АЛГЕБРАИ́ЧЕСКАЯ ГЕОМЕ́ТРИЯ
-
Рубрика: Математика
-
-
Скопировать библиографическую ссылку:
АЛГЕБРАИ́ЧЕСКАЯ ГЕОМЕ́ТРИЯ, раздел математики, изучающий геометрич. объекты, связанные с решениями алгебраич. уравнений. Такими объектами являются алгебраич. многообразия (алгебраич. кривые, алгебраич. поверхности, алгебраич. группы) и их обобщения (схемы, алгебраич. пространства). В А. г. рассматриваются отображения двух типов: регулярные (морфизмы), задаваемые многочленами, и рациональные, задаваемые рациональными функциями. Регулярное отображение, имеющее обратное, называется бирегулярным отображением или изоморфизмом; рациональное отображение, имеющее обратное, – бирациональным изоморфизмом. Исходной задачей А. г. является классификация объектов с точностью до изоморфизма или до бирациональной эквивалентности. Классификация начинается с малых размерностей (см. Алгебраическая кривая, Алгебраическая поверхность). В современной А. г. осн. интерес представляют её взаимосвязи с др. математич. дисциплинами: коммутативной алгеброй, гомологич. алгеброй, теорией групп, теорией чисел, топологией, дифференциальной геометрией, комплексным анализом, дифференциальными уравнениями, математич. физикой, алгебраич. теорией кодирования. В А. г. выделяются две группы методов исследования: алгебро-геометрические, с использованием коммутативной алгебры и проективной геометрии, и трансцендентные, с использованием комплексного анализа и топологии.
Возникновение А. г. относится к 17 в., когда в геометрию были введены системы координат, позволяющие описывать геометрич. фигуры как совокупность решений подходящих алгебраич. уравнений. Первоначальными объектами были кривые и поверхности 2-го порядка, изучаемые в аналитической геометрии. С развитием проективной геометрии выяснилось, что проективная классификация кривых и поверхностей является наиболее естественной и обозримой. Геометрич. интуиция, возникающая при изображении решений алгебраич. уравнений геометрич. фигурами, оказалась важным подспорьем при постановках новых задач и предсказании результатов. Полезной оказалась и наглядность геометрич. методов, напр. использование метода проектирования в бирациональной теории. Изучение специальных классов алгебраич. кривых и поверхностей (преим. небольших порядков) продолжалось вплоть до 19 в., в осн. в проективной геометрии. Принципиальные изменения в развитии А. г. произошли в кон. 18 – нач. 19 вв. в связи с изучением эллиптич. кривых, точнее, эллиптич. интегралов, средствами комплексного анализа. Изучались интегралы вида $$\int R(x, y) dx,\tag1$$где $R(x, y)$ – рациональная функция, а $x$ и $y$ связаны алгебраич. уравнением $$F(x, y)=0.\,\tag2$$
Уравнение (2) задаёт плоскую аффинную алгебраич. кривую. Если эта кривая рациональна, т. е. допускает параметризацию рациональными функциями $x=φ(t)$, $y=ψ(t)$, то заменой переменных интеграл (1) сводится к интегралу от рациональной функции и вычисляется в конечном виде. Однако для эллиптич. кривых (и тем более для алгебраич. кривых большего рода) такие интегралы, как функции верхнего предела, являются многозначными (см. Абелев интеграл). Изучение этих интегралов заложило основы теории алгебраич. кривых. С построенных Н. Абелем и К. Якоби многообразий, называемых якобиевыми многообразиями, начинается общая теория наиболее изученных многомерных объектов А. г. – абелевых многообразий. Так называются проективные многообразия, для точек которых определена операция сложения. Над полем $\bf C$ все они являются комплексными торами. Одномерное абелево многообразие – эллиптич. кривая. Теория якобиевых многообразий алгебраич. кривых над произвольными полями была развита в 1940-х гг. в работах А. Вейля.
