ШТУ́РМА – ЛИУВИ́ЛЛЯ ЗАДА́ЧА

ШТУ́РМА – ЛИУВИ́ЛЛЯ ЗАДА́ЧА, за­да­ча о на­хо­ж­де­нии от­лич­ных от ну­ля ре­ше­ний диф­фе­рен­ци­аль­но­го урав­не­ния$$-[p(x)y']'+q(x)y=λy,$$ удов­ле­тво­ряю­щих гра­нич­ным ус­ло­ви­ям ви­да$$A_1y(a)+B_1y'(a)=0,\\A_2y(b)+B_2y'(b)=0$$(т. н. соб­ст­вен­ных функ­ций), а так­же зна­че­ний па­ра­мет­ра $λ$ (т. н. соб­ст­вен­ных зна­че­ний), при ко­то­рых су­ще­ст­ву­ют та­кие ре­ше­ния. При не­ко­то­рых ус­ло­ви­ях на ко­эф­фи­ци­ен­ты $p(x)$, $q(x)$ Ш. – Л. з. мож­но све­сти к рас­смот­ре­нию ана­ло­гич­ной за­да­чи для урав­не­ния ви­да $$-y''+q(x)y=λy.$$ Бы­ла впер­вые (1837–41) ис­сле­до­ва­на Ж. Лиу­вил­лем и Ш. Штур­мом.

К Ш. – Л. з. при­во­дит ре­ше­ние не­ко­то­рых за­дач ма­те­ма­тич. фи­зи­ки Фу­рье ме­то­дом. Ш. – Л. з. воз­ни­ка­ет так­же в не­ко­то­рых про­бле­мах кван­то­вой ме­ха­ни­ки и в ва­ри­аци­он­ном ис­чис­ле­нии.