АКСИОМАТИ́ЧЕСКАЯ ТЕО́РИЯ МНО́ЖЕСТВ

АКСИОМАТИ́ЧЕСКАЯ ТЕО́РИЯ МНО́ЖЕСТВ, на­прав­ле­ние в ма­те­ма­тич. ло­ги­ке, за­ни­маю­щее­ся изу­че­ни­ем ак­сио­ма­тич. ме­то­дом объ­ек­тов тео­рии мно­жеств. Под А. т. м. так­же по­ни­ма­ет­ся лю­бая кон­крет­ная сис­те­ма, фор­ма­ли­зую­щая тео­рию мно­жеств. А. т. м. воз­ник­ла в нач. 20 в. в Ев­ро­пе в свя­зи с па­ра­док­са­ми тео­рии мно­жеств, по­ка­зав­ши­ми, что на­ив­ная тео­рия мно­жеств при­во­дит к про­ти­во­ре­чи­ям. Уст­ра­не­ние па­ра­док­сов ока­за­лось воз­мож­ным толь­ко на пу­ти ак­сио­ма­тич. ог­ра­ни­че­ния прин­ци­па, со­стоя­ще­го в том, что вся­кое свой­ст­во оп­ре­де­ля­ет мно­же­ст­во всех объ­ек­тов, об­ла­даю­щих этим свой­ст­вом. Разл. ог­ра­ни­че­ния при­во­дят к разл. ва­ри­ан­там А. т. м.

Пер­вая и наи­бо­лее из­вест­ная из А. т. м. – тео­рия Цер­ме­ло – Френ­ке­ля, оп­ре­де­ляю­щая по­строе­ние мно­жеств шаг за ша­гом, т. е. на ка­ж­дом ко­неч­ном или транс­фи­нит­ном ша­ге рас­смат­ри­ва­ют­ся толь­ко те мно­же­ст­ва, все эле­мен­ты ко­то­рых уже по­строе­ны на пред­ше­ст­вую­щих ша­гах. По­ня­тие транс­фи­нит­но­го ша­га так­же на­хо­дит в этой тео­рии стро­гое оп­ре­де­ле­ние. Эта тео­рия фор­му­ли­ру­ет­ся в $\in$-язы­ке, т. е. в язы­ке с един­ст­вен­ным ис­ход­ным не­оп­ре­де­ляе­мым сим­во­лом $∈$ при­над­леж­но­сти: $x\in X$ по­ни­ма­ет­ся как «$x$ есть эле­мент мно­же­ст­ва $X$». Мно­же­ст­во $Y$ на­зы­ва­ет­ся под­мно­же­ст­вом мно­же­ст­ва $X$, ес­ли ка­ж­дый эле­мент мно­же­ст­ва $Y$ при­над­ле­жит и мно­же­ст­ву $X$ (обо­зна­ча­ет­ся $Y \subseteq X$).

Клю­че­вы­ми в тео­рии Цер­ме­ло – Френ­ке­ля (тео­рии ZF) яв­ля­ют­ся сле­дую­щие ак­сио­мы. 1) Ак­сио­ма экс­тен­сио­наль­но­сти (объ­ём­но­сти), ут­вер­ждаю­щая, что лю­бые два мно­же­ст­ва, со­дер­жа­щие од­ни и те же эле­мен­ты, рав­ны друг дру­гу. 2) Ак­сио­ма вы­де­ле­ния, ут­вер­ждаю­щая, что со­во­куп­ность всех эле­мен­тов дан­но­го мно­же­ст­ва, удов­ле­тво­ряю­щих оп­ре­де­лён­но­му свой­ст­ву, яв­ля­ет­ся мно­же­ст­вом. 3) Ак­сио­ма бес­ко­неч­но­сти, ут­вер­ждаю­щая су­ще­ст­во­ва­ние бес­ко­неч­но­го мно­же­ст­ва оп­ре­де­лён­но­го ви­да, имен­но, не­пус­то­го мно­же­ст­ва $X$ та­ко­го, что $x \in X \Rightarrow \{ x \} \in X$, где $\{ x \}$ – мно­же­ст­во, един­ст­вен­ным эле­мен­том ко­то­ро­го яв­ля­ет­ся $x$. 4) Ак­сио­ма сте­пе­ни, ут­вер­ждаю­щая, что со­во­куп­ность $P(X)$ всех под­мно­жеств дан­но­го мно­же­ст­ва яв­ля­ет­ся мно­же­ст­вом. 5) Ак­сио­ма под­ста­нов­ки, ут­вер­ждаю­щая, что ес­ли для ка­ж­до­го эле­мен­та $x$ дан­но­го мно­же­ст­ва $X$ ка­ким-то об­ра­зом за­да­но мно­же­ст­во $f(x)$, то со­во­куп­ность $\{ f(x) : x \in X \}$ всех так оп­ре­де­лён­ных мно­жеств $f(x)$ яв­ля­ет­ся мно­же­ст­вом. 6) Ак­сио­ма ре­гу­ляр­но­сти, ут­вер­ждаю­щая, что ка­ж­дое не­пус­тое мно­же­ст­во $X$ со­дер­жит $\in$-ми­ни­маль­ный эле­мент $x$, т. е. $x$ не со­дер­жит эле­мен­тов мно­же­ст­ва $X$.

