ВАРИА́ЦИЯ ФУ́НКЦИИ

ВАРИА́ЦИЯ ФУ́НКЦИИ, ха­рак­те­ри­сти­ка ко­ле­ба­ний функ­ции. Для функ­ции $f(x)$, за­дан­ной на от­рез­ке $[a, b]$, ва­риа­ци­ей на­зы­ва­ет­ся точ­ная верх­няя грань сумм 

$$\sum\limits_{k=1}^n |f(x_{k-1}) - f(x_k)|,\qquad (1)$$ 

взя­тая по все­воз­мож­ным раз­бие­ни­ям от­рез­ка $[a, b]$ точ­ка­ми $a = x_0 < x_1 < \ldots < x_n = b$. Зна­че­ние этой верх­ней гра­ни, ес­ли оно ко­неч­но, на­зы­ва­ют В. ф. $f$ на $[a, b]$. В этом слу­чае функ­цию $f$ на­зы­ва­ют функ­ци­ей ог­ра­ни­чен­ной ва­риа­ции или функ­ци­ей с ко­неч­ным из­ме­не­ни­ем. Мно­же­ст­во та­ких функ­ций обыч­но обо­зна­ча­ют $V$. 

Ес­ли про­из­вод­ная функ­ции $f$ не­пре­рыв­на на $[a, b]$, то $f \in V$ и ва­риа­ция $f$ рав­на $\int\limits_b^a |f ' (x)|dx$. Функ­ция $f$ при­над­ле­жит $V$ в том и толь­ко том слу­чае, ко­гда её мож­но пред­ста­вить в ви­де раз­но­сти двух воз­рас­таю­щих ог­ра­ни­чен­ных функ­ций. Функ­ции из $V$ не­пре­рыв­ны всю­ду, за ис­клю­че­ни­ем не бо­лее чем счёт­но­го мно­же­ст­ва то­чек, в ко­то­рых они име­ют раз­ры­вы пер­во­го ро­да, и поч­ти всю­ду име­ют про­из­вод­ную. 

Функ­ции ог­ра­ни­чен­ной ва­риа­ции вве­де­ны М. Э. К. Жор­да­ном (1881) в свя­зи с изу­че­ни­ем схо­ди­мо­сти три­го­но­мет­рич. Фу­рье ря­дов. Он до­ка­зал, что ря­ды Фу­рье для функ­ций $f$ из $V$ схо­дят­ся в ка­ж­дой точ­ке. 

Функ­ции ог­ра­ни­чен­ной ва­риа­ции на­шли ши­ро­кое при­ме­не­ние во мно­гих раз­де­лах ма­те­ма­ти­ки, в ча­ст­но­сти в тео­рии ин­те­гра­ла Стил­ть­е­са.

Рас­смат­ри­ва­ют обоб­ще­ния В. ф., ко­гда вме­сто верх­ней гра­ни сумм (1) бе­рут­ся верх­ние гра­ни сумм

$$\sum\limits_{k=1}^n \varphi (|f(x_{k-1}) - f(x_k)|),$$

где $\varphi (t)$ – воз­рас­таю­щая не­пре­рыв­ная по­ло­жи­тель­ная при $t >0$ функ­ция и $\varphi(0) = 0$, напр., $\varphi(t) = t^p, p>1$. 

Из­вест­но не­сколь­ко разл. оп­ре­де­ле­ний В. ф. мно­гих пе­ре­мен­ных.