Подпишитесь на наши новости
Вернуться к началу с статьи up
 

ДИНАМИ́ЧЕСКАЯ СИСТЕ́МА

  • рубрика

    Рубрика: Физика

  • родственные статьи
  • image description

    В книжной версии

    Том 9. Москва, 2007, стр. 12-13

  • image description

    Скопировать библиографическую ссылку:




Авторы: В. С. Афраймович, М. И. Рабинович

ДИНАМИ́ЧЕСКАЯ СИСТЕ́МА, ма­те­ма­тич. мо­дель эво­лю­ции ре­аль­ной (фи­зи­че­ской, био­ло­ги­че­ской, эко­но­ми­че­ской и др.) сис­те­мы, со­стоя­ние ко­то­рой в лю­бой мо­мент вре­ме­ни од­но­знач­но оп­ре­де­ля­ет­ся её на­чаль­ным со­стоя­ни­ем.

Историческая справка

Ос­но­ва­те­ли тео­рии Д. с. – А. Пу­ан­ка­ре и А. М. Ля­пу­нов. В кон. 19 – нач. 20 вв. они об­на­ру­жи­ли и ис­сле­до­ва­ли класс за­дач (в не­бес­ной ме­ха­ни­ке, в тео­рии фи­гур рав­но­ве­сия вра­щаю­щей­ся жид­ко­сти и т. д.), в ко­то­рых не­об­хо­ди­мо бы­ло знать по­ве­де­ние не од­но­го от­дель­но взя­то­го ре­ше­ния $х(t)$ сис­те­мы обык­но­вен­ных диф­фе­рен­ци­аль­ных урав­не­ний (ОДУ), а всех (или очень мно­гих) ре­ше­ний, со­от­вет­ст­вую­щих разл. на­чаль­ным со­стоя­ни­ям ре­аль­ной (напр., фи­зич.) сис­те­мы. В этом слу­чае $x(t)$ мож­но пред­ста­вить как кри­вую в про­стран­ст­ве все­воз­мож­ных со­стоя­ний (т. е. зна­че­ний век­то­ров $x$) и вос­поль­зо­вать­ся гео­мет­рич. свой­ст­ва­ми этой кри­вой для по­ни­ма­ния и опи­са­ния свойств ре­ше­ния $x(t)$. Та­кая кри­вая на­зы­ва­ет­ся фа­зо­вой тра­ек­то­ри­ей.

В 1-й тре­ти 20 в. тео­рия Д. с. раз­ви­ва­лась в ра­бо­тах ря­да ма­те­ма­ти­ков. Наи­боль­шее зна­че­ние име­ли ра­бо­ты А. А. Ан­д­ро­но­ва, ко­то­рый осоз­нал и по­ка­зал на важ­ных при­ме­рах, что тео­рия Д. с. эф­фек­тив­на для ис­сле­до­ва­ния не­ли­ней­ных про­цес­сов в при­ро­де и в ла­бо­ра­то­рии. К это­му вре­ме­ни ста­ла по­нят­на не­об­хо­ди­мость изу­че­ния не­ли­ней­ных за­дач, т. к. ли­ней­ный ма­те­ма­тич. ап­па­рат час­то не в со­стоя­нии опи­сать ре­аль­ные про­цес­сы. Ан­д­ро­нов опи­сал ав­то­ко­ле­ба­ния с по­мо­щью пре­дель­ных цик­лов Пу­ан­ка­ре и очер­тил кон­ту­ры но­вой нау­ки – не­ли­ней­ной ди­на­ми­ки. Вме­сте с Л. С. Пон­тря­ги­ным он ввёл по­ня­тие гру­бой сис­те­мы, не­чув­ст­ви­тель­ной к ма­лым из­ме­не­ни­ям па­ра­мет­ров. Та­кая сис­те­ма не ме­ня­ет рез­ко свойств при ма­лых из­ме­не­ни­ях па­ра­мет­ров, т. е. её со­стоя­ния до и по­сле из­ме­не­ния па­ра­мет­ров то­по­ло­ги­че­ски то­ж­де­ст­вен­ны (эк­ви­ва­лент­ны). Гру­бые сис­те­мы за­пол­ня­ют от­кры­тые об­лас­ти в функ­цио­наль­ном про­стран­ст­ве всех Д. с. Вне этих об­лас­тей и, в ча­ст­но­сти, на их гра­ни­цах ле­жат не­гру­бые сис­те­мы. Про­ход че­рез гра­ни­цу со­про­во­ж­да­ет­ся би­фур­ка­ци­ей – сме­ной струк­ту­ры Д. с. В се­мей­ст­ве Д. с., за­ви­ся­щих от па­ра­мет­ра, зная струк­ту­ру Д. с. при на­чаль­ном зна­че­нии па­ра­мет­ра и все би­фур­ка­ции, мож­но од­но­знач­но пред­ска­зать её струк­ту­ру при ко­неч­ном зна­че­нии па­ра­мет­ра.

