Подпишитесь на наши новости
Вернуться к началу с статьи up
 

ЛИНЕ́ЙНАЯ А́ЛГЕБРА

  • рубрика

    Рубрика: Математика

  • родственные статьи
  • image description

    В книжной версии

    Том 17. Москва, 2010, стр. 498-499

  • image description

    Скопировать библиографическую ссылку:




ЛИНЕ́ЙНАЯ А́ЛГЕБРА, раз­дел ал­геб­ры, изу­чаю­щий век­тор­ные (ли­ней­ные) про­стран­ст­ва и их под­про­стран­ст­ва, ли­ней­ные ото­бра­же­ния (опе­ра­то­ры), ли­ней­ные, би­ли­ней­ные и квад­ра­тич­ные функ­ции (функ­цио­на­лы или фор­мы) на век­тор­ных про­стран­ст­вах.

Ис­то­ри­че­ски пер­вым раз­де­лом Л. а. бы­ла тео­рия сис­тем ли­ней­ных урав­не­ний. В свя­зи с изу­че­ни­ем этих сис­тем поя­ви­лись по­ня­тия мат­ри­цы и оп­ре­де­ли­те­ля. В 1750 по­лу­че­ны фор­му­лы Кра­ме­ра для ре­ше­ния сис­тем ли­ней­ных урав­не­ний, в ко­то­рых чис­ло урав­не­ний рав­но чис­лу не­из­вест­ных и оп­ре­де­ли­тель из ко­эф­фи­ци­ен­тов при не­из­вест­ных от­ли­чен от ну­ля. В 1849 пред­ло­жен ме­тод Га­ус­са, ко­то­рый ис­поль­зу­ет­ся с разл. из­ме­не­ния­ми для прак­тич. на­хо­ж­де­ния ре­ше­ний сис­тем ли­ней­ных урав­не­ний. По­ня­тие ран­га мат­ри­цы, пред­ло­жен­ное Ф. Г. Фро­бе­ниу­сом в 1877, по­зво­ли­ло яв­но вы­ра­зить ус­ло­вия со­вме­ст­но­сти и оп­ре­де­лён­но­сти си­с­те­мы ли­ней­ных урав­не­ний в тер­ми­нах ко­эф­фи­ци­ен­тов этой сис­те­мы. Тем са­мым в кон. 19 в. бы­ло за­вер­ше­но по­строе­ние об­щей тео­рии сис­тем ли­ней­ных урав­нений.

Ес­ли в 18 и 19 вв. осн. со­дер­жа­ние Л. а. со­став­ля­ли сис­те­мы ли­ней­ных урав­не­ний и тео­рия оп­ре­де­ли­те­лей, то в 20 в. центр. по­ло­же­ние в Л. а. за­ня­ли по­ня­тие век­тор­но­го про­стран­ст­ва $V$ над по­лем $K$ и свя­зан­ные с ним по­ня­тия ли­ней­но­го ото­бра­же­ния, ли­ней­ной, би­ли­ней­ной и по­ли­ли­ней­ной функ­ций на век­тор­ном про­стран­ст­ве. Од­ним из важ­ней­ших по­ня­тий тео­рии век­тор­ных про­странств яв­ля­ет­ся по­ня­тие ли­ней­но­го ото­бра­же­ния (ли­ней­но­го опе­ра­то­ра), т. е. го­мо­мор­физ­ма век­тор­ных про­странств над од­ним и тем же по­лем. Ча­ст­ным слу­ча­ем ли­ней­но­го ото­бра­же­ния яв­ля­ет­ся ли­ней­ное пре­об­ра­зо­ва­ние, или ли­ней­ное ото­бра­же­ние про­стран­ст­ва в се­бя. Ес­ли рас­смат­ри­вать ли­ней­ные ото­бра­же­ния $n$-мер­но­го век­тор­но­го про­стран­ст­ва в $s$-мер­ное, то, фик­си­руя в этих про­стран­ст­вах ба­зи­сы, мож­но со­пос­та­вить ка­ж­до­му ли­ней­но­му ото­бра­же­нию мат­ри­цу с $s$ стро­ка­ми и $n$ столб­ца­ми (мат­ри­цу ли­ней­но­го ото­бра­же­ния; для ли­ней­ных пре­об­ра­зо­ва­ний эта мат­ри­ца яв­ля­ет­ся квад­рат­ной). Это по­зво­ля­ет фор­му­ли­ро­вать тео­ре­мы о ли­ней­ных ото­бра­же­ни­ях на мат­рич­ном язы­ке и при их до­ка­за­тель­ст­ве ис­поль­зо­вать язык тео­рии мат­риц. Од­ной из важ­ней­ших за­дач в тео­рии ли­ней­ных пре­об­ра­зо­ва­ний яв­ля­ет­ся за­да­ча о вы­бо­ре ба­зи­са, в ко­то­ром мат­ри­ца пре­об­ра­зо­ва­ния при­ни­ма­ет в ка­ком-то смыс­ле про­стей­ший вид. В слу­чае по­ля ком­плекс­ных чи­сел та­ким ви­дом яв­ля­ет­ся, напр., жор­да­но­ва нор­маль­ная фор­ма мат­ри­цы.