Значительный прогресс в развитии А. г. связан с работами Б. Римана. Он ввёл понятие поверхности, которая теперь называется римановой поверхностью (одномерным комплексным многообразием). Для неособой проективной кривой $X$ рода $g$ над полем $\bf C$ её риманова поверхность – компактная ориентируемая поверхность с $g$ ручками. Для отображений таких поверхностей в проективные пространства используются линейные пространства мероморфных функций, кратности полюсов которых ограничены дивизорами. Дивизор $$D=\sum n_PP$$– конечная формальная линейная комбинация точек $\{ P \}$ с целыми коэффициентами $\{ n_P \}$. Пространства мероморфных функций $L \{ D \}$, кратности полюсов которых в точках $P$ ограничены числами $n_P$, оказываются конечномерными. Для их размерности $l(D)$ Риман получил неравенство $$l(D)⩾ \deg D+1-g,$$ где $deg D=\sum n_p$ – степень дивизора $D$, а $g$ – род кривой (римановой поверхности) $X$. Нем. математик Э. Рох доказал, что $$l(D)-l(K-D)= \deg D+1-g,$$где $K$ – канонич. дивизор, т. е. дивизор нулей и полюсов любого дифференциала $f(z)dz$, где $f(z)$ – мероморфная функция на $X$ (теорема Римана – Роха). Впоследствии эта теорема была обобщена на алгебраич. многообразия любой размерности сначала нем. математиком Ф. Хирцебрухом, а затем в наиболее общей форме франц. математиком А. Гротендиком. Теорема Римана – Роха – одно из самых важных технич. средств в А. г.
Существенный вклад в развитие аналитической теории алгебраич. многообразий внесли К. Вейерштрасс, А. Пуанкаре, С. Лефшец, А. Картан, Ж. Лере. Параллельно с аналитич. теорией развивалась и алгебро-геометрическая, начиная с работ нем. математиков А. Клебша и М. Нётера в 1870-х гг. Если у Абеля и Римана осн. объектом была функция, то у Клебша и Нётера – сама кривая. Была сформулирована общая программа изучения алгебраич. кривых. Наибольший интерес при изучении алгебраич. кривых в алгебро-геометрич. теории представляют собой результаты, инвариантные относительно бирациональных преобразований.
Изучение алгебраич. многообразий размерности, большей 1, началось во 2-й пол. 19 в. с поверхностей 3-го порядка. Развитие бирациональной теории алгебраич. поверхностей в 19 – нач. 20 вв. связано с итал. школой А. г. (Г. Кастельнуово, Ф. Энриквес, Г. Фано и Ф. Севери). К 1920-м гг. была практически завершена бирациональная классификация алгебраич. поверхностей.
В итальянской школе А. г. преобладали геометрич. методы. В 1-й пол. 20 в. Б. Л. Ван дер Варденом, А. Вейлем и О. Зариским с целью укрепления основ А. г. была предпринята алгебраизация А. г. с использованием аксиоматич. методов абстрактной алгебры. Область применения А. г. расширилась в сторону изучения алгебраич. многообразий над произвольными полями. Интерес к А. г. арифметич. типа первоначально возник в связи с идеей А. Пуанкаре рассматривать теорию сравнений как теорию алгебраич. уравнений над конечными полями. В нач. 1920-х гг. нем. математиком Э. Артином развивалась теория алгебраич. функций от одной переменной с конечным полем констант параллельно теории алгебраич. чисел. В частности, им была определена дзета-функция алгебраич. кривой над конечным полем. Аналог гипотезы Римана для таких дзета-функций равносилен некоторой оценке для числа точек на кривой над конечным полем. Для эллиптич. кривых аналог гипотезы Римана был доказан нем. математиком Х. Хассе в 1930-х гг. и несколько позднее для кривых любого рода Вейлем. В связи с этим Вейль, начав построение А. г. над произвольн ми полями, заложил основы абстрактной А. г. Франц. математик Ж. П. Серр в 1950-х гг. стал применять в А. г. теорию пучков.
В 1960-х гг. в А. г. было введено понятие схемы, обобщающее алгебраич. многообразие. Вместе с теорией схем в А. г. вошёл язык функторов и категорий. Новый язык расширил возможности А. г. и позволил свободно переносить мн. классич. конструкции, полученные трансцендентными методами, в коммутативную алгебру и арифметику. Непосредственное влияние теория схем оказала на решение ряда классич. проблем. Важные результаты в А. г. были получены амер. математиком Х. Хиронакой (1964) (каждое многообразие над полем характеристики нуль бирационально изоморфно неособому многообразию), А. Гротендиком и бельг. математиком П. Делинем (1973) (аналог гипотезы Римана для многообразий любой размерности). В арифметике алгебраич. многообразий нем. математиком Г. Фалтингсом (1983) доказана справедливость гипотезы Морделла о конечности числа рациональных точек для алгебраич. кривых рода, большего 1, и Э. Уайлзом (1993) доказана последняя теорема Ферма.
Строгие теоретич. основания и удобный формализм позволили по-новому взглянуть на классич. проблемы А. г. Однако некоторые проблемы пока (2003) не поддаются решению, напр., доказательство или опровержение гипотезы Ходжа об алгебраич. циклах или проблема рациональности для гладких кубич. гиперповерхностей размерности 4 и выше.
А. г. применяется в теории чисел, теории групп, теории дифференциальных уравнений, функциональном анализе, теоретич. физике и теории кодирования.