БА́ЗИС

БА́ЗИС в ма­те­ма­ти­ке, ми­ни­маль­ный на­бор эле­мен­тов, че­рез ко­то­рые мож­но вы­ра­зить (пред­ста­вить) все эле­мен­ты рас­смат­ри­вае­мо­го мно­же­ст­ва или про­стран­ст­ва. По­ня­тие Б. ис­поль­зу­ет­ся в ал­геб­ре, функ­цио­наль­ном ана­ли­зе, гео­мет­рии, то­по­ло­гии, ма­те­ма­тич. ло­ги­ке. В за­ви­си­мо­сти от раз­де­ла ма­те­ма­ти­ки, где ис­поль­зу­ет­ся по­ня­тие Б., сло­ва «ми­ни­маль­ный», «вы­ра­зить» («пред­ста­вить») при­об­ре­та­ют кон­крет­ное со­дер­жа­ние. Важ­ней­шим при­ме­ром Б. в ко­неч­но­мерном дей­ст­ви­тель­ном (ком­плекс­ном) век­тор­ном про­стран­ст­ве ${\bf R}^n({\bf C}^n)$, со­стоя­щем из век­то­ров с ко­ор­ди­на­та­ми $x_1, ..., x_n$, яв­ля­ет­ся на­бор век­то­ров $\{e_1, ..., e_n\}$, где $e_k$ – век­тор, $k$-я ко­ор­ди­на­та ко­то­ро­го рав­на 1, а ос­таль­ные рав­ны ну­лю, $k = 1, …, n$. Лю­бой эле­мент про­стран­ст­ва ${\bf R}^n({\bf C}^n)$ мож­но вы­ра­зить как ли­ней­ную ком­би­на­цию эле­мен­тов $\{e_1, ..., e_n\}$, т. е. как сум­му этих эле­мен­тов, ум­но­жен­ных на чис­ла. Ми­ни­маль­ность здесь оз­на­ча­ет, что ни­ка­кая часть на­бо­ра $\{e_1, ..., e_n\}$ этим свой­ст­вом не об­ла­да­ет.

Век­тор­ные про­стран­ст­ва, в ко­то­рых нет ко­неч­но­го Б., на­зы­ва­ют бес­ко­неч­но­мер­ны­ми. В бес­ко­неч­но­мер­ных се­па­ра­бель­ных ба­на­хо­вых про­стран­ст­вах Б. оп­ре­де­ля­ют как счёт­ный на­бор эле­мен­тов $\{e_1, e_2 ...\}$, об­ла­даю­щий сле­дую­щим свой­ст­вом: лю­бой эле­мент $x$ про­стран­ст­ва пред­ста­вим един­ст­вен­ным об­ра­зом в ви­де ря­да $$x=\sum_{k=1}^\infty c_ke_k,$$ где $c_k, k= 1, 2, ...,$ – чис­ла, а ряд схо­дит­ся по нор­ме про­стран­ст­ва. Из­вест­ная про­бле­ма Ба­на­ха о су­ще­ст­во­ва­нии ба­зи­са в про­из­воль­ном се­па­ра­бель­ном ба­на­хо­вом про­стран­ст­ве бы­ла от­ри­ца­тель­но ре­ше­на швед. ма­те­ма­ти­ком П. Эн­фло (1974). В ба­на­хо­вых про­стран­ст­вах мож­но оп­ре­де­лить Б. раз­ных ти­пов, их изу­че­ние – пред­мет со­дер­жа­тель­ной тео­рии. В се­па­ра­бель­ных гиль­бер­то­вых про­стран­ст­вах наи­боль­шее при­ме­не­ние на­хо­дят ор­то­нор­ми­ро­ван­ные Б., т. е. та­кие Б. $e_1,e_2, ...,$ для ко­то­рых ска­ляр­ные про­из­ве­де­ния $(e_i,e_j)=0, i≠j,$ и $(e_i,e_i)=1, i=1, 2, ...$ . Важ­ней­шим при­ме­ром Б. в про­стран­ст­вах $L_p[0,1], p{>}1$, со­стоя­щих из функ­ций, ин­тег­ри­руе­мых в $p$-й сте­пе­ни по Ле­бе­гу, яв­ля­ет­ся три­го­но­мет­рич. сис­те­ма $\{e^{2πinx}\}_{n=-\infty}^\infty$. Эта сис­те­ма – ор­то­нор­ми­ро­ван­ный Б. в $L_2[0,1]$, а в $L_1[0,1]$ она Б. не яв­ля­ет­ся.