АВТОКОЛЕБА́НИЯ

Рис. 1. Энеретическая схема установления автоколебаний. Режим с интенсивностью $I^*_2$ устойчив: если $I$ растет, диссипация $Q$ преобладает над притоком энергии $W$, в результате интенсивность авто...

АВТОКОЛЕБА́НИЯ, под­дер­жи­ваю­щие­ся за счёт внеш­не­го ис­точ­ни­ка энер­гии ко­ле­ба­ния в фи­зи­ческих, био­ло­ги­че­ских и др. сис­те­мах, па­рамет­ры ко­то­рых (ам­пли­ту­да, час­то­та, спектр ко­ле­ба­ний) оп­ре­де­ля­ют­ся свой­ст­ва­ми са­мой сис­те­мы и не за­ви­сят от ко­неч­но­го из­ме­не­ния на­чаль­ных ус­ло­вий. Сис­те­мы, в ко­то­рых воз­ни­ка­ют А., на­зы­ва­ют­ся ав­то­ко­ле­ба­тель­ны­ми. А. мо­гут быть пе­рио­ди­че­ски­ми, т. е. точ­но вос­про­из­во­дя­щи­ми се­бя че­рез пе­ри­од $T=1/f$, где $f$ – час­то­та А., или хао­ти­че­ски­ми, т. е. не­ре­гу­ляр­ны­ми (слу­чай­ны­ми). Спектр час­тот та­ких А. сплош­ной, а их ста­ти­стич. свой­ст­ва не ме­ня­ют­ся во вре­ме­ни (см. Ха­ос).

А. воз­ни­ка­ют в сис­те­ме про­из­воль­ной при­ро­ды в ре­зуль­та­те раз­ви­тия ко­ле­батель­ных не­ус­той­чи­во­стей с их по­сле­дую­щей ста­би­ли­за­ци­ей из-за пре­кра­ще­ния по­сту­п­ле­ния энер­гии от ис­точ­ни­ка или про­грес­си­рую­ще­го воз­рас­та­ния по­терь энер­гии (дис­си­па­ции). Для ус­та­но­вив­ших­ся А. ха­рак­те­рен сред­ний по вре­ме­ни ба­ланс по­терь и под­кач­ки энер­гии: по­те­ри энер­гии $Q(I)$ ($I$ – ин­тен­сив­ность А.) долж­ны ком­пен­си­ро­вать­ся по­сту­п­ле­ни­ем энер­гии $W(I)$ от ис­точ­ни­ка, т. е. $Q(I^*)=W(I^*)$. Ес­ли в ок­ре­ст­но­сти ста­цио­нар­но­го ре­жи­ма $I^*$ энер­гия по­терь при уве­ли­че­нии ин­тен­сив­но­сти А. рас­тёт бы­ст­рее, чем при­ток энер­гии, то этот ре­жим с энер­ге­тич. точ­ки зре­ния ус­той­чив; ес­ли же бы­ст­рее уве­ли­чи­ва­ется $W(I)$, то ста­цио­нар­ный ре­жим не­ус­той­чив (рис. 1). Уже из та­ко­го ус­ред­нён­но­го опи­са­ния вид­но, что ус­та­нов­ле­ние А. воз­мож­но лишь в дис­си­па­тив­ных не­ли­ней­ных сис­те­мах.

Рис. 2. Электрический прерыватель (звонок): А – пружинка с молоточком; В – железный сердечник электромагнита; С – ключ (кнопка звонка); D – батарея; Е – регулятор.

