СТРА́ННЫЙ АТТРА́КТОР

Странный аттрактор в системе Лоренца.

СТРА́ННЫЙ АТТРА́КТОР, при­тя­ги­ваю­щее мно­же­ст­во це­лых не­ус­той­чи­вых тра­ек­то­рий в фа­зо­вом про­стран­ст­ве ди­на­ми­че­ской сис­те­мы (ДС). К С. а. со вре­ме­нем при­бли­жа­ет­ся лю­бая точ­ка из его ок­ре­ст­но­сти или из фа­зо­во­го про­стран­ст­ва. Назв. «стран­ный» пред­ло­же­но в 1971 Д. Рю­элем (Фран­ция) и Ф. Та­кен­сом (Ни­дер­лан­ды) и свя­за­но с его слож­ным гео­мет­рич. уст­рой­ст­вом и фрак­таль­ной струк­ту­рой. Тра­ек­то­рии С. а. ус­той­чи­вы по од­ним и не­ус­той­чи­вы по др. локаль­ным ко­ор­ди­на­там, они чув­ст­ви­тель­ны к ма­лым на­чаль­ным воз­му­ще­ни­ям, бы­ст­ро на­рас­таю­щим во вре­ме­ни. По­сколь­ку С. а. со­хра­ня­ет свои свой­ст­ва и при ма­лых де­фор­ма­ци­ях ДС, он слу­жит ма­те­ма­тич. об­ра­зом ди­на­ми­че­ско­го хао­са, пред­став­ляю­ще­го со­бой сто­хас­ти­че­ские ко­ле­ба­ния ре­аль­ных де­тер­ми­ни­ро­ван­ных сис­тем (фи­зич., хи­мич., био­ло­гич. и др.), мо­де­ли­руе­мых диф­фе­рен­ци­аль­ны­ми урав­не­ния­ми и ото­бра­же­ния­ми.

Раз­ви­тию тео­рии ди­на­мич. хао­са по­слу­жи­ло от­кры­тие (С. Смейл, США, 1960) гру­бо­го бес­ко­неч­но­го мно­же­ст­ва не­блу­ж­даю­щих тра­ек­то­рий, оз­на­чав­шее воз­мож­ность су­ще­ст­во­ва­ния хао­тич. ко­ле­ба­ний в дис­си­па­тив­ных де­тер­ми­ни­ро­ван­ных сис­те­мах. Пер­вой кон­крет­ной сис­те­мой, в ко­то­рой бы­ло ус­та­нов­ле­но су­ще­ст­во­ва­ние С. а., ока­за­лась сис­те­ма Ло­рен­ца (вве­де­на в 1963 Э. Ло­рен­цем, США). Ат­трак­тор Ло­рен­ца (рис.) слу­жит ба­зо­вой мо­де­лью ди­на­мич. хао­са, так же как пре­дель­ный цикл Пу­ан­ка­ре – мо­де­лью ав­то­ко­ле­ба­ний.

Все С. а. мож­но раз­де­лить на 3 ти­па: ги­пер­бо­ли­че­ские, струк­ту­ра ко­то­рых не ме­ня­ет­ся во всех точ­ках ин­тер­ва­ла па­ра­мет­ра, ха­рак­те­ри­зую­ще­го де­фор­ма­ции ДС; син­гу­ляр­но-ги­пер­бо­ли­че­ские, струк­ту­ра ко­то­рых ме­ня­ет­ся толь­ко в точ­ках би­фур­ка­ций (чис­ло их, как пра­ви­ло, счёт­ное); ква­зи­ст­ран­ные – стран­ные не на ин­тер­ва­ле, а на то­чеч­ном мно­же­ст­ве па­ра­мет­ров (как пра­ви­ло, Кан­то­ра мно­же­ст­ве).

Для ги­пер­бо­лич. С. а. по­строе­на тео­рия ди­на­мич. хао­са (Я. Г. Си­най), вклю­чаю­щая в се­бя по­ло­жи­тель­ность эн­тро­пии, су­ще­ст­во­ва­ние ин­ва­ри­ант­ной ме­ры Си­ная – Боу­эна – Рю­эля, пе­ре­ме­ши­ва­ние и га­ус­со­во рас­пре­де­ле­ние от­кло­не­ний от С. а. По этой тео­рии ди­на­мич. ха­ос ни­чем не от­ли­ча­ет­ся от слу­чай­ных ко­ле­ба­ний, про­ис­хо­дя­щих в сис­те­мах с шу­мом. К ги­пер­бо­лич. С. а. от­но­сят­ся сис­те­мы Ано­со­ва, бил­ли­ар­ды Си­ная – Бу­ни­мо­ви­ча, С. а. Смей­ла – Виль­ям­са и др.

К С. а. син­гу­ляр­но-ги­пер­бо­ли­че­ско­го ти­па от­но­сят­ся ат­трак­тор Ло­рен­ца, струк­ту­ра ко­то­ро­го ме­ня­ет­ся при би­фур­ка­ци­ях го­мок­ли­нич. пе­тель сед­ла, ат­трак­то­ры Ло­зи и Бе­лых. Не­смот­ря на слож­ность этих С. а., ма­те­ма­тич. тео­рия хао­са для них по­строе­на. К С. а. 2-го ти­па от­но­сят­ся так­же т. н. ди­кие С. а., тра­ек­то­рии ко­то­рых име­ют не­ус­той­чи­вые мно­го­об­ра­зия раз­ной раз­мер­но­сти; их струк­ту­ра по­ка не изу­че­на.

К ква­зи­ст­ран­ным С. а. от­но­сят­ся ат­трак­то­ры в сис­те­мах с би­фур­ка­ция­ми го­мок­ли­нич. ор­бит и цик­лов (напр., с би­фур­ка­ция­ми Шиль­ни­ко­ва). При­ме­ры С. а. это­го ти­па – ат­трак­то­ры Эно и Рёсс­ле­ра. Су­ще­ст­ву­ют ат­трак­то­ры в ви­де мо­де­лей про­цес­сов в фи­зич., тех­нич., ней­рон­ных, эко­но­ми­че­ских и др. сис­те­мах, иден­ти­фи­ци­руе­мые как стран­ные чис­лен­но (не­точ­но из-за не­ус­той­чи­во­сти С. а.) по кри­те­ри­ям по­ло­жи­тель­но­сти стар­ше­го по­ка­за­те­ля Ля­пу­но­ва, не­пре­рыв­но­сти спек­тра ко­ле­ба­ний, по ви­ду фа­зо­вой кар­ти­ны и др.