­та­точ­но за­дать таб­ли­цу ум­но­же­ния ба­зис­ных эле­мен­тов. Ал­геб­ра над по­лем на­зы­ва­ет­ся ко­неч­но­мер­ной, ес­ли она ко­неч­но­мер­на как век­тор­ное про­стран­ст­во. Раз­мер­ность это­го век­тор­но­го про­стран­ст­ва на­зы­ва­ет­ся так­же ран­гом ал­геб­ры. Напр., по­ле $\mathbfС$ ком­плекс­ных чи­сел есть ал­геб­ра ран­га 2 над по­лем $\mathbf R $ дей­ст­ви­тель­ных чи­сел, ква­тер­нио­ны об­ра­зу­ют ал­геб­ру ран­га 4 над по­лем $\mathbf R$, пол­ное коль­цо мат­риц по­ряд­ка $n$ с эле­мен­та­ми из по­ля $Φ$ – ал­геб­ра ран­га $n^2$ над $Φ$. 

В К. т. важ­ную роль иг­ра­ют по­ня­тия го­мо­мор­физ­ма и изо­мор­физ­ма. Мн. рас­су­ж­де­ния и опи­са­ния про­во­дят­ся «с точ­но­стью до изо­мор­физ­ма», т. е. изо­морф­ные коль­ца и ал­геб­ры не раз­ли­ча­ют­ся. Го­мо­мор­физм – это та­кое ото­бра­же­ние $φ$ коль­ца $R$ в кольцо $R′,$ что для лю­бых $a, \ b∈R$

$$(a+b)φ=aφ+bφ, (ab)φ=(aφ)(bφ), $$

т. е. $φ$ пе­ре­ста­но­воч­но с коль­це­вы­ми опе­ра­ция­ми. Для ал­гебр (над од­ним и тем же по­лем $Φ$) тре­бу­ют так­же, что­бы для лю­бо­го $α∈Φ$ вы­пол­ня­лось ра­вен­ст­во ($αa)φ=α(aφ)$. Ес­ли при этом $φ$ – би­ек­тив­ное ото­бра­же­ние (т. е. вза­им­но од­но­знач­ное ото­бра­же­ние на $R′$), то оно на­зы­ва­ет­ся изо­мор­физ­мом, а коль­ца (ал­геб­ры) $R$ и $R′ $ – изо­морф­ны­ми. 

Мно­же­ст­во $M$ эле­мен­тов коль­ца (ал­геб­ры) $A$ на­зы­ва­ет­ся под­коль­цом (по­д­ал­геб­рой), ес­ли $M$ са­мо яв­ля­ет­ся коль­цом (ал­геб­рой) от­но­си­тель­но опе­ра­ций, оп­ре­де­лён­ных в $A$; мно­же­ст­во $M$ на­зы­ва­ет­ся ле­вым (пра­вым или дву­сто­рон­ним) идеа­лом, ес­ли, по­ми­мо это­го ус­ло­вия, для лю­бых эле­мен­тов $m\in M$ и $a\in A$ про­из­ве­де­ние $am$ (со­от­вет­ст­вен­но $ma$ или как $am$, так и $ma$) ле­жит в $M$. Эле­мен­ты $a$, $b \in A$ на­зы­ва­ют­ся срав­ни­мы­ми по идеа­лу $M$, ес­ли $b-a\in M$. Всё коль­цо (ал­геб­ра) $A$ раз­би­ва­ет­ся на клас­сы срав­ни­мых эле­мен­тов – клас­сы вы­че­тов по идеа­лу. Т. о., вся­кий иде­ал оп­ре­де­ля­ет на мно­же­ст­ве $A$ от­но­ше­ние эк­ви­ва­лент­но­сти, и мож­но оп­ре­де­лить сло­же­ние и ум­но­же­ние (ум­но­же­ние на эле­мент по­ля) клас­сов вы­че­тов по дву­сто­рон­не­му идеа­лу $M $ че­рез сло­же­ние и ум­но­же­ние эле­мен­тов этих клас­сов. От­но­си­тель­но этих опе­ра­ций клас­сы вы­че­тов об­ра­зу­ют коль­цо (ал­геб­ру), на­зы­вае­мое фак­тор­коль­цом (фак­то­рал­геб­рой) $A/M$. Име­ет ме­сто тео­ре­ма о го­мо­мор­физ­мах: ес­ли ка­ж­до­му эле­мен­ту из $A$ по­ста­вить в со­от­вет­ствие со­дер­жа­щий его класс, то по­лу­ча­ет­ся го­мо­мор­физм $A$ на $A/M$; об­рат­но, ес­ли $A$ го­мо­морф­но ото­бра­жа­ет­ся на $A′$, то мно­же­ст­во $M$ эле­мен­тов из $A$, ото­бра­жаю­щих­ся в нуль коль­ца (ал­геб­ры) $A′$, бу­дет дву­сто­рон­ним идеа­лом в $A$ и $A/M$ изо­морф­но $A′$. Коль­цо без дву­сто­рон­них идеа­лов на­зы­ва­ет­ся про­стым. 

