ВАРИА́ЦИЯ ФУ́НКЦИИ
-
Рубрика: Математика
-
Скопировать библиографическую ссылку:
ВАРИА́ЦИЯ ФУ́НКЦИИ, характеристика колебаний функции. Для функции $f(x)$, заданной на отрезке $[a, b]$, вариацией называется точная верхняя грань сумм
$$\sum\limits_{k=1}^n |f(x_{k-1}) - f(x_k)|,\qquad (1)$$
взятая по всевозможным разбиениям отрезка $[a, b]$ точками $a = x_0 < x_1 < \ldots < x_n = b$. Значение этой верхней грани, если оно конечно, называют В. ф. $f$ на $[a, b]$. В этом случае функцию $f$ называют функцией ограниченной вариации или функцией с конечным изменением. Множество таких функций обычно обозначают $V$.
Если производная функции $f$ непрерывна на $[a, b]$, то $f \in V$ и вариация $f$ равна $\int\limits_b^a |f ' (x)|dx$. Функция $f$ принадлежит $V$ в том и только том случае, когда её можно представить в виде разности двух возрастающих ограниченных функций. Функции из $V$ непрерывны всюду, за исключением не более чем счётного множества точек, в которых они имеют разрывы первого рода, и почти всюду имеют производную.
Функции ограниченной вариации введены М. Э. К. Жорданом (1881) в связи с изучением сходимости тригонометрич. Фурье рядов. Он доказал, что ряды Фурье для функций $f$ из $V$ сходятся в каждой точке.
Функции ограниченной вариации нашли широкое применение во многих разделах математики, в частности в теории интеграла Стилтьеса.
Рассматривают обобщения В. ф., когда вместо верхней грани сумм (1) берутся верхние грани сумм
$$\sum\limits_{k=1}^n \varphi (|f(x_{k-1}) - f(x_k)|),$$
где $\varphi (t)$ – возрастающая непрерывная положительная при $t >0$ функция и $\varphi(0) = 0$, напр., $\varphi(t) = t^p, p>1$.
Известно несколько разл. определений В. ф. многих переменных.