ФУРЬЕ́ МЕ́ТОД
-
Рубрика: Математика
-
-
Скопировать библиографическую ссылку:
Книжная версия:
Электронная версия:
ФУРЬЕ́ МЕ́ТОД (метод разделения переменных), метод решения задач математич. физики, основанный на разделении переменных. Предложен для решения задач теории теплопроводности в нач. 19 в. Ж. Фурье и в полной общности сформулирован М. В. Остроградским (1828). Решение уравнения, удовлетворяющее данным начальным и краевым условиям, ищется как суперпозиция (композиция) решений, удовлетворяющих краевым условиям и представимых в виде произведения функции от пространственных переменных на функцию от времени. Нахождение таких решений связано с разысканием т. н. собств. функций и собств. значений некоторых дифференциальных операторов и последующим разложением функций начальных условий по собств. функциям. Ф. м. можно использовать, в частности, для изучения задач о колебании струны и о теплопроводности стержня. Напр., изучение малых колебаний струны длины l, имеющей закреплённые концы, сводится к решению уравнения∂2u∂t2=a2∂2u∂x2при краевых условиях u(0,t)=u(l,t)=0 и начальных условиях u(x,0)=f(x), u′(x,0)=F(x), 0 ⩽ x ⩽ l. Решения этого уравнения, имеющие вид X(x)T(t) и удовлетворяющие краевым условиям, выражаются формулой \sin\frac{\pi nx}{l}\left(A_n\cos\frac{a \pi nt}{l} + B_n \sin\frac{a \pi nt}{l}\right). Выбором коэффициентов A_n, B_n можно добиться того, что функция u(x,t)=\sum_{n=0}^{\infty}\sin\frac{\pi nx}{l} \left(A_n\cos\frac{a \pi nt}{l} + B_n \sin\frac{a \pi nt}{l}\right) будет решением поставленной задачи.
Ряд важных проблем, связанных с Ф. м., был решён В. А. Стекловым.