Тер­мин «А.» вве­дён А. А. Ан­д­ро­но­вым в 1928. Дос­та­точ­но пол­ная тео­рия А. по­строе­на в 20 в. в ра­бо­тах Анд­ро­но­ва, А. Пу­ан­ка­ре, голл. учё­но­го Б. Ван дер По­ля и др. Изо­бре­тён­ный в 19 в. элек­трич. пре­ры­ва­тель (зво­нок) – про­стей­ший при­мер ав­то­ко­ле­ба­тель­ной сис­те­мы (рис. 2): при вклю­че­нии ба­та­реи в цепь пи­та­ния ка­туш­ки же­лез­ный сер­деч­ник ста­но­вит­ся маг­ни­том и при­тя­ги­ва­ет мо­ло­то­чек. Цепь пи­та­ния раз­мы­ка­ет­ся, сер­деч­ник пе­ре­ста­ёт быть маг­ни­том, и пру­жин­ка воз­вра­ща­ет мо­ло­то­чек в ис­ход­ное со­стоя­ние. Цепь пи­та­ния вновь за­мы­ка­ет­ся, и про­цесс цик­ли­че­ски по­вто­ря­ет­ся. Как и во мн. др. сис­те­мах с А., не­ус­той­чи­вость рав­но­вес­но­го со­стоя­ния здесь свя­за­на с на­ли­чи­ем об­рат­ной связи – за­ви­ся­щее от си­лы при­тя­же­ния сер­деч­ни­ка по­ло­же­ние мо­ло­точ­ка управ­ля­ет це­пью пи­та­ния сер­деч­ни­ка. Час­то­ту уда­ров мо­ло­точ­ка мож­но ре­гу­ли­ро­вать, из­ме­няя, напр., жё­ст­кость пру­жин­ки.

По­ве­де­ние ав­то­ко­ле­ба­тель­ной сис­те­мы удоб­но пред­ста­вить в про­стран­ст­ве со­стоя­ний (фа­зо­вом про­стран­ст­ве), ко­ор­ди­на­ты которого – пе­ре­мен­ные сис­те­мы, напр. ток в ка­туш­ке элек­трич. пре­ры­ва­те­ля и угол от­кло­не­ния мо­ло­точ­ка. Со­стоя­нию сис­те­мы в дан­ный мо­мент вре­ме­ни от­ве­ча­ет точ­ка в фа­зо­вом про­стран­ст­ве. Эво­лю­ции сис­те­мы со­от­вет­ст­ву­ет дви­же­ние та­кой точ­ки по тра­ек­то­рии, на­зы­вае­мой фа­зо­вой. Гео­мет­рич. об­ра­зом ус­та­но­вив­ших­ся А. в фа­зо­вом про­стран­ст­ве слу­жит аттрактор – тра­ек­то­рия (или мно­же­ст­во тра­ек­то­рий), рас­по­ло­жен­ная в ог­ра­ни­чен­ной об­лас­ти фа­зо­во­го про­стран­ст­ва и при­тя­ги­ваю­щая к се­бе все близ­кие тра­ек­то­рии. В сис­те­ме с од­ним (гло­баль­ным) ат­трак­то­ром свой­ст­ва ус­та­но­вив­ших­ся А. не за­ви­сят от на­чаль­ных условий – со вре­ме­нем сис­те­ма их за­бы­ва­ет. Это про­ис­хо­дит тем бы­ст­рее, чем силь­нее дис­си­па­ция энер­гии в сис­те­ме. Ат­трак­тор, от­ве­чаю­щий пе­рио­ди­че­ским А., – это пре­дель­ный цикл – при­тя­ги­ваю­щая замк­ну­тая тра­ек­то­рия (рис. 3). Об­ра­зом хао­ти­че­ских А. яв­ля­ет­ся стран­ный аттрактор – при­тя­ги­ваю­щее мно­же­ст­во из не­ус­той­чи­вых тра­ек­то­рий.

Рис. 3. (а) Предельный цикл – геометрический образ установившихся периодических автоколебаний; (б) разница между установившимися автоколебаниями и близкими движениями системы уменьшается со временем.

