СУММИ́РОВАНИЕ РЯДО́В
-
Рубрика: Математика
-
-
Скопировать библиографическую ссылку:
СУММИ́РОВАНИЕ РЯДО́В, построение обобщённых сумм рядов, которые являются расходящимися. Расходящиеся ряды часто встречаются на практике (напр., в теории электромагнитного поля и в др. разделах совр. физики); они могут получаться при перемножении условно сходящихся рядов, при разложении функции в ряд Фурье, при дифференцировании и интегрировании функциональных рядов. Во многих случаях для расходящихся рядов можно найти сумму в обобщённом смысле, обладающую некоторыми свойствами обычной суммы сходящегося ряда. При суммировании расходящихся рядов обычно требуется, чтобы из того, что ряд $\sum_{n=0}^{\infty} a_n$ суммируется к $S$, а ряд $\sum_{n=0}^{\infty} b_n$ суммируется к $T$, следовало бы, что ряд $\sum_{n=0}^{\infty} (λa_n+μb_n)$ суммируется к $λS+μT$, где $λ$, $μ$ – произвольные числа, а ряд $\sum_{n=1}^{\infty} a_n$ суммируется к $S-a_0$. Кроме того, чаще всего рассматриваются регулярные методы суммирования, т. е. методы, суммирующие каждый сходящийся ряд к его обычной сумме.
В большинстве методов С. р. расходящийся ряд рассматривается в некотором смысле как предел некоторого сходящегося ряда, а именно, каждый член ряда $$\sum_{n=0}^{\infty} a_n \tag{1}$$ умножается на множитель $λ_n(t)$ так, чтобы после умножения получился сходящийся ряд $$\sum_{n=0}^{\infty} a_n λ_n(t) \tag{2}$$ с суммой $σ(t)$. При этом множители $λ_n(t)$ выбираются так, чтобы при каждом фиксированном $n$ предел $λ_n(t)$ при некотором непрерывном или дискретном изменении параметра $t$ равнялся 1. Тогда члены ряда (2) стремятся к соответствующим членам ряда (1). Если при этом $σ(t)$ имеет предел, то этот предел называется обобщённой суммой ряда (1), соответствующей данному выбору множителей $λ_n(t)$ (или данному методу суммирования).
Напр., если положить $λ_n=1$ при $n ⩽ t$ и $λ_n(t)=0$ при $n > t$ и $t→∞$, то получится обычное определение суммы ряда; при $λ_n(t)=t^n$, $0 < t < 1$, и $t→1$ получается метод суммирования Абеля – Пуассона. Часто задаётся не результат умножения членов ряда (1) на $λ_n(t)$, а соответственное изменение частичных сумм ряда. Напр., в методе суммирования Чезаро средних арифметических полагают $$S=\lim_{m→∞}σ_m,$$где $$σ_m=\frac{S_0+...+S_m}{m+1},\\S_k=a_0+...+a_k.$$ Этот метод соответствует выбору $λ_n(m)=(m-n+1)/(m+1)$ при $n ⩽ m$ и $λ_n(m)=0$ при $m > n$. Если положить $$A_n^0=S_n,\,A_n^k=A_0^{k-1}+...+A_n^{k-1},\\ E_n^0=1,\,E_n^k=E_0^{k-1}+...+E_0^{k-1},$$ то в случае, когда существует $$\lim_{n→∞} A_n^k/E_n^k=1,$$ говорят, что ряд (1) суммируется к $A$ методом Чезаро $k$-го порядка. Рассматриваются и методы Чезаро дробных порядков. С ростом $k$ возрастают возможности метода Чезаро, т. е. расширяется множество рядов, суммируемых этим методом. Всякий ряд, суммируемый методом Чезаро какого-либо порядка, суммируется и методом Абеля – Пуассона и притом к той же сумме.
Методы суммирования Чезаро и Абеля – Пуассона применяются в теории тригонометрич. рядов для нахождения функции по её ряду Фурье, т. к. ряд Фурье любой непрерывной функции суммируется к ней методом Чезаро 1-го порядка, а тем самым и методом Абеля – Пуассона. Г. Ф. Вороной предложил метод С. р., частными случаями которого являются все методы Чезаро: пусть $p_0=0$, $p_n ⩾ 0$, $n=1,2, ...$, $P_n=p_0+ ...+p_n$, тогда обобщённой суммой ряда (1), по Вороному, называется $$S=\lim_{m\rightarrow \infty} \frac{p_m S_0+...+p_0 S_m}{P_m}.$$ Метод суммирования Вороного регулярен, если $lim_{n→∞} p_n/P_n=0$.
Теория расходящихся интегралов аналогична теории расходящихся рядов. Напр., если интеграл$$\int_0^{\infty} f(x)dx$$расходится и существует предел$$\lim_{N\rightarrow\infty} \int_0^N \left( 1-\frac{x}{N}\right)^λ f(x)dx=A,$$то говорят, что первый интеграл суммируем к $A$ методом Чезаро порядка $λ$.