К этой сис­те­ме мо­жет при­сое­ди­нять­ся ак­сио­ма вы­бо­ра AC, ут­вер­ждаю­щая, что для лю­бо­го мно­же­ст­ва $X$, со­стоя­ще­го из не­пус­тых по­пар­но не имею­щих об­щих эле­мен­тов мно­жеств $x$, су­ще­ст­ву­ет мно­же­ст­во $Y$, имею­щее ров­но один об­щий эле­мент с ка­ж­дым $x \in X$. Рас­ши­рен­ная та­ким об­ра­зом сис­те­ма обо­зна­ча­ет­ся ZFC.

Ак­сио­мы 1–4 и ак­сио­ма вы­бо­ра бы­ли вве­де­ны Э. Цер­ме­ло в 1908; вме­сте с не­ко­то­ры­ми ак­сио­ма­ми тех­нич. ха­рак­те­ра они об­ра­зу­ют А. т. м. Цер­ме­ло Z или ZC (со­от­вет­ст­вен­но, в от­сут­ст­вии или при­сут­ст­вии ак­сио­мы вы­бо­ра). Ак­сио­ма 5 бы­ла вве­де­на А. Френ­ке­лем и норв. ма­те­ма­ти­ком Т. Ско­ле­мом в 1922, ак­сио­ма 6 – Дж. фон Ней­ма­ном в 1923.

К тео­ри­ям Z и ZF при­мы­ка­ют тео­рия ти­пов, со­от­вет­ст­вую­щая пер­вым $ω+ω$ ша­гам опи­сан­ной вы­ше схе­мы транс­фи­нит­но­го по­строе­ния мно­жеств, где $ω$ – пер­вое транс­фи­нит­ное чис­ло (рав­ное по­ряд­ко­во­му ти­пу мно­же­ст­ва всех на­ту­раль­ных чи­сел), и тео­рия клас­сов фон Ней­ма­на – Бер­най­са – Гё­де­ля NBG, в ко­то­рой вме­сте с мно­же­ст­ва­ми раз­ре­ша­ет­ся рас­смат­ри­вать и клас­сы, т. е. со­во­куп­но­сти мно­жеств, ко­то­рые са­ми не яв­ля­ют­ся мно­же­ст­ва­ми (напр., класс всех мно­жеств); фор­маль­но клас­сы от­ли­ча­ют­ся от мно­жеств тем, что они не яв­ля­ют­ся эле­мен­та­ми др. клас­сов (и мно­жеств). На со­вер­шен­но иной идее по­строе­на А. т. м. Ку­ай­на NF, в ко­то­рой тре­бу­ет­ся, что­бы все пе­ре­мен­ные фор­му­лы, вы­ра­жаю­щей рас­смат­ри­вае­мое свой­ст­во, мог­ли быть ин­дек­си­ро­ва­ны так, что ин­декс $y$ был ров­но на еди­ни­цу боль­ше ин­дек­са $x$ вся­кий раз, ко­гда вы­ра­же­ние $x \in y$ встре­ча­ет­ся в этой фор­му­ле.

Раз­ви­тие А. т. м. по­ка­за­ло, что объ­ек­ты со­дер­жа­тель­ной ма­те­ма­ти­ки мо­гут рас­смат­ри­вать­ся как мно­же­ст­ва, со­от­вет­ст­вен­но ка­ж­дое ут­вер­жде­ние со­дер­жа­тель­ной ма­те­ма­ти­ки мо­жет быть сфор­му­ли­ро­ва­но как ут­вер­жде­ние о мно­же­ст­вах, и, на­ко­нец, ка­ж­дое ма­те­ма­ти­че­ски кор­рект­ное до­ка­за­тель­ст­во мо­жет быть фор­ма­ли­зо­ва­но как до­ка­за­тель­ст­во в тео­рии ZFC (в боль­шин­ст­ве слу­ча­ев дос­та­точ­ной яв­ля­ет­ся тео­рия ZC). В этом смыс­ле А. т. м. ZFC яв­ля­ет­ся ак­сио­ма­тич. ба­зи­сом совр. ма­те­ма­ти­ки.

А. т. м. по­зво­ли­ла до­ка­зать фор­маль­ную не­раз­ре­ши­мость, т. е. не­воз­мож­ность по­лу­чить от­вет «да» или «нет» на по­став­лен­ный во­прос, для та­ких про­блем, как про­бле­ма кон­ти­нуу­ма, про­бле­ма изме­ри­мо­сти и ряд др. про­блем в де­скрип­тив­ной тео­рии мно­жеств.