ОРТОГОНА́ЛЬНАЯ СИСТЕ́МА ФУ́НКЦИЙ
-
Рубрика: Математика
-
-
Скопировать библиографическую ссылку:
ОРТОГОНА́ЛЬНАЯ СИСТЕ́МА ФУ́НКЦИЙ, система функций $\{\phi_n(x)\},n=1,2,\dots,$ ортогональных с весом $p(x) \gt 0$ на отрезке $[a,b]$, т. е. таких, что $$\int^b_a \phi_m(x)\phi_n(x)p(x)dx=0 \quad\text{при}\quad m\neq n.$$Тригонометрич. система: $1,\cos nx, \sin nx, n=1,2,\dots,$ даёт пример О. с. ф. с весом $1$ на отрезке $[-\pi,\pi]$.
Если каждая функция из О. с. ф. такова, что $$\int^b_a\left |\phi_n(x)\right|^2p(x)dx=N_n=1$$(условие нормированности), то такая система функций называется ортонормированной.
Любую О. с. ф. можно отнормировать, умножив $\phi_n(x)$ на число $1/\sqrt{N_n}$ – нормирующий множитель. Из любой системы линейно независимых функций $\{f_k(x)\},k=1,2,\dots,$ для каждой из которых существует интеграл $$\int_a^b\left |f_k(x)\right |^2p(x)dx,$$можно построить нормированную О. с. ф. Для этого достаточно рассмотреть линейные комбинации этих функций $$\phi_n(x)=\sum^n_{k=1}C_{n,k}f_k(x)$$и определить коэффициенты $C_{n,k}$ из условия ортогональности $\phi_n(x)$ ко всем функциям $f_k(x), 1\leq k \lt n,$ – из этого следует ортогональность $\phi_n(x)$ ко всем $\phi_k(x),1\leq k \lt n,$ – и условия нормированности (процесс ортогонализации). Напр., ортогонализуя с весом $1$ на отрезке $[-1,1]$ последовательность функций $1,x,x^2,\dots,$ приходят к Лежандра многочленам.
Отдельные классы О. с. ф. изучались ещё в 18 в. Напр., Л. Эйлер и Д. Бернулли рассматривали разложения функций в ряды по тригонометрич. и др. системам функций. Исследования по теории потенциала способствовали созданию теории сферич. функций. Однако систематич. изучение О. с. ф. связано с введением одного метода решения краевых задач уравнений математич. физики. Этот метод приводит обычно к задаче о разыскании значений параметра $\lambda$, которым соответствуют не равные тождественно нулю решения дифференциального уравнения вида $y''+q(x)y=\lambda y$, удовлетворяющие граничным условиям $y(a)+hy'(a)=0$, $y(b)+Hy'(b)=0$, где $h$, $H$ – постоянные (см. Штурма – Лиувилля задача). Соответствующие значения $\lambda$ называются собственными значениями, а решения – собственными функциями задачи. Можно показать, что собств. функции, соответствующие разл. собств. значениям, ортогональны с весом $1$ на отрезке $[a,b]$. Чрезвычайно важный класс О. с. ф. открыт П. Л. Чебышевым в его исследованиях по интерполированию методом наименьших квадратов и проблеме моментов (см. Чебышева многочлены).