Во 2-й пол. 20 в. Д. В. Ано­сов, В. И. Ар­нольд, Р. Боу­эн, Р. Ма­не, Я. Г. Си­най, С. Смейл, С. Хая­си, Л. П. Шиль­ни­ков и др. раз­ви­ли идеи Ан­д­ро­но­ва и соз­да­ли глу­бо­кую и строй­ную тео­рию Д. с., ко­то­рая да­ёт вер­ные пред­став­ле­ния о при­ро­де де­тер­ми­ни­ст­ских про­цес­сов и по­зво­ля­ет ис­сле­до­вать мо­де­ли ре­аль­ных сис­тем.

Характеристики динамической системы

Оп­ре­де­ле­ние Д. с. вклю­ча­ет в се­бя про­стран­ст­во со­стоя­ний {${x}$} и за­ви­ся­щий от вре­ме­ни $t$ опе­ра­тор (за­кон) эво­лю­ции φt, по ко­то­ро­му сис­те­ма из на­чаль­но­го со­стоя­ния $x_0$ при­хо­дит в со­стоя­ние $х_t$ в мо­мент вре­ме­ни $t$. Со­стоя­ние Д. с. опи­сы­ва­ют на­бо­ром пе­ре­мен­ных $x$, вы­би­рае­мых из со­об­ра­же­ний ес­те­ст­вен­но­сти их ин­тер­пре­та­ции, про­сто­ты опи­са­ния, сим­мет­рии и т. п. Мно­же­ст­во со­стоя­ний (фаз) Д. с. об­ра­зу­ет фа­зо­вое про­стран­ст­во, в ко­то­ром ка­ж­до­му со­стоя­нию от­ве­ча­ет точ­ка, а эво­лю­ция изо­бра­жа­ет­ся дви­же­ни­ем точ­ки по фа­зо­вой тра­ек­то­рии – кри­вой, вло­жен­ной в фа­зо­вое про­стран­ст­во. Напр., дви­же­ние $n$ час­тиц под дей­ст­ви­ем сил при­тя­же­ния опи­сы­ва­ет­ся в фа­зо­вом про­стран­ст­ве мно­же­ст­вом всех на­бо­ров ко­ор­ди­нат и ско­ро­стей этих час­тиц, а опе­ра­тор эво­лю­ции оп­ре­де­ля­ет­ся ре­ше­ни­ем со­от­вет­ст­вую­щей сис­те­мы ОДУ.

Осо­бен­но­сти эво­лю­ции сис­те­мы про­яв­ля­ют­ся в ти­пе фа­зо­вых тра­ек­то­рий. В ча­ст­но­сти, со­стоя­нию рав­но­ве­сия Д. с. со­от­вет­ст­ву­ет вы­ро­ж­ден­ная тра­ек­то­рия – точ­ка в фа­зо­вом про­стран­ст­ве, пе­рио­ди­ческому дви­же­нию – замк­ну­тая кри­вая, квази­пе­рио­дическому дви­же­нию, имею­ще­му в спек­тре $m$ ба­зо­вых час­тот, – кри­вая на $m$-мер­ном то­ре, вло­жен­ном в фа­зо­вое про­стран­ство. Ста­цио­нар­но­му ре­жи­му (ус­та­но­вив­ше­му­ся дви­же­нию) дис­си­па­тив­ной сис­те­мы со­от­вет­ст­ву­ет ат­трак­тор – мно­же­ст­во тра­ек­то­рий, при­тя­ги­ваю­щих к се­бе все близ­кие тра­ек­то­рии. Ус­та­но­вив­шим­ся пе­рио­дич. ко­ле­ба­ни­ям со­от­вет­ст­ву­ет пре­дель­ный цикл – изо­ли­ро­ван­ная (в фа­зо­вом про­стран­ст­ве) замк­ну­тая тра­ек­то­рия; хао­тич. ав­то­ко­ле­ба­ни­ям от­ве­ча­ет обыч­но стран­ный ат­трак­тор – при­тя­ги­ваю­щее мно­же­ст­во, со­стоя­щее из не­ус­той­чи­вых тра­ек­то­рий.

