ФУРЬЕ́ РЯД

ФУРЬЕ́ РЯД функ­ции $f(x)$ на про­ме­жут­ке $(a,b)$, ряд$$\sum_{k=0}^{\infty}c_kφ_k(x),$$где $\{φ_k(x)\}_k ⩾ 0$ – нор­ми­ро­ван­ная ор­то­го­наль­ная сис­те­ма функ­ций, а ко­эф­фи­ци­ен­ты $c_k$ (ко­эф­фи­ци­ен­ты Фу­рье) оп­ре­де­ля­ют­ся ра­вен­ст­ва­ми $$c_k=\int_{a}^{b}f(x)φ_k(x)dx,\quad k=0,1,... .$$ О функ­ции $f(x)$ в об­щем слу­чае пред­пола­га­ет­ся, что её квад­рат ин­тег­ри­ру­ем на $(a,b)$. Ана­ло­гич­но стро­ят­ся Ф. р. для функ­ций мн. пе­ре­мен­ных. Ф. р. по ор­то­нор­ми­ро­ван­ным сис­те­мам функ­ций воз­ник­ли как обоб­ще­ние Ф. р. по три­го­но­мет­рич. сис­те­ме. Даль­ней­шие обоб­ще­ния при­во­дят к Ф. р. в гиль­бер­то­вом про­стран­ст­ве.

Ф. р. по три­го­но­мет­рич. сис­те­ме оп­ре­де­ля­ет­ся для ка­ж­дой функ­ции $f$, мо­дуль ко­то­рой ин­тег­ри­ру­ем на $(0,2π)$. Это ряд $$\frac{a_0}{2}+\sum_{k=1}^{\infty}(a_k\cos kx+b_k\sin kx)\tag{1}$$ с ко­эф­фи­ци­ен­та­ми$$a_k=\frac{1}{\pi}\int_0^{2\pi} f(x) \cos kx dx,\\ b_k=\frac{1}{\pi}\int_0^{2\pi} f(x) \sin kx dx.\tag{2}$$ Имея в ви­ду Ф. р. по три­го­но­мет­рич. сис­те­ме, обыч­но го­во­рят про­сто о Ф. р., не ука­зы­вая, по ка­кой сис­те­ме они стро­ят­ся.

Впер­вые Ф. р. поя­ви­лись в ра­бо­тах Ж. Фу­рье (1807), по­свя­щён­ных ис­сле­до­ва­нию за­дач те­п­ло­про­вод­но­сти. Он пред­ло­жил для пред­став­ле­ния функ­ции $f$, за­дан­ной на $(0,2π)$ три­го­но­мет­рич. ря­дом, брать ряд (1) с ко­эф­фи­ци­ен­та­ми (2). Вы­бор ко­эф­фи­ци­ен­тов (2) яв­ля­ет­ся ес­те­ст­вен­ным со мно­гих то­чек зре­ния. Напр., ес­ли фор­маль­но при­рав­нять ряд (1) функ­ции $f(x)$, то по­член­ное ин­тег­ри­ро­ва­ние при­во­дит к ко­эф­фи­ци­ен­там $a_k$, $b_k$, оп­ре­де­ляе­мым по фор­му­лам (2). Так их по­лу­чал ещё Л. Эй­лер (1777).

Ин­те­грал в (2) мож­но по­ни­мать по-раз­но­му, напр. как ин­те­грал Ри­ма­на или Ле­бе­га. В за­ви­си­мо­сти от это­го го­во­рят о ря­дах Фу­рье – Ри­ма­на, Фу­рье – Ле­бе­га и т. п. Совр. вид тео­рия Ф. р. при­об­ре­ла по­сле по­строе­ния ин­те­гра­ла Ле­бе­га, по­сле че­го она раз­ви­ва­ет­ся гл. обр. как тео­рия ря­дов Фу­рье – Ле­бе­га.

В тео­рии Ф. р. ис­сле­ду­ют­ся во­про­сы пред­став­ле­ния функ­ций с по­мо­щью Ф. р., изу­ча­ет­ся связь свойств функ­ции со свой­ст­ва­ми её ря­да Фу­рье.