Пе­ре­ход от ал­геб­ры к её по­дал­геб­рам и фак­то­рал­геб­рам яв­ля­ет­ся од­ним из спо­со­бов по­лу­че­ния но­вых ал­гебр. Напр., из ал­геб­ры мно­го­чле­нов от дос­та­точ­но боль­шо­го чис­ла пе­ре­мен­ных над по­лем $Φ$ (в ка­че­ст­ве го­мо­морф­но­го об­раза) мо­жет быть по­лу­че­на лю­бая ас­со­циа­тив­но-ком­му­та­тив­ная ал­геб­ра над по­лем $Φ$.

Исторический очерк

При­мер­но до сер. 19 в. бы­ли из­вест­ны лишь отд. при­ме­ры ко­лец: чи­сло­вые коль­ца, т. е. под­коль­ца по­ля ком­плекс­ных чи­сел и коль­ца вы­че­тов це­лых чи­сел. Пер­вые при­ме­ры не­ком­му­та­тив­ных ко­лец и ал­гебр встре­ча­ют­ся в 1843–44 в ра­бо­тах У. Га­миль­то­на и Г. Грасс­ма­на. Са­мый из­вест­ный из этих при­ме­ров – те­ло ква­тер­нио­нов. Пос­ле 1870 на­чи­на­ет­ся об­щее ис­сле­до­ва­ние ги­пер­ком­плекс­ных сис­тем (в совр. тер­ми­но­ло­гии – ко­неч­но­мер­ных ал­гебр над по­лем R дей­ст­вит. чи­сел). В ра­бо­тах Р. Де­де­кин­да встре­ча­ет­ся об­щее по­ня­тие ас­со­циа­тив­но­го коль­ца, те­ла и ал­геб­ры над по­лем (коль­цо у не­го на­зы­ва­лось по­ряд­ком). Тер­мин «коль­цо» был вве­дён Д. Гиль­бер­том позд­нее. К. Вей­ер­шт­расс и Де­де­кинд до­ка­за­ли, что лю­бая ко­неч­но­мер­ная ас­со­циа­тив­но-ком­му­та­тив­ная ал­геб­ра без ниль­по­тент­ных эле­мен­тов, т. е. без та­ких эле­мен­тов $a$, для ко­то­рых $a^n=0$ для не­ко­то­ро­го на­ту­раль­но­го $n$, яв­ля­ет­ся пря­мой сум­мой по­лей, изо­морф­ных ли­бо по­лю $\mathbf R$, ли­бо по­лю $\mathbf C$. При этом пря­мой сум­мой, или пря­мым про­из­ве­де­ни­ем ко­неч­но­го чис­ла ал­гебр $A_1,...,A_n$, на­зы­ва­ет­ся мно­же­ст­во на­бо­ров $(a_1,...,a_n), a_1 \in A_1,...,a_n \in A_n $с по­ком­по­нент­ны­ми опе­ра­ция­ми сло­же­ния и ум­но­же­ния. Ф. Фро­бе­ни­ус (1878) до­ка­зал, что един­ст­вен­ное не­ком­му­та­тив­ное те­ло ко­неч­ной раз­мер­но­сти над $\mathbf R$ – те­ло ква­тер­нио­нов.

К нач. 20 в. бы­ла дос­та­точ­но раз­ви­та тео­рия го­мо­мор­физ­мов и вы­яс­не­на их связь с идеа­ла­ми. В 1920–30-х гг. ста­ли изу­чать­ся про­из­воль­ные ас­со­циа­тив­ные коль­ца. При этом боль­шую роль на­ча­ли иг­рать ле­вые и пра­вые идеа­лы коль­ца и ус­ло­вия мак­си­маль­но­сти и ми­ни­маль­но­сти, на­кла­ды­вае­мые на них. Дру­гим важ­ней­шим ус­ло­ви­ем яв­ля­ет­ся ус­ло­вие про­сто­ты (от­сут­ст­вие не­три­ви­аль­ных дву­сто­рон­них идеа­лов). Лю­бая ко­неч­но­мер­ная про­стая ал­геб­ра над по­лем изо­морф­на ал­геб­ре всех мат­риц ка­ко­го-то по­ряд­ка с ко­эф­фи­ци­ен­та­ми из не­ко­то­ро­го те­ла, со­дер­жа­ще­го это по­ле (тео­ре­ма амер. ал­геб­раи­ста Дж. Г. М. Вед­дер­бер­на, 1907). В 1940-х гг. раз­ви­ва­лась так­же тео­рия не­ас­со­циа­тив­ных ко­лец и бес­ко­неч­но­мер­ных не­ас­со­циа­тив­ных ли­ней­ных ал­гебр. Центр. часть этой тео­рии – изу­че­ние т. н. ал­гебр, близ­ких к ас­со­циа­тив­ным (аль­тер­на­тив­ных, ал­гебр Ли, йор­да­но­вых ал­гебр и не­ко­то­рых их обоб­ще­ний). Тео­рия ас­со­циа­тив­но-ком­му­та­тив­ных ко­лец со­став­ля­ет осо­бый боль­шой раз­дел ал­геб­ры, раз­ви­ваю­щий­ся в не­по­сред­ст­вен­ном кон­так­те с ал­геб­ра­ич. тео­ри­ей чи­сел и ал­геб­ра­ич. гео­мет­ри­ей, – ком­му­та­тив­ную ал­геб­ру.