По ха­рак­те­ру урав­не­ний и ме­то­дам ис­сле­до­ва­ний Д. с. де­лят на ко­неч­но­мер­ные (с ко­неч­но­мер­ным фа­зо­вым про­стран­ст­вом) и бес­ко­неч­но­мер­ные (рас­пре­де­лён­ные). Ко­неч­но­мер­ные Д. с. мож­но под­раз­де­лить на кон­сер­ва­тив­ные и дис­си­па­тив­ные, что со­от­вет­ст­ву­ет разл. фи­зич. при­ро­де ре­аль­ных сис­тем. Кон­сер­ва­тив­ные Д. с. – это сис­те­мы с со­хра­няю­щим­ся фа­зо­вым объ­ё­мом. Их об­ра­зу­ют га­миль­то­но­вы сис­те­мы с не за­ви­ся­щей от вре­ме­ни функ­ци­ей Га­миль­то­на. У дис­си­па­тив­ных сис­тем фа­зо­вый объ­ём не со­хра­ня­ет­ся, в их фа­зо­вом про­стран­ст­ве су­ще­ст­ву­ет ог­ра­ни­чен­ная об­ласть (шар дис­си­па­ции), в ко­то­рую по­па­да­ет на­все­гда точ­ка на лю­бой тра­ек­то­рии.

Рис. 1. Устойчивая и неустойчивая сепаратрисы седлового состояния равновесия О.

Д. с. мож­но так­же под­раз­де­лить на сис­те­мы с не­пре­рыв­ным и дис­крет­ным вре­ме­нем. Д. с. с не­пре­рыв­ным вре­ме­нем за­да­ёт­ся обыч­но сис­те­мой ОДУ $x=f(x)$ ($x$ – ска­ляр­ная ли­бо век­тор­ная ве­ли­чи­на, точ­кой обо­зна­че­но диф­фе­рен­ци­ро­ва­ние по вре­ме­ни), в ко­то­рой для ка­ж­дой на­чаль­ной точ­ки $x$ име­ет­ся един­ст­вен­ное ре­ше­ние. Со­стоя­ние рав­но­ве­сия $x_0$ та­кой Д. с. оп­ре­де­ля­ет­ся из урав­не­ния $f(x_0)=0$. По­ве­де­ние в ок­ре­ст­но­сти со­стоя­ния рав­но­ве­сия $О$ за­ви­сит от свойств ли­неа­ри­зо­ван­ной вбли­зи О сис­те­мы, а имен­но от кор­ней λ1, λ2, …, λn ха­рак­те­ристич. урав­не­ния $det[𝜕f_i/𝜕x_j-λδij]= 0$,где δij – сим­вол Кро­не­ке­ра. Пусть Re λот­ри­ца­тель­ны для р и по­ло­жи­тель­ны для q кор­ней, при­чём p+q=n. Ес­ли р=n (q=n), точ­ка О на­зы­ва­ет­ся ус­той­чи­вым (не­ус­той­чи­вым) уз­лом. Близ­кие к этой точ­ке в фа­зо­вом про­стран­ст­ве тра­ек­то­рии при­тя­ги­ва­ют­ся к ней в слу­чае ус­той­чи­во­го уз­ла, ко­гда вре­мя t→+$\infty$, а в слу­чае не­ус­той­чи­во­го уз­ла – при t→-$\infty$. Ес­ли p≠0, q≠0, точ­ка О на­зы­ва­ет­ся сед­лом. Че­рез неё про­хо­дят две по­верх­но­сти: р-мер­ная и q-мер­ная , на­зы­вае­мые ус­той­чи­вым и не­ус­той­чи­вым мно­го­об­ра­зи­я­ми сед­ла O, а так­же ус­той­чи­вой и не­ус­той­чи­вой се­па­рат­ри­са­ми. Эти по­верх­но­сти об­ра­зо­ва­ны тра­ек­то­рия­ми, стре­мя­щи­ми­ся к О при t→+$\infty$ и t→-$\infty$ со­от­вет­ст­вен­но. Ос­таль­ные тра­ек­то­рии ухо­дят из сед­ла при t→±$\infty$ (рис. 1). Тра­ек­то­рия, ле­жа­щая од­но­вре­мен­но в $W_O^sW_O^u$ (и не сов­па­даю­щая с О), на­зы­ва­ет­ся го­мок­ли­ни­че­ской или пет­лёй се­па­рат­ри­сы сед­ла. В од­но­мер­ных мо­де­лях не­пре­рыв­ной сре­ды го­мок­ли­нич. тра­ек­то­рии от­ве­ча­ет ста­цио­нар­ная бе­гу­щая вол­на в фор­ме со­лито­на.

