ЛЕЖА́НДРА МНОГОЧЛЕ́НЫ

ЛЕЖА́НДРА МНОГОЧЛЕ́НЫ (сфе­ри­че­ские мно­го­чле­ны), мно­го­чле­ны, ор­то­го­наль­ные с еди­нич­ной ве­со­вой функ­ци­ей на от­рез­ке $[–1,1]$. Для Л. м. спра­вед­ли­ва фор­му­ла $$P_n(x)=\frac{1}{2^{n}n!}\frac{d^{n}}{dx^{n}}\left (x^{2}-1 \right )^{n}, \; \; n=0, 1, 2...$$

Ес­ли функ­ция $f(x)$ не­пре­рыв­но диф­фе­рен­ци­руе­ма на $[–1,1]$, то она раз­ла­га­ет­ся в Фу­рье ряд по Л. м., т. е.$$f(x)=\sum_{n=0 }^{\infty}a_{n} P_{n} (x ), \; \; x \in [-1, 1],$$где ко­эф­фи­ци­ен­ты $a_n$ Фу­рье – Ле­жан­д­ра оп­ре­де­ля­ют­ся по фор­му­ле$$a_{n}=\frac{2n+1}{2}\int_{-1}^{1}f(x)P_{n}(x)dx, \; \; n=0, 1, 2...$$

Ука­зан­ный ряд схо­дит­ся рав­но­мер­но и аб­со­лют­но. Л. м. $P_n(x)$ име­ет $n$ кор­ней, все они дей­ст­ви­тель­ные, про­стые и рас­по­ло­же­ны на ин­тер­ва­ле $(–1,1)$. Л. м. по­яв­ля­ют­ся при ре­ше­нии Ла­п­ла­са урав­не­ния в сфе­рич. ко­ор­ди­на­тах. Л. м. рас­смат­ри­ва­лись не­за­ви­си­мо П. Ла­п­ла­сом (1782) и А. Ле­жан­дром (1785).

Л. м. при­ме­ня­ют­ся в вы­чис­ли­тель­ной ма­те­ма­ти­ке и ма­те­ма­тич. фи­зи­ке.