КОНТИ́НУУМ

КОНТИ́НУУМ (лат. continuum – не­пре­рыв­ное, сплош­ное), объект, об­ла­даю­щий оп­ре­де­лён­ны­ми свой­ст­ва­ми не­пре­рыв­но­сти. Тер­мин «К.» ис­поль­зу­ет­ся так­же для обо­зна­че­ния мощ­но­сти мно­же­ст­ва дей­ст­ви­тель­ных чи­сел.

Наи­бо­лее изу­чен­ным не­пре­рыв­ным объ­ек­том в ма­те­ма­ти­ке яв­ля­ет­ся мно­же­ст­во дей­ст­ви­тель­ных чи­сел, или чи­сло­вой К. Свой­ст­ва не­пре­рыв­но­сти мно­же­ст­ва дей­ст­ви­тель­ных чи­сел мо­гут быть оха­рак­те­ри­зо­ва­ны с по­мо­щью разл. ак­си­ом не­пре­рыв­но­сти. Ес­ли осн. по­ня­ти­ем счи­тать по­ня­тие не­ра­вен­ст­ва $(a\lt b)$, то не­пре­рыв­ность чи­сло­во­го К. мож­но, напр., оха­рак­те­ри­зо­вать сле­дую­щим об­ра­зом: а) ме­ж­ду лю­бы­ми дву­мя чис­ла­ми $a$ и $b$, $a\lt b$, ле­жит, по край­ней ме­ре, ещё од­но чис­ло $c$, для ко­то­ро­го $a\lt c\lt b$; б) ес­ли все чис­ла раз­би­ты на два клас­са $A$ и $B$ так, что ка­ж­дое чис­ло $a$ клас­са $A$ мень­ше лю­бо­го чис­ла $b$ клас­са $B$, то ли­бо в клас­се $A$ есть наи­боль­шее чис­ло, ли­бо в клас­се $B$ есть наи­мень­шее чис­ло (ак­сио­ма не­пре­рыв­но­сти Де­де­кин­да).

В то­по­ло­гии свой­ст­ва не­пре­рыв­но­сти про­стран­ст­ва или лю­бо­го мно­же­ст­ва фор­ми­ру­ют­ся при по­мо­щи по­ня­тия пре­дель­ной точ­ки. Мно­же­ст­во $M$ на­зы­ва­ет­ся связ­ным, ес­ли при лю­бом раз­бие­нии его на два не­пе­ре­се­каю­щих­ся не­пус­тых под­мно­же­ст­ва $A$ и $B$ най­дёт­ся хо­тя бы од­на точ­ка, при­над­ле­жа­щая од­но­му из них и пре­дель­ная для дру­го­го. В евк­ли­до­вых про­стран­ст­вах то­по­ло­гич. К. мож­но оп­ре­де­лить как связ­ное замк­ну­тое ог­ра­ни­чен­ное мно­же­ст­во. На чи­сло­вой пря­мой един­ст­вен­ны­ми К. в этом смыс­ле яв­ля­ют­ся от­рез­ки (т. е. мно­же­ст­ва чи­сел $x$, удов­ле­тво­ряю­щих не­ра­вен­ст­вам $a⩽x⩽b$).

Мощ­ность мно­же­ст­ва дей­ст­ви­тель­ных чи­сел на­зы­ва­ют мощ­но­стью кон­ти­нуу­ма и обо­зна­ча­ют го­тич. бу­к­вой $\mathfrak c$ или др.-евр. бу­к­вой $\aleph$ («алеф»). Ка­ж­дый то­по­ло­гич. К. име­ет ту же мощ­ность $\mathfrak c$. Из­вест­но, что мощ­ность $\mathfrak c$ боль­ше мощ­но­сти $_0\aleph$ мно­же­ст­ва на­ту­раль­ных чи­сел. В ре­ше­нии во­про­са, яв­ля­ет­ся ли мощ­ность К. бли­жай­шей, сле­дую­щей за $_0\aleph$ мощ­но­стью, за­клю­ча­ет­ся кон­ти­нуу­ма про­бле­ма.