Рис. 2. Устойчивая и неустойчивая сепаратрисы седлового периодического движения L в случае положительных мультипликаторов.

Пе­рио­дич. ре­ше­ние $x=p(t)$ сис­те­мы $x=f(x)$ име­ет сле­дую­щее свой­ст­во: $p(t)=p(t+T)$ для лю­бо­го $t$, где $T$ – пери­од. Это­му ре­ше­нию со­от­вет­ст­ву­ет замк­ну­тая тра­ек­то­рия $L$ в фа­зо­вом про­стран­ст­ве. По­ве­де­ние тра­ек­то­рий в ок­ре­ст­но­сти пе­рио­дич. тра­ек­то­рии $L$ ха­рак­те­ри­зу­ет­ся муль­ти­п­ли­ка­то­ра­ми $γ_1, …, γ_n$, ко­то­рые на­хо­дят­ся с по­мо­щью ре­ше­ний ли­неа­ри­зо­ван­ной на $L$ сис­те­мы. Один из них, напр. $γ_n$, все­гда ра­вен 1. Ес­ли $|\gamma_i|<1(|\gamma_i|>1)$для всех $i=1,2,...,n-1$, то траектория $L$ устойчива (неустойчива). Если $p$ мультипликаторов лежат внутри, а $q$ – вне единичного круга комплексной плоскости, $p+q=n-1$, то $L$ – траектория седлового типа. Она лежит в пересечении двух поверхностей: $p+1$-мерной $W^s_L$ и $q+1$-мерной $W_L^u$ (устойчивой и неустойчивой сепаратрис). Поверхность $W^s_L(W_L^u)$ состоит из траекторий, стремящихся к $L$ при $t→+\infty (t→-\infty)$. При $n$=3 и $p=q=1$ по­верх­ность $W^s_L(W_L^u)$ то­по­ло­ги­че­ски экви­ва­лент­на ци­лин­д­ру, ес­ли муль­ти­п­ли­ка­тор $γ$ по­ло­жи­те­лен и боль­ше 1 (рис. 2).

Рис. 3. Отображение Пуанкаре по траекториям, проходящим в окрестности седлового периодического движения.

 

По­ве­де­ние тра­ек­то­рий в ок­ре­ст­но­сти $L$ изу­ча­ют, рас­смат­ри­вая их сле­ды на ($n$-1)-мер­ной по­верх­но­сти $D$, пе­ре­се­каю­щей (без ка­са­ния) $L$ и близ­кие к ней тра­ек­то­рии. Ес­ли точ­ка $m_0$ на $D$ дос­та­точ­но близ­ка к $L$, то тра­ек­то­рия, про­хо­дя­щая че­рез $m_0$, пе­ре­се­ка­ет $D$ в дру­гой точ­ке $m$, на­зы­вае­мой ото­бра­же­ни­ем по­сле­до­ва­ния (ото­бра­же­ни­ем Пу­ан­ка­ре) (рис. 3). Ли­неа­ри­за­ция ото­бра­же­ния Пу­ан­ка­ре в точ­ке пе­ре­се­че­ния $L$ с $D$ опи­сы­ва­ет­ся мат­ри­цей Яко­би. Её соб­ст­вен­ные зна­че­ния $γ_1, ..., γ_{n–1}$ яв­ляют­ся муль­ти­п­ли­ка­то­ра­ми замк­ну­той тра­ек­то­рии $L$.

