КА́НТОРА МНО́ЖЕСТВО

КА́НТОРА МНО́ЖЕСТВО, со­вер­шен­ное мно­же­ст­во то­чек на пря­мой, не со­дер­жа­щее ни од­но­го от­рез­ка. По­строе­но Г. Кан­то­ром (1883) сле­дую­щим об­ра­зом (рис.): из от­рез­ка [0, 1] уда­ля­ет­ся ин­тер­вал (¹/₃, ²/₃), со­став­ляю­щий его сред­нюю треть; да­лее в ка­ж­дом из ос­тав­ших­ся от­рез­ков [0, ¹/₃] и [²/₃, 1] так­же уда­ля­ют­ся ин­тер­ва­лы, со­став­ляю­щие их сред­ние тре­ти; этот про­цесс уда­ле­ния ин­тер­ва­лов про­дол­жа­ет­ся не­ог­ра­ни­чен­но. К. м. на­зы­ва­ет­ся мно­же­ст­во то­чек от­рез­ка [0, 1], ос­тав­шее­ся по­сле уда­ле­ния этих ин­тер­ва­лов, оно име­ет мощ­ность кон­ти­нуу­ма, ну­ле­вую ме­ру Ле­бе­га (см. Ме­ра мно­же­ст­ва) и сов­па­да­ет с мно­же­ст­вом тех чи­сел, ко­то­рые за­пи­сы­ва­ют­ся с по­мо­щью тро­ич­ных дро­бей ви­да 0, $a_1$ $a_2 …$, где ка­ж­дая из цифр $a_1, a_2,…$ рав­на 0 или 2.