ОРТОГОНА́ЛЬНЫЕ МНОГОЧЛЕ́НЫ

ОРТОГОНА́ЛЬНЫЕ МНОГОЧЛЕ́НЫ, сис­те­ма мно­го­чле­нов $\{P_n(x)\},n=0,1,2,\dots$, яв­ляю­щая­ся ор­то­го­наль­ной сис­те­мой функ­ций, при­чём сте­пень ка­ж­до­го мно­го­чле­на $P_n(x)$ сов­па­да­ет с ин­дек­сом $n$.

О. м. на­зы­ва­ют­ся ор­то­нор­ми­ро­ван­ными и обо­зна­ча­ют­ся $\{\hat P_n(x)\}$, ес­ли ка­ж­дый мно­го­член име­ет по­ло­жи­тель­ный ко­эф­фи­ци­ент при стар­шей сте­пе­ни $x$ и вы­пол­ня­ет­ся ус­ло­вие нор­ми­ро­ван­но­сти $$\int^b_a\hat P_n^2(x)p(x)dx=1.$$Ес­ли ко­эф­фи­ци­ент при стар­шей сте­пе­ни ка­ж­до­го мно­го­чле­на ра­вен 1, то сис­те­ма О. м. обо­зна­ча­ет­ся $\{\tilde P_n(x)\}$. Наи­бо­лее важ­ный класс О. м. со­став­ля­ют т. н. клас­си­че­ские О. м.; они по­лу­ча­ют­ся (с точ­но­стью до по­сто­ян­ных мно­жи­те­лей) при ука­зан­ных ни­же чис­лах $a$, $b$ и функ­ци­ях $p(x)$.

1) Яко­би мно­го­чле­ны $\{P_n(x;\alpha,\beta)\}$ – для них $p(x)=(1-x)^\alpha (1+x)^\beta$, $\alpha \gt -1$, $\beta \gt -1$, $a=-1$, $b=1$; ча­ст­ные слу­чаи мно­го­чле­нов Яко­би:

мно­го­чле­ны Ге­ген­бау­эра (их ино­гда на­зы­ва­ют ульт­ра­сферич. мно­го­чле­на­ми) $\{P_n(x;\alpha)\}$ – для них $\alpha=\beta$;

Че­бы­ше­ва мно­го­чле­ны 1-го ро­да $\{T_n(x)\}$ – для них $\alpha=\beta=-1/2$, $p(x)=\sqrt{1-x^2}$; мно­го­чле­ны Че­бы­ше­ва 2-го ро­да $\{U_n(x)\}$ – для них $\alpha=\beta=1/2$, $p(x)\equiv1$;

Ле­жан­д­ра мно­го­чле­ны $\{P_n(x)\}$ – для них $\alpha=\beta=0$, $p(x)\equiv1$.

2) Ла­гер­ра мно­го­чле­ны $\{L_n(x;\alpha)\}$ – для них $a=0$, $b=\infty$, $p(x)=x^\alpha e^{-x}$, $\alpha \gt -1$; ино­гда они рас­смат­ри­ва­ют­ся для $\alpha=0$, то­гда они обо­зна­ча­ют­ся $\{L_n(x)\}$.

3) Эр­ми­та мно­го­чле­ны $\{H_n(x)\}$ – для них $a=-\infty$, $b=\infty$, $p(x)=e^{-x^2}$.

Ве­со­вые функ­ции клас­сич. О. м. удов­ле­тво­ря­ют диф­фе­рен­ци­аль­но­му урав­не­нию Пир­со­на $$\frac{p'(x)}{p(x)}=\frac{p_0+p_1x}{q_0+q_1x+q_2x^2}=\frac{A(x)}{B(x)},\\ x \in (a,b), \quad\tag{*}$$а мно­го­член $y=P_n(x)$ удов­ле­тво­ря­ет диф­фе­рен­ци­аль­но­му урав­не­нию $$B(x)y''+(A(x)+B'(x))y'-n(p_1+(n+1)q_2)y=0.$$

Мно­го­член $P_n(x)$ мо­жет быть пред­став­лен с по­мо­щью фор­му­лы Род­ри­га $$P_n(x)=\frac{C_n}{p(x)}\frac{d^n}{dx^n}(p(x)B^n(x)),$$где $C_n$ – нор­ми­ро­воч­ная по­сто­ян­ная, а $B(x)$ – из фор­му­лы $(*)$.

О. м. об­ла­да­ют мн. об­щи­ми свой­ст­ва­ми. Ну­ли О. м. в слу­чае ор­то­го­наль­но­сти по ин­тер­ва­лу $(a,b)$ дей­ст­ви­тель­ны, раз­лич­ны и рас­по­ло­же­ны внут­ри $(a,b)$, при­чём ме­ж­ду дву­мя со­сед­ни­ми ну­ля­ми мно­го­чле­на $P_n(x)$ на­хо­дит­ся один нуль мно­го­чле­на $P_{n-1}(x)$. Ну­ли О. м. час­то при­ме­ня­ют­ся в ка­че­ст­ве уз­лов ин­тер­по­ля­ци­он­ных фор­мул.

Ис­то­ри­че­ски пер­вы­ми О. м. бы­ли мно­го­чле­ны Ле­жан­д­ра. За­тем введены мно­го­чле­ны Че­бы­ше­ва, об­щие мно­го­чле­ны Яко­би, мно­го­чле­ны Эр­ми­та и Ла­гер­ра.