Для мно­гих хи­мич., био­ло­гич. и эко­но­мич. сис­тем ха­рак­тер­ны кон­цен­тра­ци­он­ные А. – ко­ле­ба­ния чис­лен­но­сти био­ло­гич. по­пу­ля­ций, объ­ё­мов про­из­вод­ст­ва и пр. Та­кие А. опи­сы­ва­ют­ся ки­не­тич. урав­не­ния­ми, в ко­то­рых учи­ты­ва­ет­ся рост и ста­би­ли­за­ция чис­лен­но­сти внут­ри од­но­го ви­да, а так­же взаи­мо­дей­ст­вие ме­ж­ду ви­да­ми, пи­таю­щи­ми­ся из об­ще­го ис­точ­ни­ка. Ти­пич­ный ме­ха­низм за­ро­ж­де­ния кон­цен­тра­ци­он­ных А. – кон­ку­рен­ция. При этом «по­бе­да» для ка­ж­до­го из уча­ст­ни­ков мо­жет ока­зать­ся лишь вре­мен­ной, и в ре­зуль­та­те по­сле­до­ва­тель­ной сме­ны «по­бе­ди­те­лей» ус­та­нав­ли­ва­ют­ся А. В хи­мич. ре­ак­ции та­кая сме­на «по­бе­ди­те­лей» мо­жет со­про­во­ж­дать­ся пуль­са­ция­ми ок­ра­ски жид­кой ре­ак­ци­он­ной сме­си. Напр., при взаи­мо­дей­ст­вии ма­ло­но­вой ки­сло­ты с бро­ма­том ка­лия и др. реа­ген­та­ми в при­сут­ст­вии фер­ро­ина (ре­ак­ция Белоусова – Жа­бо­тин­ско­го) цвет рас­тво­ра цик­ли­че­ски ме­ня­ет­ся во вре­ме­ни от го­лу­бо­го до крас­но­го. Ес­ли чис­ло кон­ку­ри­рую­щих ви­дов дос­та­точ­но ве­ли­ко, кон­цен­тра­ци­он­ные А. мо­гут быть как ре­гу­ляр­ны­ми, так и хао­ти­че­ски­ми.

Хао­ти­чес­кие А. на­блю­да­ют­ся, напр., при тер­мо­кон­век­ции вяз­кой жид­ко­сти, за­клю­чён­ной в вер­ти­каль­но рас­по­ло­жен­ную коль­це­вую тру­бу. При по­дог­ре­ве сни­зу тё­п­лая жид­кость под­ни­ма­ет­ся вверх, вы­тес­няя бо­лее хо­лод­ную жид­кость вниз. Жид­кость на­чи­на­ет вра­щать­ся. Ес­ли по­дог­рев уве­ли­чить, ско­рость вра­ще­ния воз­рас­та­ет, под­няв­шая­ся на­верх жид­кость не ус­пе­ва­ет ос­тыть и вра­ще­ние на ка­кой-то мо­мент пре­кра­ща­ет­ся; по­сле ос­та­нов­ки, в си­лу сим­мет­рии сис­те­мы, жид­кость мо­жет на­чать вра­щать­ся и по ча­со­вой стрел­ке, и про­тив. По­доб­ные пе­ре­клю­че­ния на­прав­ле­ния вра­ще­ния не­ре­гу­ляр­ны (ре­жим пе­рио­дич. пуль­са­ций ско­ро­сти не­ус­той­чив). Рас­смот­рен­ные А. опи­сыва­ют­ся мо­де­лью Ло­рен­ца (1963). В по­доб­ных си­сте­мах ха­ос по­яв­ля­ет­ся не в ре­зуль­та­те дей­ст­вия внеш­них шу­мов или внутр. флук­туа­ций, а оп­ре­де­ля­ет­ся соб­ст­вен­но ди­на­ми­кой не­ли­ней­ной сис­те­мы, вы­ра­жаю­щей­ся в не­ус­той­чи­во­сти ин­ди­ви­дуаль­ных дви­же­ний. Это в бу­к­валь­ном смысле – ге­не­ра­тор хаоса – ро­ж­де­ние слу­чай­но­го в не­слу­чай­ной сис­те­ме. Пред­ска­зать дви­же­ния та­кой сис­те­мы во вре­ме­ни воз­мож­но лишь в сред­нем.

А. на­блю­да­ют­ся и в про­тя­жён­ных сис­темах – не­рав­но­вес­ных сре­дах. Они мо­гут иметь вид спи­ра­лей или дву­мер­ных вих­рей, как в ре­ак­то­ре, где про­ис­хо­дит ав­то­ка­та­ли­тич. ре­ак­ция Белоусова – Жа­бо­тин­ско­го, или ло­ка­ли­зо­ван­ных со­стоя­ний, как в про­цес­сах го­ре­ния. А. с вы­ра­жен­ной про­стран­ст­вен­ной струк­ту­рой на­зы­ва­ют­ся ав­то­вол­на­ми или ав­то­струк­ту­ра­ми, что под­чёр­ки­ва­ет не­за­ви­си­мость их свойств от ус­ло­вий на гра­ни­цах сре­ды. Хао­ти­че­ские А. в не­рав­но­вес­ных средах – это тур­бу­лент­ность.

