ЛЕЖА́НДРА МНОГОЧЛЕ́НЫ

ЛЕЖА́НДРА МНОГОЧЛЕ́НЫ (сфе­ри­че­ские мно­го­чле­ны), мно­го­чле­ны, ор­то­го­наль­ные с еди­нич­ной ве­со­вой функ­ци­ей на от­рез­ке $[–1,1]$. Для Л. м. спра­вед­ли­ва фор­му­ла $$P_n(x)=\frac{1}{2^{n}n!}\frac{d^{n}}{dx^{n}}\left (x^{2}-1 \right )^{n}, \; \; n=0, 1, 2...$$

Ес­ли функ­ция $f(x)$ не­пре­рыв­но диф­фе­рен­ци­руе­ма на $[–1,1]$, то она раз­ла­га­ет­ся в Фу­рье ряд

Ука­зан­ный ряд схо­дит­ся рав­но­мер­но и аб­со­лют­но. Л. м. $P_n(x)$ име­ет $n$ кор­ней, все они дей­ст­ви­тель­ные, про­стые и рас­по­ло­же­ны на ин­тер­ва­ле $(–1,1)$. Л. м. по­яв­ля­ют­ся при ре­ше­нии Ла­п­ла­са урав­не­ния

Л. м. при­ме­ня­ют­ся в вы­чис­ли­тель­ной ма­те­ма­ти­ке и ма­те­ма­тич. фи­зи­ке.