ВАРИА́ЦИЯ ФУ́НКЦИИ
-
Рубрика: Математика
-
-
Скопировать библиографическую ссылку:
Книжная версия:
Электронная версия:
ВАРИА́ЦИЯ ФУ́НКЦИИ, характеристика колебаний функции. Для функции f(x), заданной на отрезке [a,b], вариацией называется точная верхняя грань сумм
n∑k=1|f(xk−1)−f(xk)|,(1)
взятая по всевозможным разбиениям отрезка [a,b] точками a=x0<x1<…<xn=b. Значение этой верхней грани, если оно конечно, называют В. ф. f на [a,b]. В этом случае функцию f называют функцией ограниченной вариации или функцией с конечным изменением. Множество таких функций обычно обозначают V.
Если производная функции f непрерывна на [a,b], то f∈V и вариация f равна a∫b|f′(x)|dx. Функция f принадлежит V в том и только том случае, когда её можно представить в виде разности двух возрастающих ограниченных функций. Функции из V непрерывны всюду, за исключением не более чем счётного множества точек, в которых они имеют разрывы первого рода, и почти всюду имеют производную.
Функции ограниченной вариации введены М. Э. К. Жорданом (1881) в связи с изучением сходимости тригонометрич. Фурье рядов. Он доказал, что ряды Фурье для функций f из V сходятся в каждой точке.
Функции ограниченной вариации нашли широкое применение во многих разделах математики, в частности в теории интеграла Стилтьеса.
Рассматривают обобщения В. ф., когда вместо верхней грани сумм (1) берутся верхние грани сумм
n∑k=1φ(|f(xk−1)−f(xk)|),
где φ(t) – возрастающая непрерывная положительная при t>0 функция и φ(0)=0, напр., φ(t)=tp,p>1.
Известно несколько разл. определений В. ф. многих переменных.