При на­ли­чии свя­зи ав­то­ко­ле­ба­тель­ных сис­тем мо­жет на­блю­дать­ся яв­ле­ние синхронизации – вза­им­ная под­строй­ка рит­мов пуль­са­ций, ге­не­ри­руе­мых взаи­мо­дей­ст­вую­щи­ми сис­те­ма­ми (см. Син­хро­ни­за­ция ко­ле­ба­ний и волн). Совр. ней­ро­фи­зио­ло­гич. экс­пе­ри­мен­ты по­ка­за­ли, что син­хро­ни­за­ция по­тен­циа­лов дей­ст­вия, ге­не­ри­руе­мых ней­ро­на­ми, на­блю­да­ет­ся в ко­ре го­лов­но­го моз­га и др. от­де­лах нерв­ной сис­те­мы жи­вот­ных и че­ло­ве­ка.

Тео­рия А. вклю­ча­ет в се­бя по­строе­ние ба­зо­вых мо­де­лей, по­зво­ляю­щих опи­сать ме­ха­низ­мы ро­ж­де­ния и ус­та­нов­ле­ния А. и оп­ре­де­лить их свой­ст­ва в за­ви­си­мо­сти от па­ра­мет­ров мо­де­ли, ис­сле­до­вать вза­им­ные транс­фор­ма­ции разл. ре­жи­мов А. – би­фур­ка­ции, воз­ни­каю­щие при из­ме­не­нии па­ра­мет­ров, и, т. о., пред­ска­зать все осн. дви­же­ния ав­то­ко­ле­батель­ной сис­те­мы. Мо­де­ли автоколебаний – это дис­си­па­тив­ные ­ди­на­ми­ческие сис­те­мы. Они оп­ре­де­ля­ют­ся урав­не­ния­ми (диф­фе­рен­ци­аль­ны­ми, раз­но­ст­ны­ми, в ча­ст­ных про­из­вод­ных и т. д.), до­пус­каю­щи­ми су­ще­ст­во­ва­ние на бес­ко­неч­ном ин­тер­ва­ле вре­ме­ни един­ст­вен­но­го ре­ше­ния для ка­ж­до­го на­чаль­но­го ус­ло­вия. Со­стоя­ние ди­на­мич. мо­де­ли опи­сы­ва­ет­ся на­бо­ром пе­ре­мен­ных, вы­би­рае­мых из со­об­ра­же­ний ес­те­ст­вен­но­сти ин­тер­пре­та­ции из­ме­ряе­мых ве­личин, про­сто­ты опи­са­ния, сим­мет­рии и т. п. Обыч­но вы­де­ля­ют мо­де­ли с не­пре­рыв­ным вре­ме­нем (по­то­ки) и мо­дели с дис­крет­ным вре­ме­нем (кас­ка­ды или ото­бра­же­ния). Дис­крет­ность вре­ме­ни час­то не про­сто удоб­на для по­строе­ния мо­де­ли, но и от­ра­жа­ет сущ­ность процесса – дис­крет­ность мо­мен­тов про­хо­ж­де­ния им­пуль­сов че­рез ак­тив­ную сре­ду в оп­тич. кван­то­вом ге­не­ра­то­ре, сме­на по­ко­ле­ний в ге­не­ти­ке и др. Вне гра­ниц би­фур­ка­ций ди­на­мич. мо­де­ли А. яв­ля­ют­ся гру­бы­ми (струк­тур­но ус­той­чи­вы­ми): при ма­лом из­ме­не­нии па­ра­мет­ров мо­де­ли её дви­же­ния ка­че­ст­вен­но не из­ме­ня­ют­ся. Имен­но по­это­му чис­ло ба­зо­вых мо­де­лей А. ко­неч­но.