ФУРЬЕ́ МЕ́ТОД

ФУРЬЕ́ МЕ́ТОД (ме­тод раз­де­ле­ния пе­ре­мен­ных), ме­тод ре­ше­ния за­дач ма­те­ма­тич. фи­зи­ки, ос­но­ван­ный на раз­де­ле­нии пе­ре­мен­ных. Пред­ло­жен для ре­ше­ния за­дач тео­рии те­п­ло­про­вод­но­сти в нач. 19 в. Ж. Фу­рье и в пол­ной общ­но­сти сфор­му­ли­ро­ван М. В. Ост­ро­град­ским (1828). Ре­ше­ние урав­не­ния, удов­ле­тво­ряю­щее дан­ным на­чаль­ным и крае­вым ус­ло­ви­ям, ищет­ся как су­пер­по­зи­ция (ком­по­зи­ция) ре­ше­ний, удов­ле­тво­ряю­щих крае­вым ус­ло­ви­ям и пред­ста­ви­мых в ви­де про­из­ве­де­ния функ­ции от про­стран­ст­вен­ных пе­ре­мен­ных на функ­цию от вре­ме­ни. На­хо­ж­де­ние та­ких ре­ше­ний свя­за­но с ра­зы­ска­ни­ем т. н. собств. функ­ций и собств. зна­че­ний не­ко­то­рых диф­фе­рен­ци­аль­ных опе­ра­то­ров и по­сле­дую­щим раз­ло­же­ни­ем функ­ций на­чаль­ных ус­ло­вий по собств. функ­ци­ям. Ф. м. мож­но ис­поль­зо­вать, в ча­ст­но­сти, для изу­че­ния за­дач о ко­ле­ба­нии стру­ны и о те­п­ло­про­вод­но­сти стерж­ня. Напр., изу­че­ние ма­лых ко­ле­ба­ний стру­ны дли­ны $l$, имею­щей за­кре­п­лён­ные кон­цы, сво­дит­ся к ре­ше­нию урав­не­ния$$\frac{\partial^2 u}{\partial t^2}=a^2\frac{\partial^2 u}{\partial x^2}$$при крае­вых ус­ло­ви­ях $u(0,t)=u(l,t)=0$ и на­чаль­ных ус­ло­ви­ях $u(x,0)=f(x)$, $u'(x,0)=F(x)$, $0 ⩽ x ⩽ l$. Ре­ше­ния это­го урав­не­ния, имею­щие вид $X(x)T(t)$ и удов­ле­тво­ряю­щие крае­вым ус­ло­ви­ям, вы­ра­жа­ют­ся фор­му­лой $$\sin\frac{\pi nx}{l}\left(A_n\cos\frac{a \pi nt}{l} + B_n \sin\frac{a \pi nt}{l}\right).$$ Вы­бо­ром ко­эф­фи­ци­ен­тов $A_n$, $B_n$ мож­но до­бить­ся то­го, что функ­ция $$u(x,t)=\sum_{n=0}^{\infty}\sin\frac{\pi nx}{l} \left(A_n\cos\frac{a \pi nt}{l} + B_n \sin\frac{a \pi nt}{l}\right)$$ бу­дет ре­ше­ни­ем по­став­лен­ной за­да­чи.

Ряд важ­ных про­блем, свя­зан­ных с Ф. м., был ре­шён В. А. Стек­ло­вым.