ЭРМИ́ТА МНОГОЧЛЕ́НЫ

ЭРМИ́ТА МНОГОЧЛЕ́НЫ (мно­го­чле­ны Че­бы­ше­ва – Эр­ми­та), мно­го­чле­ны, ко­то­рые мож­но по­лу­чить, диф­фе­рен­ци­руя функ­цию $p(x)=e^{-x^2}$:$$H_n(x)=(–1)^np^{(n)}(x)/p(x),\\ n=0, 1, 2, ... .$$В ча­ст­но­сти, $H_0(x)≡1$, $H_1(x)=2x$, $H_2(x)=4x^2-2$, $H_3(x)=8x^3-12x$. Э. м. яв­ля­ют­ся ор­то­го­наль­ны­ми мно­го­чле­на­ми на $(-∞, ∞)$ с ве­сом $p(x)$. Фу­рье ря­ды по Э. м. на ин­тер­ва­ле $(-∞, ∞)$ ана­логич­ны три­го­но­мет­рич. ря­дам Фу­рье. Для Э. м. спра­вед­ли­ва ре­кур­рент­ная фор­му­ла$$H_{n+1}(x)=2xH_n(x)-2nH_{n–1}(x),\,n ⩾ 1.$ Яв­ный вид Э. м. да­ёт­ся фор­му­лой$$H_n(x)=\sum_{k=0}^{[n/2]} \frac{(-1)^kn!}{k!(n-2k)!}(2x)^{n-2k}.$$Мно­го­член $H_n(x)=y$ удов­ле­тво­ря­ет диф­фе­рен­ци­аль­но­му урав­не­нию $y''-2xy'+2ny=0$.

В тео­рии ве­ро­ят­но­стей и ма­те­ма­тич. ста­ти­сти­ке при­ме­ня­ют­ся Э. м., со­от­вет­ствую­щие ве­со­вой функ­ции $p(x)=e^{-x^2/2}$.

Оп­ре­де­ле­ние Э. м. встре­ча­ет­ся у П. Ла­п­ла­са (1810). Под­роб­ное ис­сле­до­ва­ние этих мно­го­чле­нов опуб­ли­ко­ва­но П. Л. Че­бы­ше­вым в 1859. За­тем эти мно­го­чле­ны изу­чал Ш. Эр­мит (1864).