Ус­той­чи­вые и не­ус­той­чи­вые мно­го­об­ра­зия пе­рио­дич. тра­ек­то­рий мо­гут пе­ре­се­кать­ся. Тра­ек­то­рия, при­над­ле­жа­щая пе­ре­се­че­нию и и от­лич­ная от L, яв­ля­ет­ся го­мок­ли­ни­че­ской. Ес­ли это пе­ре­се­че­ние про­ис­хо­дит без ка­са­ния, то в ок­ре­ст­но­сти го­мок­ли­нич. тра­ек­то­рий име­ет­ся мно­же­ст­во раз­но­об­раз­ных не­ус­той­чи­вых тра­ек­то­рий, сре­ди ко­то­рых со­дер­жит­ся бес­ко­неч­ное мно­же­ст­во замк­ну­тых тра­ек­то­рий сед­ло­во­го ти­па. По­доб­ное мно­же­ст­во тра­ек­то­рий ти­пич­но для Д. с. с хао­тич. ди­на­ми­кой. Т. о., на­ли­чие го­мок­ли­нич. тра­ек­то­рий мо­жет слу­жить кри­те­ри­ем су­ще­ст­во­ва­ния хао­тич. ре­жи­мов в Д. с. (см. Ди­на­ми­че­ский ха­ос).

Д. с. с дис­крет­ным вре­ме­нем обыч­но за­да­ют­ся ото­бра­же­ни­ем $G$ фа­зо­во­го про­стран­ст­ва в се­бя: $x_{n+1}=G(x_n)$. То­гда эволю­ци­он­ный опе­ра­тор $φ^t$$t=m$, – про­сто $m$ раз при­ме­нён­ное ото­бра­же­ние $G$$φ^nx=G(G(...G(x)...))$. Напр., про­стей­шая мо­дель ди­на­ми­ки по­пу­ля­ций опи­сы­ва­ет плот­ность чис­ла чле­нов $(n+1)$-й ге­не­ра­ции, $x_{n+1}$, как функ­цию чис­ла $х_n$ пре­ды­ду­щей ге­не­ра­ции: $x_{n+1}=ax_n-bx_n^2,a,b>0$ – па­ра­мет­ры за­да­чи. В за­ви­си­мо­сти от зна­че­ний $а$ и $b$ эта Д. с. мо­жет де­мон­ст­ри­ро­вать ли­бо ре­гу­ляр­ную (все ат­трак­то­ры – пе­рио­дич. тра­ек­то­рии), ли­бо хао­тич. ди­на­ми­ку.

 

 

Ото­бра­же­ние Пу­ан­ка­ре фак­ти­че­ски оп­ре­де­ля­ет сис­те­му с дис­крет­ным вре­ме­нем. Напр., Д. с., опи­сы­ваю­щие дей­ст­вие пе­рио­дич. воз­му­ще­ния на сис­те­му ОДУ, ко­то­рые мож­но за­пи­сать в ви­де

$x=f(x,θ), θ=ω$, где $f$ – пе­рио­ди­че­ская по $θ$ век­тор-функ­ция, все­гда по­ро­ж­да­ют ото­бра­же­ние Пу­ан­ка­ре. Для та­ких сис­тем су­ще­ст­ву­ет гло­баль­ная се­ку­щая по­верх­ность Пу­ан­ка­ре $θ$=0, ко­то­рую каж­дая тра­ек­то­рия пе­ре­се­ка­ет бес­ко­неч­ное чис­ло раз. По­ве­де­ние тра­ек­то­рий в сис­те­ме с не­пре­рыв­ным вре­ме­нем пол­но­стью оп­ре­де­ля­ет­ся Д. с. с дис­крет­ным вре­ме­нем.

