КОНТИ́НУУМА ПРОБЛЕ́МА
-
Рубрика: Математика
-
Скопировать библиографическую ссылку:
КОНТИ́НУУМА ПРОБЛЕ́МА, задача, состоящая в том, чтобы доказать или опровергнуть средствами теории множеств следующее утверждение, называемое континуум-гипотезой, которое можно сформулировать следующим образом: мощность континуума есть первая мощность, превосходящая мощность множества всех натуральных чисел. Обобщённая континуум-гипотеза утверждает, что для любого множества P первая мощность, превосходящая мощность этого множества, есть мощность множества всех подмножеств множества P.
Континуум-гипотеза была высказана Г. Кантором в кон. 1870-х гг. Многочисл. попытки её доказательства, предпринятые самим Кантором и др. математиками в кон. 19 – нач. 20 вв., оказались безуспешными, что привело ряд учёных (франц. математик Р. Бэр, А. Лебег, Н. Н. Лузин и др.) к убеждению, что К. п. не может быть решена традиц. средствами теории множеств. Это убеждение было подтверждено методами математич. логики и аксиоматической теории множеств. В 1936 К. Гёдель доказал, что обобщённая континуум-гипотеза совместна с одной естественной системой аксиоматич. теории множеств и, следовательно, не может быть опровергнута традиц. средствами. В 1963 П. Коэн доказал, что отрицание континуум-гипотезы совместно с этой системой, так что континуум-гипотезу невозможно ни доказать, ни опровергнуть с помощью обычных методов теории множеств. Последователи Коэна затем получили ряд результатов о роли континуум-гипотезы и обобщённой континуум-гипотезы и их связи с др. теоретико-множественными принципами.