ЧЕБЫШЕ́ВА МНОГОЧЛЕ́НЫ

ЧЕБЫШЕ́ВА МНОГОЧЛЕ́НЫ, сис­те­ма ор­то­го­наль­ных мно­го­чле­нов на от­рез­ке $–1 ⩽ x ⩽ 1$, от­кры­тая П. Л. Че­бы­ше­вым

Ч. м. пер­во­го ро­да оп­ре­де­ля­ют­ся фор­му­лой $$T_n(x)=\cos(n\,\text{arccos} \,x)=\frac{2^n n!}{(2n)!}\sqrt{1-x^2}\frac{d^n}{dx^n}((1-x^2)^{n-1/2}),$$ в ча­ст­но­сти, $$T_0=1,\,T_1=x,\,T_2=2x^2-1.$$ Они ор­то­го­наль­ны с ве­сом $\frac{1}{\sqrt{1-x^2}}$ на от­рез­ке $-1 ⩽ x ⩽ 1$, т. е. име­ют ме­сто фор­му­лы $$0,\qquad m≠n,\\ \int_{-1}^{1}\frac{T_m(x)T_n(x)}{\sqrt{1-x^2}}dx=\frac{π}{2}\qquad m=n\geqslant 1,\\ π,\qquad m=n=0.$$ Ч. м. пер­во­го ро­да $\frac{1}{2^{n-1}}T_n(x)$ наи­ме­нее от­кло­ня­ет­ся от ну­ля. Это оз­на­ча­ет, что сре­ди всех мно­го­чле­нов сте­пе­ни $n$ со стар­шим ко­эф. 1 имен­но мак­си­мум мо­ду­ля $\max\left| \frac{1}{2^{n-1}}T_n(x) \right|$ на от­рез­ке $-1 ⩽ x ⩽ 1$ име­ет наи­мень­шее зна­че­ние, при­чём этот мак­си­мум ра­вен $\frac{1}{2^{n-1}}$. Ч. м. $y=T_n(x)$ удов­ле­тво­ря­ют диф­фе­рен­ци­аль­но­му урав­не­нию $$(1-x^2)y''-xy'+n^2y=0$$ и для них спра­вед­ли­ва ре­кур­рент­ная фор­му­ла $$T_{n+1}(x)=2xT_n(x)-T_{n–1}(x),\,n ⩾ 1.$$

Ч. м. вто­ро­го ро­да $U_n(x)$ ор­то­го­наль­ны на от­рез­ке $–1 ⩽ x ⩽ 1$ с ве­сом $\sqrt{1-x^2}$, т. е. $$\int_{-1}^{1}U_m(x)U_n(x)\sqrt{1-x^2}dx=0,\,m\neq n,\\\int_{-1}^{1}U_m(x)U_n(x)\sqrt{1-x^2}dx=\frac{π}{2},\,m=n.$$ Они оп­ре­де­ля­ют­ся фор­му­лой $$U_n(x)=\frac{\sin((n+1)\text{arccos}\,x}{\sqrt{1-x^2}}=\\=\frac{2^n(n+1)!}{(2n+1)!}\frac{1}{\sqrt{1-x^2}}\frac{d^n}{dx^n}((1-x^2)^{n+1/2}.$$

В ча­ст­но­сти, $$U_0(x)=1,\,U_1(x)=2x,\,U_2(x)=4x^2-1.$$ Диф­фе­рен­ци­аль­ное урав­не­ние и ре­кур­рент­ная фор­му­ла для Ч. м. вто­ро­го ро­да име­ют вид $$(1-x^2)y''-3xy'+n(n+1)y=0,\\ U_{n+1}(x)=2xU_n(x)-U_{n–1}(x),\,n ⩾ 1.$$ Ч. м. пер­во­го и вто­ро­го ро­да свя­за­ны со­от­но­ше­ни­ем $$U_n(x)=\frac{1}{n+1}\frac{dT_{n+1}(x)}{dx}$$

Эр­ми­та мно­го­чле­ны