Processing math: 100%
Подпишитесь на наши новости
Вернуться к началу с статьи up
 

ВАРИА́ЦИЯ ФУ́НКЦИИ

  • рубрика

    Рубрика: Математика

  • родственные статьи
  • image description

    В книжной версии

    Том 4. Москва, 2006, стр. 605-606

  • image description

    Скопировать библиографическую ссылку:


    Книжная версия:



    Электронная версия:

Авторы: С. А. Теляковский

ВАРИА́ЦИЯ ФУ́НКЦИИ, ха­рак­те­ри­сти­ка ко­ле­ба­ний функ­ции. Для функ­ции f(x), за­дан­ной на от­рез­ке [a,b], ва­риа­ци­ей на­зы­ва­ет­ся точ­ная верх­няя грань сумм 

nk=1|f(xk1)f(xk)|,(1)

 

взя­тая по все­воз­мож­ным раз­бие­ни­ям от­рез­ка [a,b] точ­ка­ми a=x0<x1<<xn=b. Зна­че­ние этой верх­ней гра­ни, ес­ли оно ко­неч­но, на­зы­ва­ют В. ф. f на [a,b]. В этом слу­чае функ­цию f на­зы­ва­ют функ­ци­ей ог­ра­ни­чен­ной ва­риа­ции или функ­ци­ей с ко­неч­ным из­ме­не­ни­ем. Мно­же­ст­во та­ких функ­ций обыч­но обо­зна­ча­ют V

Ес­ли про­из­вод­ная функ­ции f не­пре­рыв­на на [a,b], то fV и ва­риа­ция f рав­на ab|f(x)|dx. Функ­ция f при­над­ле­жит V в том и толь­ко том слу­чае, ко­гда её мож­но пред­ста­вить в ви­де раз­но­сти двух воз­рас­таю­щих ог­ра­ни­чен­ных функ­ций. Функ­ции из V не­пре­рыв­ны всю­ду, за ис­клю­че­ни­ем не бо­лее чем счёт­но­го мно­же­ст­ва то­чек, в ко­то­рых они име­ют раз­ры­вы пер­во­го ро­да, и поч­ти всю­ду име­ют про­из­вод­ную. 

Функ­ции ог­ра­ни­чен­ной ва­риа­ции вве­де­ны М. Э. К. Жор­да­ном

 >>
(1881) в свя­зи с изу­че­ни­ем схо­ди­мо­сти три­го­но­мет­рич. Фу­рье ря­дов
 >>
. Он до­ка­зал, что ря­ды Фу­рье для функ­ций f из V схо­дят­ся в ка­ж­дой точ­ке. 

Функ­ции ог­ра­ни­чен­ной ва­риа­ции на­шли ши­ро­кое при­ме­не­ние во мно­гих раз­де­лах ма­те­ма­ти­ки, в ча­ст­но­сти в тео­рии ин­те­гра­ла Стил­ть­е­са.

Рас­смат­ри­ва­ют обоб­ще­ния В. ф., ко­гда вме­сто верх­ней гра­ни сумм (1) бе­рут­ся верх­ние гра­ни сумм

nk=1φ(|f(xk1)f(xk)|),

где φ(t) – воз­рас­таю­щая не­пре­рыв­ная по­ло­жи­тель­ная при t>0 функ­ция и φ(0)=0, напр., φ(t)=tp,p>1

Из­вест­но не­сколь­ко разл. оп­ре­де­ле­ний В. ф. мно­гих пе­ре­мен­ных.

Лит.: Ви­туш­кин АГ. О мно­го­мер­ных ва­риаци­ях. М., 1955; На­тан­сон И. П. Тео­рия функ­ций ве­ще­ст­вен­ной пе­ре­мен­ной. СПб., 1999.

Вернуться к началу