Ес­ли квад­рат функ­ции $f$ ин­тег­ри­ру­ем, то час­тич­ные сум­мы Ф. р.$$s_n(x)=\frac{a_0}{2}+\sum_{k=1}^{\infty}(a_k\cos kx+b_k\sin kx)\tag{1}$$об­ра­ща­ют в ми­ни­мум ин­те­грал$$\int_{0}^{2\pi}[f(x)-t_n(x)]^2dx,$$где $t_n$ – про­из­воль­ный три­го­но­мет­рич. мно­го­член по­ряд­ка $n$, при этом$$\int_{0}^{2\pi}[f(x)-s_n(x)]^2dx\rightarrow0,\quad n\rightarrow\infty$$т. е. функ­ции с ин­тег­ри­руе­мым квад­ра­том сколь угод­но хо­ро­шо ап­прок­си­ми­ру­ют­ся час­тич­ны­ми сум­ма­ми сво­их Ф. р. в смыс­ле сред­не­го квад­ра­тич­но­го от­кло­не­ния. Спра­вед­ли­во не­ра­вен­ст­во $$\frac{a_0}{2}+\sum_{k=1}^{\infty}(a_k\cos kx+b_k\sin kx) \leqslant \frac{1}{\pi}\int_0^{2\pi} \{f(x)\}^2dx,$$ на­зы­вае­мое не­ра­вен­ст­вом Бес­се­ля, а так­же Пар­се­ва­ля ра­вен­ст­во.

Пер­вый при­знак схо­ди­мо­сти Ф. р. по­лу­чил П. Ди­рих­ле (1829), обоб­ще­ни­ем его ре­зуль­та­та яв­ля­ет­ся тео­ре­ма Жор­да­на (1881): ес­ли ва­риа­ция функ­ции f ко­неч­на, то её Ф. р. схо­дит­ся для всех $x$, при­чём в точ­ках не­пре­рыв­но­сти он схо­дит­ся к $f(x)$, а в точ­ках раз­ры­ва – к по­лу­сум­ме пре­дель­ных зна­че­ний $f(x+0)$ и $f(x-0)$. Со­глас­но прин­ци­пу ло­ка­ли­за­ции, до­ка­зан­но­му Б. Ри­ма­ном (1853), схо­ди­мость или рас­хо­ди­мость Ф. р. функ­ции $f$ в точ­ке $x$ и зна­че­ние его сум­мы в слу­чае схо­ди­мо­сти за­ви­сят толь­ко от по­ве­де­ния функ­ции $f$ в как угод­но ма­лой ок­ре­ст­но­сти этой точ­ки. Из­вест­но мно­го раз­ных при­зна­ков схо­ди­мо­сти Ф. р. в точ­ке. Напр., нем. ма­те­ма­тик Р. Лип­шиц ус­та­но­вил (1864), что Ф. р. функ­ции $f$ схо­дит­ся в точ­ке $x$, ес­ли для дос­та­точ­но ма­лых $h$ вы­пол­не­но ус­ло­вие $∣f(x+h)-f(x)∣ ⩽ M∣h∣^α$, где $M$ и $α$ – не­ко­то­рые по­ло­жи­тель­ные чис­ла.

В 1915 Н. Н. Лу­зин вы­ска­зал ги­по­те­зу о том, что для ка­ж­дой функ­ции с ин­тег­ри­руе­мым квад­ра­том её Ф. р. схо­дит­ся к ней поч­ти всю­ду, т. е. для всех дей­ст­ви­тель­ных $x$, кро­ме, быть мо­жет, мно­же­ст­ва, для ко­то­ро­го ме­ра Ле­бе­га рав­на ну­лю (см. Ме­ра мно­же­ст­ва). Спра­вед­ли­вость этой ги­по­те­зы ус­та­но­вил Л. Кар­ле­сон (1966). Ес­ли о функ­ции не пред­по­ла­гать ни­че­го, кро­ме ин­тег­ри­руе­мо­сти её мо­ду­ля, то её Ф. р. мо­жет ока­зать­ся рас­хо­дя­щим­ся поч­ти всю­ду или всю­ду. Пер­вые та­кие при­ме­ры по­стро­ил А. Н. Кол­мо­го­ров (1923).

По­сколь­ку час­тич­ные сум­мы Ф. р. схо­дят­ся не все­гда, рас­смат­ри­ва­ет­ся сум­ми­ро­ва­ние Ф. р., ко­гда для пред­став­ле­ния функ­ции ис­поль­зу­ют­ся те или иные сред­ние час­тич­ных сумм её Ф. р. (см. Сум­ми­ро­ва­ние ря­дов).