Одной из осн. задач теории О. с. ф. является задача о разложении достаточно произвольной, удовлетворяющей некоторым ограничениям функции $f(x)$ в ряд вида $\sum^\infty_{n=1}C_n \phi_n (x)$, где $\{\phi_n(x)\}$ – О. с. ф. Исторически к этой задаче привёл вопрос о возможности разложения любой функции по собств. функциям, получаемым при применении Фурье метода. Если положить формально $f(x)=\sum^\infty_{n=1}C_n\phi_n(x)$, где $\{\phi_n(x)\}$ – нормированная О. с. ф., и допустить возможность почленного интегрирования, то, умножая этот ряд на $\phi_n(x)p(x)$ и интегрируя от $a$ до $b$, получают $$C_n=\int^b_a f(x)\phi_n(x)p(x)dx. \quad\tag{*}$$Коэффициенты $C_n$, называемые коэффициентами Фурье функции $f(x)$ относительно системы $\{\phi_n(x)\}$, обладают следующим экстремальным свойством: линейная форма $\sum^n_{k=1}C_k \phi_k(x)$ наилучшим образом приближает в среднем эту функцию. Иными словами, средняя квадратичная ошибка с весом $p(x)$, т. е. $$\sigma_n=\int^b_a\left | f(x)-\sum^n_{k=1}C_k\phi_k(x)\right |^2p(x)dx=\int^b_a\left |f(x)\right |^2p(x)dx-\sum^n_{k=1}\left|C_k\right |^2,$$имеет наименьшее значение по сравнению с ошибками, даваемыми при том же $n$ другими линейными выражениями вида $\sum^n_{k=1}\gamma_k \phi_k(x)$. Отсюда, в частности, получается неравенство Бесселя $$\sum^\infty_{k=1}\left |C_k\right |^2 \leq \int^b_a \left |f(x)\right |^2dx.$$
Ряд $\sum^\infty_{n=1}C_n\phi_n(x)$ с коэффициентами $C_n$, вычисленными по формуле $(*)$, называются рядом Фурье по О. с. ф. $\{\phi_n(x)\}$. Для приложений первостепенную важность имеет вопрос, определяется ли однозначно функция $f(x)$ своими коэффициентами Фурье. О. с. ф., для которых это имеет место, называются полными или замкнутыми. Условия замкнутости О. с. ф. могут быть даны в нескольких эквивалентных формах: 1) любая непрерывная функция $f(x)$ может быть с любой степенью точности приближена в среднем линейными комбинациями функций $\phi_k(x)$, т. е. $\lim_{n \to\infty}\sigma_n=0$ (в этом случае говорят, что ряд $\sum^\infty_{n=1}C_n\phi_n(x)$ сходится в среднем к функции $f(x)$); 2) для всякой функции $f(x)$, квадрат которой интегрируем относительно веса $p(x)$, выполняется условие замкнутости Ляпунова – Стеклова $$\sum^\infty_{n=1}\left |C_n\right |^2=\int^b_a\left |f(x)\right |^2p(x)dx;$$3) не существует отличной от нуля функции с интегрируемым на отрезке $[a,b]$ квадратом модуля, ортогональной ко всем функциям $\phi_n(x),n=1,2,\dots$.
Полнота тригонометрич. системы функций была доказана А. М. Ляпуновым (1896), а полнота системы собственных функций уравнения Штурма – Лиувилля установлена В. А. Стекловым в ряде исследований 1896–1919.
Из полноты системы $\{\phi_n(x)\}$ не следует, вообще говоря, справедливость соотношения $\lim_{n \to \infty}\sum^n_{k=1}C_k\phi_k=f(x)$, т. е. из сходимости в среднем ряда Фурье функции $f(x)$ не следует его сходимость к $f(x)$ в каждой точке $x$. Однако для большинства встречающихся в математич. анализе О. с. ф. это соотношение справедливо для всех достаточно гладких функций.
Глубокие исследования о сходимости ряда $\sum^\infty_{n=1}C_n\phi_n(x)$ провёл Д. Е. Меньшов, доказавший, что этот ряд сходится почти всюду, если сходится ряд $\sum^\infty_{n=1}\left |C_n\right |^2\ln^2n$, причём функция $\ln^2n$ в общем случае не может быть заменена медленнее растущей функцией (для некоторых О. с. ф. такая замена возможна; так, для тригонометрич. системы функций можно вместо $\ln^2n$ взять $\ln n$).
Если рассматривать функции с интегрируемым квадратом модуля как элементы гильбертова пространства, то нормированные О. с. ф. будут системами координатных ортов этого пространства, а разложение функции в ряд по нормированной О. с. ф. – разложением вектора по ортам. При таком подходе мн. понятия нормированных О. с. ф. приобретают наглядный геометрич. смысл. Напр., формула $(*)$ означает, что проекция вектора на орт равна скалярному произведению вектора и орта; условие Ляпунова – Стеклова может быть истолковано как теорема Пифагора для бесконечномерного пространства: квадрат длины вектора равен сумме квадратов его проекций на оси координат; замкнутость О. с. ф. означает, что наименьшее замкнутое подпространство, содержащее все векторы этой системы, совпадает со всем пространством и т. д.