РАСПРЕДЕЛЕ́НИЕ ВЕРОЯ́ТНОСТЕЙ
-
Рубрика: Математика
-
-
Скопировать библиографическую ссылку:
РАСПРЕДЕЛЕ́НИЕ ВЕРОЯ́ТНОСТЕЙ, одно из основных понятий теории вероятностей и математич. статистики; задание Р. в. равносильно заданию вероятностей всех случайных событий, которые могут произойти в данном случайном явлении.
Р. в. случайной величины $X$, возможные значения $$x_1,x_2,...,x_n,...$$ которой образуют конечную или бесконечную последовательность, задаётся указанием этих значений и соответствующих им вероятностей $\sf P \it \{X=xn\}$: $$p_1,p_2,...,p_n,...$$ ($p_n$ положительны и в сумме дают единицу). Р. в. указанного типа называются дискретными, их примерами являются биномиальное распределение и Пуассона распределение.
Во многих случаях задание Р. в. указанием возможных значений случайной величины и соответствующих им вероятностей невозможно. Напр., если случайная величина $X$ может принимать любое значение из отрезка $[0,1]$, то Р. в. задаётся указанием того, с какими вероятностями $X$ может принимать значения из любого заданного интервала, принадлежащего отрезку $[0,1]$, т. к. вероятность каждого отдельного значения может быть равна нулю. Если существует такая функция $p(x)$, что вероятность попадания $X$ в интервал $(a,b)$ на прямой есть $$\sf P \it \{a\lt X \lt b\}=\int_a^b p(x)dx$$ для любых $a\lt b$, причём $p(x)⩾0$ для всех $x$ и$$\int_{\infty}^{\infty} p(x)dx=1,$$ то Р. в. случайной величины $X$ называется абсолютно непрерывным, а функция $p(x)$ называется плотностью вероятности. В случае когда случайная величина $X$ может принимать значения только из отрезка $[0,1]$ и все значения из этого отрезка для неё равноправны, плотность вероятности $p(x)=1$ для всех $x$ из $[0,1]$ и равна нулю в противном случае. Это Р. в. называется равномерным распределением. Важнейшим абсолютно непрерывным Р. в. является нормальное распределение. Абсолютно непрерывными являются также Коши распределение и показательное распределение. Абсолютно непрерывные Р. в. иногда называют распределениями непрерывного типа.
Р. в. случайных величин не исчерпываются распределениями дискретного и непрерывного типов, они могут быть и более сложной природы. В общем случае Р. в. случайной величины может быть определено при помощи функции распределения, которая при каждом действительном $x$ определяется формулой $$F(x)=\sf P\it \{X\lt x\}.$$Любая функция распределения не убывает, $lim_{x→–∞}F(x)=0$, $lim_{x→∞}F(x)=1$ и непрерывна слева. Иногда в определении функции распределения строгое неравенство $\lt$ заменяется на нестрогое неравенство $⩽$, в этом случае функция распределения непрерывна справа.
Часто полное описание Р. в. (напр., с помощью плотности или функции распределения) заменяют заданием небольшого числа числовых характеристик, которые указывают, как правило, наиболее типичные (в том или ином смысле) значения случайной величины и степень рассеяния значений случайной величины около некоторого типичного значения. Из этих характеристик наиболее употребительны математическое ожидание и корень из дисперсии, называемый стандартным отклонением.
Если случайные величины $X$ и $Y$ связаны соотношением $Y=f(X)$, где $f(x)$ – заданная функция, то Р. в. $Y$ может быть выражено через Р. в. $X$; напр., если $Y=aX+b$, то при $a\gt 0$ функции распределения $X$ и $Y$ связаны равенством$$F_Y(x)=F_X\left(\frac{x-b}{a}\right).$$
Помимо функций распределения, полную информацию о Р. в. случайных величин содержат производящие функции (для случайных величин, возможные значения которых – целые неотрицательные числа) и характеристические функции.
Если $X_1,...,X_n$ – несколько случайных величин, определённых на одном и том же вероятностном пространстве, то говорят о совместном Р. в. этих величин или о Р. в. случайного вектора $(X_1,...,X_n)$ – многомерном Р. в. Многомерное Р. в. задаётся набором вероятностей вида $\sf P\it \{X_1=x_1,...,X_n=x_n\}$ (дискретный тип) или с помощью плотности $p(x_1,...,x_n)$ (непрерывный тип) или же в общем случае совместной функцией распределения $\sf P\it \{X_1\lt x_1,...,X_n\lt x_n\}$. Если случайные величины $X_1,...,X_n$ независимы, то Р. в. $X=(X_1,...,X_n)$ определяется Р. в. отдельных случайных величин $X_1,...,X_n$. В противном случае приходится рассматривать условные Р. в. одних случайных величин при фиксированных значениях др. случайных величин.
Особое внимание в теории вероятностей уделяется точным и асимптотическим Р. в. сумм случайных величин. Напр., плотность распределения суммы двух независимых случайных величин $X$ и $Y$ вычисляется с помощью их плотностей по формуле$$p_{X+Y}(x)=\int_{-\infty}^{\infty} p(X)(x-y)p_Y(y)dy$$(формула свёртки). В случае суммы независимых случайных величин $X_1,...,X_n$ формула свёртки имеет вид и$$p_{X_1+...+X_n}(x)=\\=\int_{-\infty}^{\infty} ... \int_{-\infty}^{\infty} p_{X_1} (x-y_1-...-y_n-1) p_{X_2}(y_1) ... p_{X_n} (y_{n-1})dy_1...dy_{n-1}$$практически непригодна для вычислений при больших $n$. Поэтому возникает задача об асимптотических (приближённых, для больших $n$) формулах для распределений сумм $X_1+...+X_n$, для решения которой используются предельные теоремы теории вероятностей; см. также Муавра – Лапласа теорема, Пуассона теорема, Центральная предельная теорема.