Ещё од­ним ча­ст­ным слу­ча­ем ли­ней­но­го ото­бра­же­ния яв­ля­ет­ся ли­ней­ная функ­ция (ли­ней­ный функ­цио­нал) – ли­ней­ное ото­бра­же­ние $V$ в $K$ (по­ле $K$ рас­смат­ри­ва­ет­ся как од­но­мер­ное про­стран­ст­во). Все ли­ней­ные функ­ции на $V$ об­ра­зу­ют век­тор­ное про­стран­ст­во $V^*$, на­зы­вае­мое про­стран­ст­вом, со­пря­жён­ным с про­стран­ст­вом $V$. Век­то­ры про­стран­ст­ва $V$ мож­но в свою оче­редь рас­смат­ри­вать как ли­ней­ные функ­ции на со­пря­жён­ном про­стран­ст­ве $V^*$, по­ла­гая $x(f)=f(x)$ для всех $x∈V$, $f∈V^*$. Ес­ли $V$ ко­неч­но­мер­но, то так ус­та­нав­ли­ва­ет­ся ес­те­ст­вен­ный изо­мор­физм ме­ж­ду $V$ и $(V^*)^*$. В ко­неч­но­мер­ном слу­чае про­стран­ст­ва $V$ и $V^*$ име­ют оди­на­ко­вые раз­мер­но­сти и так­же изо­морф­ны.

Обоб­ще­ни­ем по­ня­тия ли­ней­ной функ­ции яв­ля­ет­ся по­ня­тие по­ли­ли­ней­ной функ­ции, т. е. функ­ции со зна­че­ния­ми в $K$, за­ви­ся­щей от не­сколь­ких ар­гу­мен­тов (из ко­то­рых од­ни при­над­ле­жат век­тор­но­му про­стран­ст­ву $V$, а дру­гие – со­пря­жён­но­му про­стран­ст­ву $V^*$) и ли­ней­ной по ка­ж­до­му ар­гу­мен­ту. Эти функ­ции на­зы­ва­ют­ся так­же тен­зо­ра­ми.

Тео­рия век­тор­ных про­странств име­ет тес­ные свя­зи с тео­ри­ей групп (вся­кое век­тор­ное про­стран­ст­во – груп­па по сло­же­нию). Все ав­то­мор­физ­мы (см. Изо­мор­физм) $n$-мер­но­го век­тор­но­го про­стран­ст­ва $V$ над по­лем $K$ об­ра­зу­ют от­но­си­тель­но ум­но­же­ния груп­пу пре­об­ра­зо­ва­ний, изо­морф­ную груп­пе не­вы­ро­ж­ден­ных квад­рат­ных мат­риц по­ряд­ка $n$ с эле­мен­та­ми из $K$. Го­мо­морф­ное ото­бра­же­ние не­ко­то­рой груп­пы $G$ в эту груп­пу ав­то­мор­физ­мов на­зы­ва­ет­ся ли­ней­ным пред­став­ле­ни­ем груп­пы $G$ в про­стран­стве $V$. Изу­че­ние свойств пред­став­ле­ний со­став­ля­ет пред­мет тео­рии ли­ней­ных пред­став­ле­ний групп (см. Пред­став­ле­ний групп тео­рия). Разл. во­про­сы ана­ли­ти­че­ской гео­мет­рии с по­мо­щью ме­то­да ко­ор­ди­нат сво­дят­ся к за­да­чам ли­ней­ной ал­геб­ры. Ес­те­ст­вен­ным обоб­ще­ни­ем по­ня­тия век­тор­но­го про­стран­ст­ва над по­лем $K$ яв­ля­ет­ся по­ня­тие мо­ду­ля. Мно­гие осн. тео­ре­мы Л. а. не спра­вед­ли­вы для мо­ду­лей, од­на­ко тео­рию мо­ду­лей так­же ино­гда вклю­ча­ют в ли­ней­ную ал­геб­ру.

Лит.: Маль­цев А. И. Ос­но­вы ли­ней­ной ал­геб­ры. 4-е изд. М., 2005; Иль­ин В. А., По­зняк Э. Г. Ли­ней­ная ал­геб­ра. 6-е изд. М., 2007; Ко­ст­ри­кин А. И., Ма­нин ЮИ. Ли­ней­ная ал­геб­ра и гео­мет­рия. 4-е изд. М., 2008; Ку­рош А. Г. Курс выс­шей ал­геб­ры. 17-е изд. СПб., 2008; Гель­фанд И. М. Лек­ции по ли­ней­ной ал­геб­ре. 6-е изд. М., 2009.

Вернуться к началу