ПРЕДСТАВЛЕ́НИЙ ГРУПП ТЕО́РИЯ

ПРЕДСТАВЛЕ́НИЙ ГРУПП ТЕО́РИЯ, тео­рия, изу­чаю­щая го­мо­мор­физ­мы групп, од­но из средств изу­че­ния аб­ст­ракт­ных групп с по­мо­щью кон­крет­ных групп. В П. г. т. ка­ж­до­му эле­мен­ту аб­ст­ракт­ной груп­пы со­пос­тав­ля­ет­ся не­вы­ро­ж­ден­ное ли­ней­ное пре­об­ра­зо­ва­ние не­ко­то­ро­го век­тор­но­го про­стран­ст­ва, т. е. пред­став­ле­ние мож­но по­ни­мать как за­пись груп­пы с по­мо­щью мат­риц или пре­об­ра­зо­ва­ний век­тор­но­го про­стран­ст­ва, тем са­мым за­да­чи групп тео­рии сво­дят­ся к бо­лее про­стым за­да­чам ли­ней­ной ал­геб­ры.

П. г. т. за­ро­ди­лась в ра­бо­тах Л. Эй­ле­ра, А. Ле­жан­д­ра и К. Га­ус­са, в ко­то­рых впер­вые поя­ви­лось по­ня­тие ха­рак­те­ра ком­му­та­тив­ной груп­пы. П. г. т. для не­ком­му­та­тив­ных групп су­ще­ст­ву­ет как са­мо­сто­ят. об­ласть ок. 100 лет. Пер­вый пе­ри­од её раз­ви­тия свя­зан с име­на­ми Ф. Г. Фро­бе­ниу­са, И. Шу­ра, У. Бёрн­сай­да и рос. ма­те­ма­ти­ка Ф. Э Мо­ли­на. В ра­бо­тах это­го пе­рио­да рас­смат­ри­ва­лись толь­ко ко­неч­но­мер­ные пред­став­ле­ния ко­неч­ных групп. Вто­рой пе­ри­од – соз­да­ние П. г. т. для ком­пакт­ных то­по­ло­гич. групп. В это же вре­мя поя­ви­лась тео­рия ко­неч­но­мер­ных пред­став­ле­ний по­лу­про­стых групп Ли (см. Ли групп тео­рия). Эти ре­зуль­та­ты на­шли ши­ро­кое при­ме­не­ние в раз­ных об­лас­тях ма­те­ма­ти­ки и фи­зи­ки (тео­рия сим­мет­рич­ных про­странств, тео­рия мо­мен­тов в кван­товой ме­ха­ни­ке). Осн. вклад в П. г. т. на этом эта­пе вне­сли Дж. фон Ней­ман, Г. Вейль и Э. Кар­тан. В 1940-х гг. на­ча­лось сис­те­ма­тич. изу­че­ние бес­ко­неч­но­мер­ных пред­став­ле­ний (И. М. Гель­фанд и его шко­ла), со­став­ляю­щее осн. со­дер­жа­ние третье­го пе­рио­да. Сей­час этот этап в идей­ном от­но­ше­нии за­вер­шён, хо­тя мно­гие кон­крет­ные труд­ные за­да­чи ещё ждут сво­его ре­ше­ния. Од­на­ко П. г. т. нель­зя счи­тать за­кон­чен­ной. Уже сей­час мож­но ука­зать осн. на­прав­ле­ния, со­став­ляю­щие но­вый, чет­вёр­тый этап её раз­ви­тия. Это, во-пер­вых, тео­рия бес­ко­неч­но­мер­ных пред­став­ле­ний групп, встре­чаю­щих­ся в со­вре­мен­ной тео­рии чи­сел и ал­геб­ра­ич. гео­мет­рии. Во-вто­рых, это П. г. т. для бес­ко­неч­но­мер­ных групп Ли, ко­то­рая всё боль­ше сбли­жа­ет­ся с ма­те­ма­тич. и тео­ре­тич. фи­зи­кой.