КОНТИ́НУУМА ПРОБЛЕ́МА

КОНТИ́НУУМА ПРОБЛЕ́МА, за­да­ча, со­сто­я­щая в том, что­бы до­ка­зать или оп­ро­верг­нуть сред­ст­ва­ми тео­рии мно­жеств сле­дую­щее ут­вер­жде­ние, на­зы­вае­мое кон­ти­ну­ум-ги­по­те­зой, ко­то­рое мож­но сфор­му­ли­ро­вать сле­дую­щим об­ра­зом: мощ­ность кон­ти­нуу­ма есть пер­вая мощ­ность, пре­вос­хо­дя­щая мощ­ность мно­же­ст­ва всех на­ту­раль­ных чи­сел. Обоб­щён­ная кон­ти­ну­ум-ги­по­те­за ут­вер­жда­ет, что для лю­бо­го мно­же­ст­ва P пер­вая мощ­ность, пре­вос­хо­дя­щая мощ­ность это­го мно­же­ст­ва, есть мощ­ность мно­же­ст­ва всех под­мно­жеств мно­же­ст­ва P.

Кон­ти­ну­ум-ги­по­те­за бы­ла вы­ска­за­на Г. Кан­то­ром в кон. 1870-х гг. Мно­го­числ. по­пыт­ки её до­ка­за­тель­ст­ва, пред­при­ня­тые са­мим Кан­то­ром и др. ма­те­ма­ти­ка­ми в кон. 19 – нач. 20 вв., ока­за­лись без­ус­пеш­ны­ми, что при­ве­ло ряд учё­ных (франц. ма­те­ма­тик Р. Бэр, А. Ле­бег, Н. Н. Лу­зин и др.) к убе­ж­де­нию, что К. п. не мо­жет быть ре­ше­на тра­диц. сред­ст­ва­ми тео­рии мно­жеств. Это убе­ж­де­ние бы­ло под­твер­жде­но ме­то­да­ми ма­те­ма­тич. ло­ги­ки и ак­сио­ма­ти­че­ской тео­рии мно­жеств. В 1936 К. Гё­дель до­ка­зал, что обоб­щён­ная кон­ти­ну­ум-ги­по­те­за со­вме­ст­на с од­ной ес­те­ст­вен­ной сис­те­мой ак­сио­ма­тич. тео­рии мно­жеств и, сле­до­ва­тель­но, не мо­жет быть оп­ро­верг­ну­та тра­диц. сред­ст­ва­ми. В 1963 П. Ко­эн до­ка­зал, что от­ри­ца­ние кон­ти­ну­ум-ги­по­те­зы со­вме­ст­но с этой сис­те­мой, так что кон­ти­ну­ум-ги­по­те­зу не­воз­мож­но ни до­ка­зать, ни оп­ро­верг­нуть с по­мо­щью обыч­ных ме­то­дов тео­рии мно­жеств. По­сле­до­ва­те­ли Ко­эна за­тем по­лу­чи­ли ряд ре­зуль­та­тов о ро­ли кон­ти­ну­ум-ги­по­те­зы и обоб­щён­ной кон­ти­ну­ум-ги­по­те­зы и их свя­зи с др. тео­ре­ти­ко-мно­же­ст­вен­ны­ми прин­ци­па­ми.