Важ­ная часть тео­рии Д. с. – эр­го­ди­че­ская тео­рия, ко­то­рая опи­сы­ва­ет ста­ти­стич. свой­ст­ва тра­ек­то­рий. Ес­ли они не­ус­той­чи­вы, точ­ки на раз­ных тра­ек­то­ри­ях рас­хо­дят­ся в про­цес­се эво­лю­ции на су­ще­ст­вен­ное рас­стоя­ние друг от дру­га, не­смот­ря на бли­зость на­чаль­ных со­стоя­ний, сис­те­ма де­мон­ст­ри­ру­ет «чув­ст­ви­тель­ную за­ви­си­мость» от на­чаль­ных ус­ло­вий. (За­ме­тим, что имен­но с не­ус­той­чи­во­стью тра­ек­то­рий свя­за­на не­воз­мож­ность дол­го­сроч­но­го пред­ска­за­ния по­го­ды.) По­сколь­ку не­воз­мож­но оп­ре­де­лить на­чаль­ное со­стоя­ние с бес­ко­неч­ной точ­но­стью (все­гда су­ще­ст­ву­ют мель­чай­шие ошиб­ки из­ме­ре­ния или за­по­ми­на­ния), не­об­хо­ди­мо изу­чать по­ве­де­ние не отд. тра­ек­то­рий, а пуч­ков тра­ек­то­рий, про­хо­дя­щих сквозь «пят­но» на­чаль­ных ус­ло­вий. Эти тра­ек­то­рии мо­гут об­ла­дать разл. свой­ст­ва­ми, и раз­но­об­ра­зие этих свойств мож­но опи­сать в тер­ми­нах ве­ро­ят­но­ст­ных рас­пре­де­ле­ний. А. Пу­ан­ка­ре пер­вым вы­ска­зал в ка­че­ст­вен­ной фор­ме мысль, что при не­ус­той­чи­во­сти тра­ек­то­рий Д. с. речь мо­жет ид­ти об их ста­ти­стич. свой­ст­вах та­ко­го же ха­рак­те­ра, ка­кие к то­му вре­ме­ни уже упо­ми­на­лись в ра­бо­тах Л. Больц­ма­на и Дж. У. Гиб­бса по ста­ти­стич. ме­ха­ни­ке. По­доб­ные идеи бы­ли реа­ли­зо­ва­ны в эр­го­ди­че­ской тео­рии и ус­пеш­но осу­ще­ст­в­ля­ют роль «мос­та» ме­ж­ду де­тер­ми­ни­ро­ван­ным и слу­чай­ным «ми­ра­ми».

С по­мо­щью тео­рии Д. с. изу­че­ны и объ­яс­не­ны многие не­ли­ней­ные яв­ле­ния в при­ро­де и тех­ни­ке, та­кие как ди­на­ми­че­ский ха­ос, син­хро­ни­за­ция пе­рио­дич. и хао­тич. ко­ле­ба­ний, об­ра­зо­ва­ние дис­си­па­тив­ных струк­тур, про­стран­ст­вен­но-вре­мен­ной ха­ос в мо­де­лях рас­пре­де­лён­ных сис­тем, кон­ку­рен­ция мод в ней­рон­ных се­тях моз­га и т. д.

Лит.: Ка­че­ст­вен­ная тео­рия ди­на­ми­че­ских сис­тем вто­ро­го по­ряд­ка. М., 1967; Корн­фельд И. П., Си­най ЯГ., Фо­мин С. В. Эр­го­ди­че­ская тео­рия. М., 1980; Ито­ги нау­ки и тех­ни­ки. Сер. Со­вре­мен­ные про­бле­мы ма­те­ма­ти­ки. Фун­да­мен­таль­ные на­прав­ле­ния. М., 1985–1991. [Т. 1–9]: Ди­на­ми­че­ские сис­те­мы; Ка­ток А., Хас­сельб­латт Б. Вве­де­ние в со­вре­мен­ную тео­рию ди­на­ми­че­ских сис­тем. М., 1999.

Вернуться к началу