КОММУТАТИ́ВНАЯ А́ЛГЕБРА
-
Рубрика: Математика
-
-
Скопировать библиографическую ссылку:
КОММУТАТИ́ВНАЯ А́ЛГЕБРА, раздел алгебры, изучающий свойства коммутативных колец и связанных с ними объектов (см. Колец теория).
Возникновение К. а. связано с задачами чисел теории и алгебраической геометрии. Эти задачи, как правило, относились к конкретным классам колец. Одним из гл. объектов теории чисел является кольцо целых рациональных чисел, и осн. факт его арифметики состоит в том, что любое целое число разлагается в произведение простых чисел, напр. 60=2·2·3·5, причём разложение единственно с точностью до порядка и знаков сомножителей: 60=2·5·3·2=(–2)·2(–3)·5= … В 1-й пол. 19 в. К. Гауссом, Э. Куммером и др. была обнаружена связь разл. вопросов теории чисел с арифметикой некоторых расширений поля рациональных чисел. Изучению этих вопросов классич. методами мешало отсутствие однозначности разложения алгебраич. чисел в произведение неразложимых множителей. Напр., если рассматривать числа вида $m+n\sqrt{-5}$, где $m$ и $n$ – любые целые (рациональные) числа, то (так же, как для обычных целых чисел) каждое такое число можно разложить в произведение далее неразложимых множителей, однако в этом случае нарушается единственность разложения. Так, число 9 (которое получается при $m=9 $, $n=0 $) допускает 2 разл. разложения, $9=3·3 $ и $9=(2+\sqrt{−5}) (2-\sqrt{-5})$, причём ни один из множителей $3, (2+\sqrt{-5}), (2-\sqrt{-5})$ далее разложить в произведение чисел вида $m+n\sqrt{-5}$ нельзя. Нарушения единственности разложения не будет, если свойство разложимости связывать не с числами, а с т. н. идеалами. Идеалы вводятся в произвольных кольцах. В случае числовых колец идеалом называется совокупность чисел, принадлежащих числовому кольцу (а в случае произвольного кольца – совокупность его элементов), обладающая следующими свойствами: сумма и разность двух чисел (элементов) совокупности принадлежит этой совокупности; произведение числа (элемента) из этой совокупности на любое др. число (на любой др. элемент) кольца также принадлежит этой совокупности. Напр., идеалы в кольце целых рациональных чисел – это в точности совокупности чисел, кратных какому-нибудь фиксированному целому числу. В случае числовых колец (таким является, напр., рассмотренная выше совокупность чисел вида $m+n\sqrt{-5}$) идеал называется также идеальным числом. Любой идеал единственным образом разлагается в произведение неразложимых идеалов, которые называются простыми. Строгое и полное обоснование теории идеалов для любых числовых полей дали независимо друг от друга Р. Дедекинд (1871) и Е. И. Золотарёв (1877). Дальнейшая разработка теории идеалов связана с развитием общей теории колец.
Параллельно происходило формирование К. а. внутри алгебраической геометрии. В начале своего развития алгебраич. геометрия изучала свойства алгебраич. кривых на плоскости и, более общо, алгебраич. многообразий в $n$-мерном пространстве, задаваемых как множество $M$ общих нулей нескольких многочленов от $n$ переменных. Поскольку многообразие $M$ можно задавать и др. уравнениями, то более естественно с многообразием $M$ связывать идеал всех многочленов, обращающихся в нуль на $M$. Это ещё один путь, приводящий к понятию идеала.
Интенсивное развитие К. а. началось после публикации в 1890-х гг. работ Д. Гильберта, получившего ряд фундам. результатов о кольце многочленов. К нач. 20 в. были получены результаты, относящиеся к кольцам алгебраич. чисел и многочленов, однако конкретность исходных объектов мешала увидеть некоторые общие закономерности и связи. Развитие совр. К. а. связано также с возникновением теории $p$-адических чисел, послужившей толчком к систематич. изучению строения разл. классов коммутативных колец. Другим источником развития К. а. стала её геометризация, превратившая К. а. в составную часть алгебраич. геометрии. Это позволяет использовать в исследованиях геометрич. методы.